قابلية القسمة اللانهائية (الاحتمالية)

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 18 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات ، يكون التوزيع الاحتمالي قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية إذا أمكن التعبير عنه كتوزيع احتمالي لمجموع عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع (iid) . وتُسمى الدالة المميزة لأي توزيع قابل للقسمة إلى ما لا نهاية بالدالة المميزة القابلة للقسمة إلى ما لا نهاية . [ 1 ]

وبشكل أكثر دقة، يكون توزيع الاحتمال F قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية إذا كان لكل عدد صحيح موجب n ، توجد متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع X n 1 ، ... ، X nn التي يكون مجموعها S n = X n 1 + ... + X nn له نفس التوزيع F. 

طُرح مفهوم قابلية التوزيعات الاحتمالية للقسمة اللانهائية عام ١٩٢٩ على يد برونو دي فينيتي . يُستخدم هذا النوع من تحليل التوزيع في الاحتمالات والإحصاء لإيجاد مجموعات من التوزيعات الاحتمالية التي قد تُشكّل خيارات طبيعية لبعض النماذج أو التطبيقات. تلعب التوزيعات القابلة للقسمة اللانهائية دورًا هامًا في نظرية الاحتمالات في سياق نظريات النهايات. [ ١ ]

أمثلة

من أمثلة التوزيعات المستمرة القابلة للقسمة بلا حدود جميع أفراد عائلة التوزيعات المستقرة ، والتي تشمل التوزيع الطبيعي ، وتوزيع كوشي ، وتوزيع ليفي . ومن الأمثلة الأخرى خارج فئة التوزيعات المستقرة: توزيع جاما ، وتوزيع كاي تربيع ، وتوزيع والد ، والتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي [ 2 ] ، وتوزيع t للطالب .

من بين التوزيعات المنفصلة، ​​نذكر توزيع بواسون وتوزيع ذي الحدين السالب (وبالتالي التوزيع الهندسي أيضًا). كما أن التوزيع ذو النقطة الواحدة، الذي تكون نتيجته الوحيدة الممكنة هي الصفر، قابل للقسمة إلى ما لا نهاية (بشكل بديهي).

لا يمكن قسمة التوزيع المنتظم والتوزيع ذي الحدين إلى ما لا نهاية، وكذلك لا يمكن قسمة أي توزيع آخر ذي نطاق محدود (≈ نطاق محدود الحجم )، باستثناء توزيع النقطة الواحدة المذكور أعلاه. [ 3 ] كما أن توزيع مقلوب متغير عشوائي يتبع توزيع t للطالب لا يمكن قسمته إلى ما لا نهاية. [ 4 ]

أي توزيع بواسون مركب قابل للقسمة إلى ما لا نهاية؛ وهذا يتبع مباشرة من التعريف.

نظرية النهاية

تظهر التوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود في تعميم واسع لنظرية النهاية المركزية : وهي النهاية عندما n → + ∞ لمجموع S n = X n 1 + ... + X nn لمتغيرات عشوائية مستقلة ذات تقارب تقاربي منتظم (uan) ضمن مصفوفة مثلثية

X11X21X22X31X32X33⋮⋮⋮⋱{\displaystyle {\begin{array}{cccc}X_{11}\\X_{21}&X_{22}\\X_{31}&X_{32}&X_{33}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}}

يقترب - بالمعنى الضعيف - من توزيع قابل للقسمة إلى ما لا نهاية. ويُعطى شرط الإهمال التقاربي المنتظم (uan) بواسطة

ليمن→∞الأعلى1≤ك≤نP(|Xنك|>ε)=0 لكل ε>0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\max _{1\leq k\leq n}\;P(\left|X_{nk}\right|>\varepsilon )=0{\text{ لكل }}\varepsilon >0.}

فعلى سبيل المثال، إذا تحقق شرط الإهمال التقاربي المنتظم (uan) من خلال إعادة قياس مناسبة لمتغيرات عشوائية متطابقة التوزيع ذات تباين محدود ، فإن التقارب الضعيف يكون نحو التوزيع الطبيعي في الصيغة الكلاسيكية لنظرية النهاية المركزية. وبشكل أعم، إذا تحقق شرط الإهمال التقاربي المنتظم (uan) من خلال إعادة قياس لمتغيرات عشوائية متطابقة التوزيع (مع عزم ثانٍ غير محدود بالضرورة)، فإن التقارب الضعيف يكون نحو توزيع مستقر . من ناحية أخرى، بالنسبة لمصفوفة مثلثية من متغيرات برنولي العشوائية المستقلة (غير المُقاسة) حيث يتحقق شرط الإهمال التقاربي المنتظم (uan) من خلال

ليمن→∞نصن=λ،{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }np_{n}=\lambda ,}

التقارب الضعيف للمجموع هو لتوزيع بواسون بمتوسط ​​λ كما هو موضح في البرهان المألوف لقانون الأعداد الصغيرة .

عملية ليفي

كل توزيع احتمالي قابل للقسمة بلا حدود يقابل بشكل طبيعي عملية ليفي . عملية ليفي هي عملية عشوائية { L t | t ≥ 0 } ذات زيادات مستقلة ثابتة ، حيث تعني كلمة "ثابتة" أنه بالنسبة لـ s < t ، فإن التوزيع الاحتمالي لـ L t − L s يعتمد فقط على t − s ، وتعني كلمة "زيادات مستقلة " أن الفرق L t − L s مستقل عن الفرق المقابل له في أي فترة لا تتداخل مع [ s , t ]، وبالمثل بالنسبة لأي عدد محدود من الفترات غير المتداخلة.         

إذا كانت { L t | t ≥ 0 } عملية ليفي، فإن المتغير العشوائي L t، لأي قيمة t ≥ 0 ، سيكون قابلاً للقسمة إلى ما لا نهاية: لأي قيمة n ، يمكننا اختيار ( X n 1 , X n 2 , ..., X nn ) = ( L t / n − L 0 , L 2 t / n − L t / n , ..., L t − L ( n −1) t / n ) . وبالمثل، فإن L t − L s قابل للقسمة إلى ما لا نهاية لأي قيمة s < t .      

من جهة أخرى، إذا كان F توزيعًا قابلًا للقسمة بلا حدود، فيمكننا بناء عملية ليفي { L t | t ≥ 0 } منه. لأي فترة [ s , t ] حيث t − s > 0 يساوي عددًا نسبيًا p / q ، يمكننا تعريف L t − L s على أنه يمتلك نفس توزيع X q 1 + X q 2 + ... + X qp . تُعالج القيم غير النسبية لـ t − s > 0 باستخدام حجة الاستمرارية.      

عملية الإضافة

عملية إضافية{Xت}ت≥0{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\geq 0}} ( دالة cadlag ، عملية عشوائية مستمرة في الاحتمال مع زيادات مستقلة ) لها توزيع قابل للقسمة بلا حدود لأي ⁠>ت≥0{\displaystyle >t\geq 0}. دع{μت}ت≥0{\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}لتكن عائلتها من التوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود. {μت}ت≥0{\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}يستوفي عددًا من شروط الاستمرارية والرتابة. علاوة على ذلك، إذا كانت عائلة من التوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود{μت}ت≥0{\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}إذا استوفى شروط الاستمرارية والرتابة هذه، فإنه يوجد (بشكل فريد في القانون) عملية جمعية{μت}ت≥0{\displaystyle \{\mu _{t}\}_{t\geq 0}}مع هذا التوزيع. [ 5 ]

صيغة ليفي-خينتشين

يتركϕ(ت){\displaystyle \phi (t)}لتكن الدالة المميزة لتوزيع قابل للقسمة بلا حدود. عندئذٍ توجد دالة غير متناقصة ذات تباين محدودجي(u){\displaystyle G(u)}وثابت حقيقيدلتا{\displaystyle \delta }بحيث

ln⁡ϕ(ت)=أنادلتات+∫-∞∞(هـأناتu-1-أناتu1+u2)(1+u2u2)دجي(u).{\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u).}

التوزيع القابل للقسمة بلا حدود على الزمر الأبيلية المدمجة محليًا

توزيع احتماليμ{\displaystyle \mu }على مجموعة أبيلية متراصة محليًاX{\displaystyle X}يُطلق عليه اسم قابل للقسمة بلا حدود إذا كان لكل عدد طبيعين{\displaystyle n}يوجد عنصرxن∈X{\displaystyle x_{n}\in X}وتوزيع احتماليμن{\displaystyle \mu _{n}}علىX{\displaystyle X}بحيث μ=μن*ن*هـxن{\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}، أينهـxن{\displaystyle E_{x_{n}}}هل يتركز التوزيع المنحط (ديراك) عند xن{\displaystyle x_{n}}[ 6 ] ؛ انظر أيضًا [ 7 ] . يختلف هذا التعريف قليلاً عن التعريف الكلاسيكي في حالة الخط الحقيقي. 

أمثلة على التوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود على زمرة أبيلية متراصة محليًاX{\displaystyle X}وتشمل التوزيعات المنحلة، وتوزيعات هار على مجموعات فرعية مضغوطة منX{\displaystyle X}، والتوزيعات الغاوسية ، وتوزيعات بواسون المعممة .

تم الحصول على نظير لصيغة ليفي-خينتشين للتوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود على مجموعات أبيلية مدمجة محليًا في [ 6 ] ؛ انظر أيضًا [ 7 ] .

مراجع

  1. 1 2 لوكاس، إي. (1970) الدوال المميزة ، غريفين، لندن. ص 107
  2. ↑ ثورين، أولوف (1977). "حول قابلية القسمة اللانهائية للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي". المجلة الإسكندنافية للعلوم الاكتوارية . 1977 (3): 121-148 . doi : 10.1080/03461238.1977.10405635 . ISSN 0346-1238 . 
  3. ↑ ساتو، كين-إيتي (1999). عمليات ليفي والتوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 31، 148. ISBN  978-0-521-55302-5.
  4. ↑ جونسون، ن. ل.؛ كوتز، س.؛ بالاكريشنان، ن. (1995). التوزيعات أحادية المتغير المستمرة ( الطبعة الثانية). وايلي. المجلد 2، الفصل 28، الصفحة 368. ISBN     0-471-58494-0.
  5. ↑ ساتو، كين-إيتو (1999). عمليات ليفي والتوزيعات القابلة للقسمة بلا حدود . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 31-68 . ISBN  9780521553025.
  6. 1 2 بارثاساراثي، ك. ر.؛ راو، ر. ر.؛ فارادان، س. ر. س. (1963). "توزيعات الاحتمالات على الزمر الأبيلية المدمجة محليًا". مجلة إلينوي للرياضيات . 7 : 337-369 . doi : 10.1215/ijm/1255644642 .
  7. 1 2 بارثاساراثي، ك. ر. (1967). مقاييس الاحتمال على الفضاءات المترية . الاحتمالات والإحصاء الرياضي. المجلد 3. نيويورك؛ لندن: أكاديميك برس. ISBN  978-0125458504.

للمزيد من القراءة

  • دومينغيز-مولينا، جيه إيه؛ روشا-أرتيغا، إيه. (2007) "حول قابلية القسمة اللانهائية لبعض التوزيعات المتماثلة الملتوية". رسائل الإحصاء والاحتمالات ، 77 (6)، 644-648 . doi : 10.1016 /j.spl.2006.09.014
  • ستويتل، إف دبليو (1979)، "القسمة اللانهائية في النظرية والتطبيق" (مع مناقشة)، المجلة الإسكندنافية للإحصاء. 6، 57 – 64.
  • Steutel, FW and Van Harn, K. (2003), Infinite Divisibility of Probability Distributions on the Real Line (Marcel Dekker).