رقم الجرس

على العموم،${\displaystyle B_{n}}$هو عدد أقسام مجموعة بحجم${\displaystyle n}$تجزئة مجموعة${\displaystyle S}$تُعرَّف بأنها عائلة من المجموعات الفرعية غير الفارغة والمنفصلة مثنى مثنى من${\displaystyle S}$اتحادهم هو${\displaystyle S}$. على سبيل المثال،${\displaystyle B_{3}=5}$لأن المجموعة المكونة من 3 عناصر${\displaystyle \{a,b,c\}}$يمكن تقسيمها إلى 5 طرق متميزة:

${\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\},}$

${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\},}$

${\displaystyle \{\{b\},\{a,c\}\},}$

${\displaystyle \{\{c\},\{a,b\}\},}$

${\displaystyle \{\{a,b,c\}\}.}$

كما هو موضح في تدوين المجموعة أعلاه، فإن ترتيب المجموعات الفرعية داخل العائلة لا يؤخذ في الاعتبار؛ يتم حساب التقسيمات المرتبة بواسطة تسلسل مختلف من الأرقام، وهي أرقام بيل المرتبة .${\displaystyle B_{0}}$يساوي 1 لأنه يوجد تقسيم واحد فقط للمجموعة الفارغة . هذا التقسيم هو نفسه المجموعة الفارغة؛ ويمكن تفسيره على أنه عائلة من المجموعات الجزئية للمجموعة الفارغة، تتكون من مجموعات جزئية قيمتها صفر. من البديهي أن جميع المجموعات الجزئية في هذه العائلة هي مجموعات جزئية غير فارغة من المجموعة الفارغة، وأنها مجموعات جزئية منفصلة مثنى مثنى من المجموعة الفارغة، لأنه لا توجد مجموعات جزئية تمتلك هذه الخصائص غير المحتملة.

تُقابل تجزئات المجموعة علاقات التكافؤ الخاصة بها . هذه العلاقات ثنائية، وهي علاقات انعكاسية ، ومتناظرة ، ومتعدية . تُعرّف علاقة التكافؤ المقابلة لتجزئة ما عنصرين بأنهما متكافئان عندما ينتميان إلى نفس المجموعة الجزئية من التجزئة. وعلى العكس، تُقابل كل علاقة تكافؤ تجزئة إلى فئات تكافؤ . ^{[ 2 ]} لذلك، تُحسب أعداد بيل أيضًا علاقات التكافؤ.

إذا كان رقمًا${\displaystyle N}$هو عدد صحيح موجب خالٍ من المربعات ، مما يعني أنه ناتج ضرب عدد ما${\displaystyle n}$من الأعداد الأولية المختلفة ، إذن${\displaystyle B_{n}}$يعطي عدد التقسيمات الضربية المختلفة لـ${\displaystyle N}$هذه تحليلات لـ${\displaystyle N}$إلى أعداد أكبر من واحد، مع اعتبار تحليلين متطابقين إذا كان لهما نفس العوامل بترتيب مختلف. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، 30 هو حاصل ضرب الأعداد الأولية الثلاثة 2 و3 و  5، وله${\displaystyle B_{3}}$= 5 تحليلات للعوامل:

${\displaystyle 30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5}$

تُستخدم أرقام بيل أيضًا لحساب أنماط القافية في قصيدة أو مقطع شعري مكون من n سطرًا . يصف نمط القافية الأسطر التي تتناغم مع بعضها، وبالتالي يمكن تفسيره على أنه تقسيم لمجموعة الأسطر إلى مجموعات فرعية متناغمة. تُكتب أنماط القافية عادةً كسلسلة من الأحرف اللاتينية، حرف واحد لكل سطر، حيث يُعطى كل سطر متناغم الحرف نفسه، وتُسمى الأسطر الأولى في كل مجموعة متناغمة بالترتيب الأبجدي. وهكذا، فإن أنماط القافية الخمسة عشر الممكنة لأربعة أسطر هي: AAAA، AAAB، AABA، AABB، AABC، ABAA، ABAB، ABAC، ABBA، ABBB، ABBC، ABCA، ABCB، ABCC، وABCD. ^{[ 1 ]}

تظهر أعداد بيل في مسألة خلط أوراق اللعب المذكورة في ملحق كتاب غاردنر 1978. إذا تم خلط مجموعة أوراق لعب مكونة من n ورقة عن طريق إزالة الورقة العلوية وإعادة إدخالها في أي مكان في المجموعة (بما في ذلك موضعها الأصلي في أعلى المجموعة)، مع n تكرارًا لهذه العملية، فإنه يوجد n ^{^n} عملية خلط مختلفة يمكن إجراؤها. من بين هذه العمليات، عدد عمليات الخلط التي تعيد المجموعة إلى ترتيبها الأصلي هو B^ _n . وبالتالي، فإن احتمال بقاء المجموعة في ترتيبها الأصلي بعد خلطها بهذه الطريقة هو B _^n / n^ ⁿ ، وهو أكبر بكثير من الاحتمال 1/ n ! الذي يصف تبديلًا عشوائيًا منتظمًا للمجموعة.

ترتبط بخلط أوراق اللعب عدة مسائل أخرى تتعلق بحساب أنواع خاصة من التباديل ، والتي تُحل أيضًا باستخدام أعداد بيل. على سبيل المثال، يساوي عدد بيل النوني عدد التباديل على n عنصرًا بحيث لا توجد ثلاث قيم مرتبة ترتيبًا صحيحًا، بحيث تكون آخر قيمتين منها متتاليتين. في تدوين أنماط التباديل المعممة ، حيث تُكتب القيم المتتالية متجاورة، وتُفصل القيم غير المتتالية بشرطة، يمكن وصف هذه التباديل بأنها التباديل التي تتجنب النمط 1-23. كما تُحسب التباديل التي تتجنب الأنماط المعممة 12-3، 32-1، 3-21، 1-32، 3-12، 21-3، و23-1 باستخدام أعداد بيل. ^{[ 4 ]} وتُحسب أيضًا التباديل التي يمكن فيها توسيع أي نمط 321 (دون قيود على القيم المتتالية) إلى نمط 3241 باستخدام أعداد بيل. ^{[ 5 ]} ومع ذلك، تنمو أعداد بيل بسرعة كبيرة بحيث لا يمكن حساب التباديل التي تتجنب نمطًا لم يتم تعميمه بهذه الطريقة: وفقًا لتخمين ستانلي ويلف (الذي تم إثباته الآن) ، فإن عدد هذه التباديل يكون أسيًا بشكل فردي، ولدى أعداد بيل معدل نمو تقاربي أعلى من ذلك.

تحقق أعداد بيل علاقة تكرارية تتضمن معاملات ذات الحدين : ^{[ 7 ]}

${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}.}$

يمكن تفسير ذلك بملاحظة أنه من أي تقسيم عشوائي لـ n  +  1 عنصرًا، فإن إزالة المجموعة التي تحتوي على العنصر الأول تُنتج تقسيمًا لمجموعة أصغر من k عنصرًا، حيث k عددٌ ما يتراوح بين 0 و n .${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$خيارات للعناصر k المتبقية بعد إزالة مجموعة واحدة، و B _k خيارات لكيفية تقسيمها.

تمثل صيغة جمع مختلفة كل عدد من أعداد بيل كمجموع أعداد ستيرلينغ من النوع الثاني

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.}$

رقم ستيرلينغ${\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}}$يمثل عدد طرق تقسيم مجموعة ذات عدد عناصر n إلى k مجموعة فرعية غير فارغة بالضبط. وبالتالي، في المعادلة التي تربط أعداد بيل بأعداد ستيرلينغ، يُحتسب كل تقسيم محسوب على الجانب الأيسر من المعادلة في أحد حدود المجموع على الجانب الأيمن، وهو الحد الذي يكون فيه k هو عدد المجموعات في التقسيم. ^{[ 8 ]}

لذلك، باستخدام الصيغة الأخيرة، يمكن حساب أعداد بيل بطريقة غير تكرارية كما يلي:

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{ki}{\binom {k}{i}}i^{n},}$

باستخدام إحدى الصيغ الصريحة لأعداد ستيرلينغ من النوع الثاني. ^{[ 9 ]}

قدم سبيفي في عام 2008 صيغة تجمع بين هذين المجموعين:

${\displaystyle B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{nk}B_{k}.}$

بتطبيق صيغة باسكال العكسية على علاقة التكرار، نحصل على

$${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{nk}B_{k+1},}$$

والتي يمكن تعميمها على النحو التالي: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{k+j}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}B_{n+i+1}.}$$

تتضمن صيغ المجموع المحدود الأخرى التي تستخدم أعداد ستيرلينغ من النوع الأول ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right](-1)^{k-i}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-ak)^{n-j}B_{j+i},}$$

مما يبسط الأمر إلى${\displaystyle k=1}$ل

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-a)^{n-j}B_{j+1}}$$

ومع${\displaystyle a=1}$،${\displaystyle b=k}$ ل

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}}$$ والتي يمكن اعتبارها صيغة عكسية لأعداد ستيرلينغ مطبقة على صيغة سبيفي.

الدالة المولدة الأسية لأعداد بيل هي

${\displaystyle B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}$

في هذه الصيغة، يمثل المجموع في المنتصف الشكل العام المستخدم لتعريف الدالة المولدة الأسية لأي سلسلة من الأرقام، والصيغة الموجودة على اليمين هي نتيجة إجراء عملية الجمع في الحالة الخاصة لأرقام بيل.

إحدى طرق استخلاص هذه النتيجة هي استخدام التوافقية التحليلية ، وهي أسلوب من الاستدلال الرياضي تُوصف فيه مجموعات الكائنات الرياضية بصيغ تشرح كيفية بنائها من كائنات أبسط، ثم تُعالج هذه الصيغ لاستخلاص الخصائص التوافقية لهذه الكائنات. في لغة التوافقية التحليلية، يمكن وصف تقسيم المجموعة بأنه مجموعة من الجرار غير الفارغة التي وُزعت فيها عناصر مرقمة من 1 إلى n ، ويمكن التعبير عن الفئة التوافقية لجميع التقسيمات (لكل n ) بالرمز التالي:

${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} (\mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}({\mathcal {Z}})).}$

هنا،${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$هي فئة تركيبية تحتوي على عنصر واحد فقط بحجم واحد، وهو عنصر يمكن وضعه في جرة.${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} _{\geq 1}}$يصف المعامل مجموعة أو وعاءً يحتوي على عنصر واحد أو أكثر من العناصر المصنفة، والعنصر الخارجي ${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$يصف هذا الشكل التقسيم الكلي بأنه مجموعة من هذه الجرار. ويمكن بعد ذلك استخلاص دالة التوليد الأسية من هذه الصيغة عن طريق ترجمة${\displaystyle \mathrm {S\scriptstyle ET} }$^{[ 11 ]} تحويل المؤثر إلى الدالة الأسية وشرط عدم الفراغ ≥1 إلى طرح واحد.

تستخدم طريقة بديلة لاستنتاج نفس الدالة المولدة علاقة التكرار لأعداد بيل بدلالة معاملات ذات الحدين لإثبات أن الدالة المولدة الأسية تحقق المعادلة التفاضلية${\displaystyle B'(x)=e^{x}B(x)}$يمكن إيجاد الدالة نفسها بحل هذه المعادلة. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

تحقق أرقام بيل صيغة دوبينسكي ^{[ 15 ] [ 12 ] [ 14 ]}

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}.}$

يمكن اشتقاق هذه الصيغة بتوسيع الدالة المولدة الأسية باستخدام متسلسلة تايلور للدالة الأسية، ثم تجميع الحدود ذات الأس نفسه. ^{[ 11 ]} وهذا يسمح بتفسير B _{_n} على أنه العزم النوني لتوزيع بواسون ذي القيمة المتوقعة 1.

إن العدد n من أعداد بيل هو أيضًا مجموع المعاملات في متعدد الحدود الكامل n من أعداد بيل ، والذي يعبر عن اللحظة n لأي توزيع احتمالي كدالة لأول n من العزوم التراكمية .

تخضع أعداد بيل لتطابق توشارد : إذا كان p أي عدد أولي فإن ^{[ 16 ]}

${\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}}$

أو، بتعميم ^{[ 17 ]}

${\displaystyle B_{p^{m}+n}\equiv mB_{n}+B_{n+1}{\pmod {p}}.}$

بسبب تطابق توشارد، فإن أعداد بيل دورية بتردد p ، لكل عدد أولي p ؛ على سبيل المثال، عندما p  =  2، تتكرر أعداد بيل النمط فردي-فردي-زوجي بدورة ثلاثة. يجب أن تكون دورة هذا التكرار، لأي عدد أولي p ، قاسمًا لـ

${\displaystyle {\frac {p^{p}-1}{p-1}}}$

ولجميع الأوائل${\displaystyle p\leq 101}$و${\displaystyle p=113,163,167}$، أو${\displaystyle 173}$وهو هذا الرقم تحديداً (التسلسل A001039 في OEIS ) . ^{[ 18 ] [ 19 ]}

دورة أعداد بيل إلى باقي القسمة n هي

1، 3، 13، 12، 781، 39، 137257، 24، 39، 2343، 28531167061، 156، ... (التسلسل A054767 في OEIS )

يؤدي تطبيق صيغة كوشي التكاملية على الدالة المولدة الأسية إلى التمثيل التكاملي المركب

${\displaystyle B_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int _{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.}$

ويمكن بعد ذلك اشتقاق بعض التمثيلات التقاربية من خلال تطبيق قياسي لطريقة الانحدار الأسرع . ^{[ 20 ]}

تشكل أعداد بيل متتالية محدبة لوغاريتميًا . وبقسمتها على مضروبها، Bₙ _/ n !، نحصل على متتالية مقعرة لوغاريتميًا. ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

توجد عدة صيغ تقريبية لأعداد بيل. وقد تم تحديد الحدود التالية في دراسة بيريند وتاسا عام 2010 :

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {0.792n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$؛

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle \varepsilon >0}$ثم للجميع${\displaystyle n>n_{0}(\varepsilon )}$،

${\displaystyle B_{n}<\left({\frac {e^{-0.6+\varepsilon }n}{\ln(n+1)}}\right)^{n}}$

أين ${\displaystyle ~n_{0}(\varepsilon )=\max \left\{e^{4},d^{-1}(\varepsilon )\right\}~}$ و ${\displaystyle ~d(x):=\ln \ln(x+1)-\ln \ln x+{\frac {1+e^{-1}}{\ln x}}\,.}$ يمكن أيضًا تقريب أرقام بيل باستخدام دالة لامبرت W ، وهي دالة لها نفس معدل النمو مثل اللوغاريتم، كما في ^{[ 24 ].}

${\displaystyle B_{n}\sim {\frac {1}{\sqrt {n}}}\left({\frac {n}{W(n)}}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}\exp \left({\frac {n}{W(n)}}-n-1\right).}$

أسست شركة موسر ووايمان عام 1955 عملية التوسع

${\displaystyle B_{n+h}={\frac {(n+h)!}{W(n)^{n+h}}}\times {\frac {\exp(e^{W(n)}-1)}{(2\pi B)^{1/2}}}\times \left(1+{\frac {P_{0}+hP_{1}+h^{2}P_{2}}{e^{W(n)}}}+{\frac {Q_{0}+hQ_{1}+h^{2}Q_{2}+h^{3}Q_{3}+h^{4}Q_{4}}{e^{2W(n)}}}+O(e^{-3W(n)})\right)}$

بشكل موحد لـ${\displaystyle h=O(\ln(n))}$مثل${\displaystyle n\rightarrow \infty }$، أين${\displaystyle B}$وكل${\displaystyle P_{i}}$و${\displaystyle Q_{i}}$تعابير معروفة في${\displaystyle W(n)}$[ ^{25 ]​}

التعبير التقاربي

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\ln B_{n}}{n}}&=\ln n-\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n}{\ln n}}+{\frac {1}{\ln n}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{2}+O\left({\frac {\ln \ln n}{(\ln n)^{2}}}\right)\\&{}\qquad {\text{as }}n\to \infty \end{aligned}}}$

تأسست من قبل دي بروين عام 1981 .