توزيع جاما التباين

يُعدّ توزيع غاما التبايني ، أو توزيع لابلاس المعمم ^{[ 2 ]،} أو توزيع دالة بيسل ^{[ 2 ]} ، توزيعًا احتماليًا متصلًا يُعرَّف بأنه مزيج طبيعي من التباين والمتوسط، حيث تكون كثافة المزج هي توزيع غاما . تتناقص ذيول هذا التوزيع بوتيرة أبطأ من التوزيع الطبيعي . ولذلك، فهو مناسب لنمذجة الظواهر التي تكون فيها القيم الكبيرة عدديًا أكثر احتمالًا مما هي عليه في حالة التوزيع الطبيعي. ومن الأمثلة على ذلك عوائد الأصول المالية وسرعات الرياح المضطربة. وقد قدّم مادان وسينيتا هذا التوزيع في الأدبيات المالية ^{[ 3 ]} . تُشكّل توزيعات غاما التباينية فئة فرعية من التوزيعات الزائدية المعممة .

إن وجود صيغة بسيطة لدالة توليد العزوم يعني توفر صيغ بسيطة لجميع العزوم . وتُعتبر فئة توزيعات جاما ذات التباين مغلقة تحت عملية الالتفاف بالمعنى التالي. إذا${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$هي متغيرات عشوائية مستقلة تتبع توزيع جاما ذي التباين نفسه، ولها نفس قيم المعلمات.${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$ولكن ربما بقيم مختلفة للمعلمات الأخرى، ${\displaystyle \lambda _{1}}$،${\displaystyle \mu _{1}}$و${\displaystyle \lambda _{2},}$${\displaystyle \mu _{2}}$على التوالي، ثم ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$يتبع توزيع جاما ذو التباين بمعاملات${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$،${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$و${\displaystyle \mu _{1}+\mu _{2}}$.

يمكن أيضًا التعبير عن توزيع جاما التبايني بدلالة ثلاثة معلمات إدخال (C، G، M) يُشار إليها بالأحرف الأولى من أسماء مؤسسيها. إذا كانت "C"،${\displaystyle \lambda }$إذا كان المعامل عددًا صحيحًا، فإن التوزيع يتبع صيغة مغلقة لتوزيع 2-EPT. انظر دالة كثافة الاحتمال لتوزيع 2-EPT . في ظل هذا القيد، يمكن اشتقاق أسعار الخيارات بصيغة مغلقة.

لو${\displaystyle \alpha =1}$،${\displaystyle \lambda =1}$و${\displaystyle \beta =0}$يصبح التوزيع توزيع لابلاس بمعامل مقياس${\displaystyle b=1}$طالما${\displaystyle \lambda =1}$خيارات بديلة لـ${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$سينتج عن ذلك توزيعات مرتبطة بتوزيع لابلاس، مع اختلاف في الالتواء والمقياس والموقع يعتمد على المعلمات الأخرى. ^{[ 4 ]}

بالنسبة لتوزيع جاما ذي التباين المتماثل، يمكن التعبير عن التفرطح بالصيغة التالية:${\displaystyle 3(1+1/\لامدا )}$[ ^{1 ]​}

انظر أيضًا عملية جاما للتباين .