تحويل بوستروفيدون

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 38 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعد تحويل البوستروفيدون إجراءً يُحوّل متتاليةً إلى أخرى. تُحسب المتتالية المُحوّلة بعملية "جمع"، تُنفّذ كما لو كانت تملأ مصفوفة مثلثية بطريقة متعرجة ( أو شبيهة بالثعبان ) - على عكس طريقة "المسح النقطي" الشبيهة بأسنان المنشار .

تعريف

تحويل البوستروفيدون هو تحويل عددي لتوليد التسلسلات، ويتم تحديده بواسطة عملية ثنائية مثل الجمع .

الشكل 1. تحويل بوستروفيدون: ابدأ بالتسلسل الأصلي (باللون الأزرق)، ثم أضف الأرقام كما هو موضح بالأسهم، وأخيرًا اقرأ التسلسل المُحوَّل على الجانب الآخر (باللون الأحمر).ب0=أ0{\displaystyle b_{0}=a_{0}}).

بشكل عام، بالنظر إلى تسلسل معين:(أ0،أ1،أ2،...){\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}، ينتج عن تحويل البوستروفيدون تسلسل آخر:(ب0،ب1،ب2،...){\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )}، أينب0{\displaystyle b_{0}}من المرجح أن يكون تعريفها مكافئًا لـأ0{\displaystyle a_{0}}. يمكن تصور (أو تخيل) عملية التحويل بأكملها على أنها مبنية عن طريق ملء المثلث كما هو موضح في الشكل 1 .

مثلث بوستروفيدون

لملء المثلث متساوي الساقين العددي ( الشكل 1 )، تبدأ بتسلسل الإدخال،(أ0،أ1،أ2،...){\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}، ووضع قيمة واحدة (من تسلسل الإدخال) لكل صف، باستخدام أسلوب المسح المتعرج ( المتعرج - أو الشبيه بالمتعرج ).

ستكون القيمة المدخلة هي الرأس العلوي للمثلثأ0{\displaystyle a_{0}}، وهو ما يعادل قيمة الإخراجب0{\displaystyle b_{0}}ونقوم بترقيم هذا الصف العلوي بالصف 0.

يتم ترقيم الصفوف اللاحقة (النزول إلى قاعدة المثلث) بشكل متسلسل (بدءًا من 0) كأعداد صحيحة - ليكنك{\displaystyle k}يشير إلى رقم الصف الذي يتم ملؤه حاليًا. يتم إنشاء هذه الصفوف وفقًا لرقم الصف (ك{\displaystyle k}) كما يلي:

  • لجميع الصفوف المرقمةك∈شمال{\displaystyle k\in \mathbb {N} }، سيكون هناك بالضبط(ك+1){\displaystyle (k+1)}القيم في الصف.
  • لوك{\displaystyle k}إذا كان فرديًا، فضع القيمةأك{\displaystyle a_{k}}في الطرف الأيمن من الصف.
    • املأ الجزء الداخلي من هذا الصف من اليمين إلى اليسار، حيث تكون كل قيمة (الفهرس:(ك،ج){\displaystyle (k,j)}) هو نتيجة "الجمع" بين القيمة الموجودة على اليمين (الفهرس:(ك،ج+1){\displaystyle (k,j+1)}) والقيمة الموجودة في أعلى اليمين (الفهرس:(ك-1،ج+1){\displaystyle (k-1,j+1)}).
    • قيمة الناتجبك{\displaystyle b_{k}}سيكون في الطرف الأيسر من صف فردي (حيثك{\displaystyle k}غريب ) .
  • لوك{\displaystyle k}إذا كان العدد زوجيًا، فضع قيمة الإدخالأك{\displaystyle a_{k}}في الطرف الأيسر من الصف.
    • املأ الجزء الداخلي من هذا الصف من اليسار إلى اليمين، حيث تكون كل قيمة (الفهرس:(ك،ج){\displaystyle (k,j)}) هو نتيجة "الجمع" بين القيمة الموجودة على يساره (الفهرس:(ك،ج-1){\displaystyle (k,j-1)}) والقيمة الموجودة في أعلى يسارها (الفهرس:(ك-1،ج-1){\displaystyle (k-1,j-1)}).
    • قيمة الناتجبك{\displaystyle b_{k}}سيكون في الطرف الأيمن من صف زوجي (حيثك{\displaystyle k}( حتى ).

راجع الأسهم في الشكل 1 للحصول على تمثيل مرئي لعمليات "الجمع" هذه.

بالنسبة لتسلسل إدخال محدود ومعطى:(أ0،أ1،...أشمال){\displaystyle (a_{0},a_{1},...a_{N})}، لشمال{\displaystyle N}القيم، ستكون هناك بالضبطشمال{\displaystyle N}صفوف المثلث، بحيثك{\displaystyle k}هو عدد صحيح يقع ضمن النطاق التالي:[0،شمال){\displaystyle [0,N)}(حصري). بعبارة أخرى، الصف الأخير هوك=شمال-1{\displaystyle k=N-1}.

علاقة التكرار

يستخدم تعريف أكثر رسمية علاقة تكرارية . عرّف الأرقامتيك،ن{\displaystyle T_{k,n}}(مع k ≥ n ≥ 0) بواسطة    

تيك،0=أك{\displaystyle T_{k,0}=a_{k}}
تيك،ن=تيك،ن-1+تيك-1،ك-ن{\displaystyle T_{k,n}=T_{k,n-1}+T_{k-1,kn}}
مع {\displaystyle {\text{with }}}
ك،ن∈شمال{\displaystyle \quad k,n\in \mathbb {N} }
ك≥ن>0{\displaystyle \quad k\geq n>0}.

ثم يتم تعريف المتتالية المحولة بواسطةبن=تين،ن{\displaystyle b_{n}=T_{n,n}}(لتي2،2{\displaystyle T_{2,2}}ومؤشرات أكبر).

وفقًا لهذا التعريف، لاحظ التعريفات التالية للقيم التي تقع خارج القيود (من العلاقة أعلاه) على(ك،ن){\displaystyle (k,n)}أزواج:

تي0،0=Δأ0=Δب0تيك،0=Δأك⟺كبل إنه كذلكتيك،0=Δبك⟺كغريبتي0،ك=Δبك⟺كبل إنه كذلكتي0،ك=Δأك⟺كغريب{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0,0}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,a_{0}\,{\overset {\Delta }{=}}\,b_{0}\\\\T_{k,0}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,a_{k}\,\iff k\,{\text{is even}}\\T_{k,0}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,b_{k}\,\iff k\,{\text{is odd}}\\\\T_{0,k}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,b_{k}\,\iff k\,{\text{is even}}\\T_{0,k}\,{\overset {\Delta }{=}}&\,a_{k}\,\iff k\,{\text{is odd}}\\\end{aligned}}}

حالات خاصة

في حالة a₀ = 1 و aₙ = 0 ( حيث n > 0)، يُطلق على المثلث الناتج اسم مثلث سايدل - إنتريجر - أرنولد [ 1 ] ، والأرقامتيك،ن{\displaystyle T_{k,n}}وتسمى أرقام الإدخال (التسلسل A008281 في OEIS ) .

في هذه الحالة ، تُسمى الأرقام في المتتالية المُحوَّلة b n بأعداد أويلر لأعلى/لأسفل. [ 2 ] هذه هي المتتالية A000111 في الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة . تُحصي هذه الأعداد عدد التباديل المُتبادلة لـ n حرفًا، وهي مُرتبطة بأعداد أويلر وأعداد برنولي .

التعريف الجبري

انطلاقاً من التصميم الهندسي لتحويل البوستروفيدون، يتم تعريف العلاقة جبرياً من قيم المدخلات (أأنا{\displaystyle a_{i}}) لإخراج القيم (بأنا{\displaystyle b_{i}}) يمكن تعريفها لأنواع مختلفة من الجبر ("المجالات العددية").

القيم الإقليدية (الحقيقية)

في الفضاء الإقليدي (هـن{\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}) الجبر الحقيقي (R1{\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}بالنسبة للقيم العددية ذات القيم ، فإن القيمة الحقيقية المحولة باستخدام طريقة بوستروفيدون ( b n ) ترتبط بقيمة الإدخال ( a n ) على النحو التالي:

بن=∑ك=0ن(نك)أكهـن-ك{\displaystyle {\begin{aligned}b_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}E_{n-k}\\\end{aligned}}}،

مع تعريف العلاقة العكسية (المدخلات من المخرجات) على النحو التالي:

أن=∑ك=0ن(-1)ن-ك(نك)بكهـن-ك{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{\binom {n}{k}}b_{k}E_{n-k}\end{aligned}}}،

حيث ( E n ) هي سلسلة الأعداد "الصاعدة/الهابطة" - والمعروفة أيضًا باسم أعداد القاطع أو المماس . [ 3 ]

الدالة المولدة الأسية

تُعرَّف الدالة المولدة الأسية لمتتالية ( a n ) كما يلي:

هـجي(أن؛x)=∑ن=0∞أنxنن!.{\displaystyle EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.}

ترتبط الدالة المولدة الأسية لتحويل البوستروفيدون ( bn ) بالدالة المولدة الأسية للمتتالية الأصلية ( an ) بالعلاقة التالية :

هـجي(بن؛x)=(ثانية⁡x+لون برونزي⁡x)هـجي(أن؛x).{\displaystyle EG(b_{n};x)=(\sec x+\tan x)\,EG(a_{n};x).}

الدالة المولدة الأسية لمتتالية الوحدة هي  1، لذا فإن دالة توليد الأرقام لأعلى/لأسفل هي sec x + tan x .    

مراجع

  1. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "مثلث سايدل-إنترنجر-أرنولد". من MathWorld - مصدر ويب Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Seidel-Entringer-ArnoldTriangle.html
  2. ↑ وايسشتاين، إريك و. "العدد الأويلري". من موقع MathWorld - أحد موارد Wolfram الإلكترونية. http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "تحويل بوستروفيدون". من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام. http://mathworld.wolfram.com/BoustrophedonTransform.html
  • ميلار، جيسيكا؛ سلون، ن. ج. أ.؛ يونغ، نيل إي. (1996). "عملية جديدة على المتتاليات: تحويل بوستروفيدون". مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ . 76 (1): 44-54 . arXiv : math.CO/0205218 . doi : 10.1006/jcta.1996.0087 . S2CID 15637402 . 
  • وايسشتاين، إريك و. (2002). موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات، الطبعة الثانية . تشابمان آند هول/سي آر سي. ص  273. ISBN 1-58488-347-2.