مصفوفة مثلثية

في الرياضيات والحوسبة، تُعرف المصفوفة المثلثية للأعداد أو كثيرات الحدود أو ما شابهها بأنها متتالية ذات فهرس مزدوج، حيث يكون طول كل صف مساوياً لفهرس الصف نفسه. أي أن الصف رقم i يحتوي على i عنصر فقط .

ومن الأمثلة البارزة على ذلك ما يلي:

• مثلث بيل ، الذي تحسب أرقامه تقسيمات مجموعة يكون فيها عنصر معين هو أكبر عنصر منفرد ^{[ 1 ]}
• مثلث كاتالان ، الذي يحسب سلاسل الأقواس المتطابقة ^{[ 2 ]}
• مثلث أويلر ، الذي يحسب التباديل بعدد معين من الصعود ^{[ 3 ]}
• مثلث فلويد ، الذي تكون عناصره جميع الأعداد الصحيحة بالترتيب ^{[ 4 ]}
• مثلث هوسويا ، بناءً على أرقام فيبوناتشي ^{[ 5 ]}
• مثلث لوزانيتش ، المستخدم في الرياضيات الخاصة بالمركبات الكيميائية ^{[ 6 ]}
• مثلث نارايانا ، عد سلاسل الأقواس المتوازنة مع عدد معين من التداخلات المتميزة ^{[ 7 ]}
• مثلث باسكال ، الذي تكون مدخلاته هي معاملات ذات الحدين ^{[ 8 ]}
• مثلث كلارك ^{[ 9 ]}

تُسمى المصفوفات المثلثية للأعداد الصحيحة التي يكون فيها كل صف متناظرًا ويبدأ وينتهي بالعدد 1 أحيانًا بمثلثات باسكال المعممة ؛ ومن الأمثلة على ذلك مثلث باسكال، وأعداد نارايانا، ومثلث أعداد أويلر. ^{[ 10 ]}

قد تحتوي المصفوفات المثلثية على قيم رياضية أخرى غير الأرقام؛ على سبيل المثال، تشكل كثيرات حدود بيل مصفوفة مثلثية يكون كل عنصر فيها عبارة عن كثير حدود. ^{[ 11 ]}

كما تم النظر في المصفوفات التي يزداد فيها طول كل صف كدالة خطية لرقم الصف (بدلاً من أن يكون مساوياً لرقم الصف). ^{[ 12 ]}

يمكن استخدام طريقة رومبرغ لتقدير قيمة التكامل المحدد عن طريق إكمال القيم في مثلث من الأرقام. ^{[ 13 ]}

تستخدم تحويلة بوستروفيدون مصفوفة مثلثية لتحويل سلسلة أعداد صحيحة إلى أخرى. ^{[ 14 ]}

بشكل عام، يتم استخدام المصفوفة المثلثية لتخزين أي جدول مفهرس بواسطة عددين طبيعيين حيث j ≤ i .

يتطلب تخزين مصفوفة مثلثية في الحاسوب ربط الإحداثيات ثنائية الأبعاد ( i , j ) بعنوان ذاكرة خطي . إذا أردنا تخزين مصفوفتين مثلثيتين متساويتين في الحجم (كما في تحليل LU )، فيمكن دمجهما في مصفوفة مستطيلة قياسية . أما إذا كانت لدينا مصفوفة واحدة فقط، أو إذا كان من الضروري إضافة عناصر إليها بسهولة، فيمكن تخزين المصفوفة بحيث يبدأ الصف i من العنصر المثلثي رقم i ، _أي Ti . وكما هو الحال في المصفوفة المستطيلة، يلزم إجراء عملية ضرب واحدة لتحديد بداية الصف، ولكن هذه العملية تتم على متغيرين ، لذا فإن بعض التحسينات، مثل استخدام سلسلة من عمليات الإزاحة والجمع، غير متاحة. i*(i+1)/2

• العدد المثلثي ، عدد العناصر في مثل هذه المصفوفة حتى صف معين

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "مثلث الأعداد" ، عالم الرياضيات