المتوسط ​​المتحرك المتكامل التراجعي الذاتي

في تحليل السلاسل الزمنية المستخدم في الإحصاء والاقتصاد القياسي ، تُعدّ نماذج المتوسط ​​المتحرك المتكامل للانحدار الذاتي ( ARIMA ) ونماذج المتوسط ​​المتحرك المتكامل للانحدار الذاتي الموسمي ( SARIMA ) تعميمات لنموذج المتوسط ​​المتحرك للانحدار الذاتي (ARMA) للسلاسل غير المستقرة والتغيرات الدورية، على التوالي. تُطبّق جميع هذه النماذج على السلاسل الزمنية لفهمها بشكل أفضل والتنبؤ بقيمها المستقبلية. يهدف هذا التعميم إلى مطابقة البيانات بأفضل شكل ممكن. على وجه التحديد، يفترض نموذج ARMA أن السلسلة مستقرة ، أي أن قيمتها المتوقعة ثابتة مع مرور الوقت. أما إذا كانت السلسلة تحتوي على اتجاه (مع تباين/تباين ذاتي ثابت ) ، فيتم إزالة هذا الاتجاه عن طريق "التفاضل"، ^{[ 1 ]} مما ينتج عنه سلسلة مستقرة. تُعمّم هذه العملية نموذج ARMA وتُقابل الجزء " المتكامل " من نموذج ARIMA. وبالمثل، يتم إزالة التغيرات الدورية عن طريق "التفاضل الموسمي". ^{[ 2 ]}

كما هو الحال في نموذج ARMA، يشير جزء "الانحدار الذاتي" ( AR ) من نموذج ARIMA إلى أن المتغير المتغير محل الاهتمام يُجرى عليه انحدار بناءً على قيمه السابقة. ويشير جزء "المتوسط ​​المتحرك" ( MA ) إلى أن خطأ الانحدار هو توليفة خطية من حدود الخطأ التي حدثت قيمها في وقت واحد وفي أوقات مختلفة في الماضي. ^{[ 3 ]} ويشير جزء "التكامل" ( I ) إلى أنه تم استبدال قيم البيانات بالفرق بين كل قيمة والقيمة السابقة لها.

وفقًا لنظرية تفكيك وولد ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]،} فإن نموذج ARMA كافٍ لوصف سلسلة زمنية منتظمة (أو غير حتمية تمامًا ^{[ 6 ]} ) مستقرة بالمعنى الواسع . وهذا يحفز على جعل هذه السلسلة الزمنية غير المستقرة مستقرة، على سبيل المثال، باستخدام التفاضل، قبل استخدام نموذج ARMA. ^{[ 7 ]}

إذا كانت السلسلة الزمنية تحتوي على عملية فرعية قابلة للتنبؤ (المعروفة أيضًا باسم عملية الجيب النقي أو العملية الأسية ذات القيم المركبة ^{[ 5 ]} )، فإن المكون القابل للتنبؤ يُعامل على أنه مكون غير صفري المتوسط ​​ولكنه دوري (أي موسمي) في إطار عمل ARIMA بحيث يتم التخلص منه عن طريق التفاضل الموسمي.

يُرمز عادةً لنماذج ARIMA غير الموسمية بالرمز ARIMA( p , d , q )، حيث تمثل المعاملات p و d و q أعدادًا صحيحة غير سالبة: p هي رتبة (عدد فترات التأخير) نموذج الانحدار الذاتي ، و d هي درجة التفاضل (عدد مرات طرح القيم السابقة من البيانات)، و q هي رتبة نموذج المتوسط ​​المتحرك . أما نماذج ARIMA الموسمية، فيُرمز لها عادةً بالرمز ARIMA( p , d , q )( P , D , Q ) _m ، حيث تمثل الأحرف الكبيرة P و D و Q حدود الانحدار الذاتي والتفاضل والمتوسط ​​المتحرك للجزء الموسمي من نموذج ARIMA، و m هو عدد الفترات في كل موسم. ^{[ 8 ] [ 2 ]} عندما يكون اثنان من المعاملات يساويان صفرًا، يمكن الإشارة إلى النموذج بناءً على المعامل غير الصفري، مع حذف " AR " أو " I " أو " MA " من الاختصار. على سبيل المثال ،${\displaystyle {\text{ARIMA}}(1,0,0)}$هي AR ( 1) ،${\displaystyle {\text{ARIMA}}(0,1,0)}$⁠ هو I(1) ، و ⁠${\displaystyle {\text{ARIMA}}(0,0,1)}$⁠ is MA(1) .

بافتراض بيانات السلاسل الزمنية X _t حيث t هو فهرس صحيح و X _t هي أعداد حقيقية،${\displaystyle {\text{ARMA}}(p',q)}$النموذج معطى بواسطة

${\displaystyle X_{t}-\alpha _{1}X_{t-1}-\dots -\alpha _{p'}X_{tp'}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{tq},}$

أو ما يعادل ذلك بواسطة

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

أين${\displaystyle L}$هو عامل التأخير ،${\displaystyle \alpha _{i}}$تمثل هذه المعلمات الجزء الانحداري الذاتي من النموذج،${\displaystyle \theta _{i}}$تمثل هذه المعلمات جزء المتوسط ​​المتحرك و${\displaystyle \varepsilon _{t}}$هي حدود الخطأ.${\displaystyle \varepsilon _{t}}$يُفترض عمومًا أنها متغيرات مستقلة وموزعة بشكل متطابق، تم أخذ عينات منها من توزيع طبيعي بمتوسط ​​صفر.

إذا كانت كثيرة الحدود${\displaystyle \textstyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)}$يحتوي على جذر وحدة (عامل)${\displaystyle (1-L)}$) من التعددية d ، ثم يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{p'-d}\varphi _{i}L^{i}\right)\left(1-L\right)^{d}.}$

تعبر عملية ARIMA( p , d , q ) عن خاصية تحليل كثير الحدود هذه مع p = p'−d ، ويتم إعطاؤها بواسطة:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

وكذلك الحال بالنسبة لحالة خاصة من عملية ARMA( p+d , q ) التي تحتوي على متعددة حدود ذاتية الانحدار ذات d جذور وحدة. (لهذا السبب، لا توجد عملية موصوفة بدقة بواسطة نموذج ARIMA مع d  >  0 مستقرة بالمعنى الواسع ).

يمكن تعميم ما سبق على النحو التالي.

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\delta +\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}.\,}$

يُعرّف هذا عملية ARIMA( p , d , q ) مع الانحراف${\displaystyle {\frac {\delta }{1-\sum \varphi _{i}}}}$.

يمكن توسيع نطاق التحديد الصريح لتحليل متعدد الحدود للانحدار الذاتي إلى عوامل كما هو مذكور أعلاه ليشمل حالات أخرى، أولاً لتطبيقه على متعدد الحدود للمتوسط ​​المتحرك، وثانياً لإدراج عوامل خاصة أخرى. على سبيل المثال، وجود عامل${\displaystyle (1-L^{s})}$يُعدّ إدخال عامل الموسمية غير الثابتة لفترة زمنية s في النموذج إحدى طرق تضمين هذا العامل؛ إذ يؤدي هذا العامل إلى إعادة صياغة البيانات كتغيرات عن الفترة الزمنية s السابقة. ومن الأمثلة الأخرى العامل ${\displaystyle \left(1-{\sqrt {3}}L+L^{2}\right)}$، والذي يتضمن موسمية (غير ثابتة) من الفترة 2. ويتمثل تأثير النوع الأول من العوامل في السماح لقيمة كل موسم بالانحراف بشكل منفصل بمرور الوقت، بينما مع النوع الثاني تتحرك قيم المواسم المتجاورة معًا.

يمكن أن يكون تحديد وتحديد العوامل المناسبة في نموذج ARIMA خطوة مهمة في النمذجة لأنه يسمح بتقليل العدد الإجمالي للمعلمات التي يجب تقديرها مع السماح بفرض أنواع السلوك التي يشير إليها المنطق والخبرة على النموذج.

لا تتغير خصائص السلاسل الزمنية المستقرة. تحديدًا، بالنسبة للسلاسل الزمنية المستقرة بالمعنى الواسع ، يكون المتوسط ​​والتباين/ التغاير الذاتي ثابتين بمرور الوقت. التفاضل في الإحصاء هو تحويل يُطبق على السلاسل الزمنية غير المستقرة لجعلها مستقرة اتجاهيًا (أي مستقرة بمعنى المتوسط )، وذلك بإزالة أو طرح الاتجاه أو المتوسط ​​غير الثابت. مع ذلك، لا يؤثر التفاضل على عدم استقرار التباين أو التغاير الذاتي . وبالمثل، يُطبق التفاضل الموسمي أو إزالة الموسمية على السلاسل الزمنية لإزالة المكون الموسمي.

من منظور معالجة الإشارات، وخاصةً نظرية تحليل طيف فورييه ، يُمثل الاتجاه جزءًا منخفض التردد في طيف السلسلة، بينما يُمثل الموسم جزءًا دوري التردد. لذا، يُعد التفاضل مرشحًا عالي التمرير (أي مرشح إيقاف منخفض)، بينما يُعد التفاضل الموسمي مرشحًا مشطيًا لكبح الاتجاه منخفض التردد والموسم الدوري التردد على التوالي في مجال الطيف (بدلاً من كبحهما مباشرةً في مجال الزمن). ^{[ 7 ]}

لحساب الفرق بين البيانات، نحسب الفرق بين المشاهدات المتتالية. رياضياً، يُوضح ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle y_{t}'=y_{t}-y_{t-1}\,}$

قد يكون من الضروري إجراء عملية التفاضل للبيانات مرة ثانية للحصول على سلسلة زمنية ثابتة، وهو ما يشار إليه باسم التفاضل من الدرجة الثانية :

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{t}^{*}&=y_{t}'-y_{t-1}'\\&=(y_{t}-y_{t-1})-(y_{t-1}-y_{t-2})\\&=y_{t}-2y_{t-1}+y_{t-2}\end{aligned}}}$

تتضمن عملية التفاضل الموسمي حساب الفرق بين قيمة مُشاهدة والقيمة المُشاهدة المُقابلة لها في الموسم السابق، على سبيل المثال، في السنة السابقة. ويُوضح ذلك كما يلي:

${\displaystyle y_{t}'=y_{t}-y_{tm}\quad {\text{حيث ​​}}m={\text{مدة الموسم}}.}$

ثم يتم استخدام البيانات المشتقة لتقدير نموذج ARMA .

تنشأ بعض الحالات الخاصة المعروفة بشكل طبيعي أو تكون مكافئة رياضياً لنماذج التنبؤ الشائعة الأخرى. على سبيل المثال:

• نموذج ARIMA(0, 0, 0) للضوضاء البيضاء .
• نموذج ARIMA(0, 1, 0) هو عبارة عن مسار عشوائي .
• نموذج ARIMA(0, 1, 2) هو نموذج هولت المخمد.
• يُعد نموذج ARIMA(0, 1, 1) بدون ثابت نموذجًا أساسيًا للتسوية الأسية . ^{[ 9 ]}
• يُعطى نموذج ARIMA(0, 2, 2) بالصيغة التالية:${\displaystyle X_{t}=2X_{t-1}-X_{t-2}+(\alpha +\beta -2)\varepsilon _{t-1}+(1-\alpha )\varepsilon _{t-2}+\varepsilon _{t}}$— وهو ما يعادل طريقة هولت الخطية مع الأخطاء المضافة، أو التنعيم الأسي المزدوج . ^{[ 9 ]}

يمكن تحديد الرتبتين p و q باستخدام طريقة دالة الارتباط الذاتي للعينة (ACF)، ودالة الارتباط الذاتي الجزئية (PACF)، و/أو دالة الارتباط الذاتي الموسعة (EACF). ^{[ 10 ]}

تشمل الطرق البديلة الأخرى معيار معلومات أكايكي (AIC) ومعيار معلومات بايز (BIC)، إلخ. ^{[ 10 ]} لتحديد رتبة نموذج ARIMA غير الموسمي، يُعد معيار معلومات أكايكي (AIC) معيارًا مفيدًا . ويُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{AIC}}=-2\log(L)+2(p+q+k),}$

حيث L هي دالة الاحتمال للبيانات، وp هي رتبة الجزء الانحداري الذاتي، و q هي رتبة جزء المتوسط ​​المتحرك. يمثل k الحد الثابت لنموذج ARIMA. وفقًا لمعيار AIC، إذا كانت k = 1، فإن نموذج ARIMA يحتوي على حد ثابت ( c ≠ 0)، وإذا كانت k = 0، فلا يوجد حد ثابت ( c = 0).

يمكن كتابة معيار معلومات أكايكي المصحح لنماذج ARIMA على النحو التالي:

${\displaystyle {\text{AICc}}={\text{AIC}}+{\frac {2(p+q+k)(p+q+k+1)}{Tpqk-1}}.}$

يمكن كتابة معيار المعلومات البايزي (BIC) على النحو التالي :

${\displaystyle {\text{BIC}}={\text{AIC}}+((\log T)-2)(p+q+k).}$

الهدف هو تقليل قيم معايير AIC وAICc وBIC للحصول على نموذج جيد. كلما انخفضت قيمة أحد هذه المعايير لمجموعة من النماذج قيد الدراسة، كان النموذج أكثر ملاءمة للبيانات. يُستخدم كل من AIC وBIC لغرضين مختلفين تمامًا. فبينما يسعى AIC إلى تقريب النماذج من واقع الحالة، يحاول BIC إيجاد التطابق الأمثل. غالبًا ما يُنتقد منهج BIC لعدم وجود تطابق مثالي مع البيانات المعقدة في الواقع؛ ومع ذلك، يظل أسلوبًا مفيدًا للاختيار لأنه يُعاقب النماذج التي تحتوي على معلمات أكثر بشكل أكبر مما يفعله AIC.

لا يمكن استخدام معيار AICc إلا لمقارنة نماذج ARIMA ذات رتب التفاضل المتماثلة. أما بالنسبة لنماذج ARIMA ذات رتب التفاضل المختلفة، فيمكن استخدام معيار RMSE لمقارنة النماذج.

يمكن النظر إلى نموذج ARIMA على أنه "سلسلة" من نموذجين. الأول غير مستقر:

${\displaystyle Y_{t}=(1-L)^{d}X_{t}}$

أما الثاني فهو ثابت بالمعنى الواسع :

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)Y_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.}$

يمكن الآن وضع توقعات لهذه العملية${\displaystyle Y_{t}}$، باستخدام تعميم لطريقة التنبؤ بالانحدار الذاتي .

تُستخدم عدة صيغ مختلفة لنموذج ARIMA بشكل شائع. في حال استخدام سلاسل زمنية متعددة، فإن${\displaystyle X_{t}}$يمكن اعتبارها متجهات، وقد يكون نموذج VARIMA مناسبًا. في بعض الأحيان، يُشتبه في وجود تأثير موسمي في النموذج؛ في هذه الحالة، يُعتبر عمومًا من الأفضل استخدام نموذج SARIMA (نموذج ARIMA الموسمي) بدلًا من زيادة رتبة جزئي AR أو MA في النموذج. ^{[ 11 ]} إذا كان يُشتبه في أن السلسلة الزمنية تُظهر اعتمادًا طويل المدى ، فيمكن السماح للمعامل d بأخذ قيم غير صحيحة في نموذج الانحدار الذاتي المتكامل جزئيًا للمتوسط ​​المتحرك ، والذي يُسمى أيضًا نموذج ARIMA الجزئي (FARIMA أو ARFIMA).

تتوفر حزم برمجية متنوعة تطبق منهجيات مثل تحسين معلمات Box-Jenkins لإيجاد المعلمات المناسبة لنموذج ARIMA.

• برنامج EViews : يتمتع بقدرات واسعة في مجالي ARIMA و SARIMA.
• جوليا : تحتوي على تطبيق ARIMA في حزمة TimeModels ^{[ 12 ]}
• برنامج Mathematica : يتضمن دالة ARIMAProcess .
• MATLAB : تتضمن مجموعة أدوات الاقتصاد القياسي نماذج ARIMA والانحدار مع أخطاء ARIMA
• NCSS : يتضمن العديد من الإجراءات ARIMAللمطابقة والتنبؤ. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• بايثون : تتضمن حزمة "statsmodels" نماذج لتحليل السلاسل الزمنية - تحليل السلاسل الزمنية أحادية المتغير: AR، ARIMA - نماذج الانحدار الذاتي المتجهي، VAR وVAR الهيكلي - الإحصاءات الوصفية ونماذج العمليات لتحليل السلاسل الزمنية.
• R : تتضمن حزمة الإحصاء القياسية في R دالة arima ، الموثقة في "نمذجة السلاسل الزمنية باستخدام ARIMA" . بالإضافة إلى${\displaystyle {\text{ARIMA}}(p,d,q)}$يتضمن جزء من الدالة أيضًا عوامل موسمية، وحدًا ثابتًا، ومتغيرات خارجية ( xreg ، تُسمى "المتغيرات المستقلة الخارجية"). تحتوي حزمة astsa على برامج نصية مثل sarima لتقدير النماذج الموسمية وغير الموسمية، و sarima.sim لمحاكاة هذه النماذج. يُعد عرض مهام CRAN الخاص بالسلاسل الزمنية مرجعًا يحتوي على العديد من الروابط الإضافية. يمكن لحزمة "forecast" في R اختيار نموذج ARIMA تلقائيًا لسلسلة زمنية معينة باستخدامauto.arima()الدالة [التي قد تُعطي نتائج غير دقيقة في كثير من الأحيان].ويمكنه أيضًا محاكاة نماذج ARIMA الموسمية وغير الموسمية باستخدام simulate.Arima()وظيفته. ^{[ 16 ]}
• روبي : يتم استخدام جوهرة "statsample-timeseries" لتحليل السلاسل الزمنية، بما في ذلك نماذج ARIMA وتصفية كالمان.
• جافا سكريبت : تتضمن حزمة "arima" نماذج لتحليل السلاسل الزمنية والتنبؤ (ARIMA، SARIMA، SARIMAX، AutoARIMA).
• ج : تتضمن حزمة "ctsa" كلاً من ARIMA و SARIMA و SARIMAX و AutoARIMA والعديد من الطرق لتحليل السلاسل الزمنية.
• مجموعات الأدوات الآمنة : تتضمن نمذجة ARIMA والانحدار مع أخطاء ARIMA .
• SAS : يتضمن معالجة ARIMA واسعة النطاق في نظام التحليل الاقتصادي القياسي وتحليل السلاسل الزمنية الخاص به: SAS/ETS.
• يتضمن برنامج IBM SPSS نمذجة ARIMA في الإصدارين الاحترافي والمميز من حزمة الإحصاء، بالإضافة إلى حزمة Modeler. تُقيّم ميزة Expert Modeler الافتراضية مجموعة من إعدادات الانحدار الذاتي ( p ) والتكاملي ( d ) والمتوسط ​​المتحرك ( q ) الموسمية وغير الموسمية، بالإضافة إلى سبعة نماذج للتسوية الأسية. كما يُمكن لـ Expert Modeler تحويل بيانات السلاسل الزمنية المستهدفة إلى جذرها التربيعي أو لوغاريتمها الطبيعي. يُمكن للمستخدم أيضًا حصر Expert Modeler على نماذج ARIMA، أو إدخال إعدادات ARIMA الموسمية وغير الموسمية ( p ، d ، q) يدويًا دون استخدام Expert Modeler. يتوفر الكشف التلقائي عن القيم الشاذة لسبعة أنواع منها، وسيتم تضمين القيم الشاذة المكتشفة في نموذج السلاسل الزمنية عند تفعيل هذه الميزة.
• SAP : تتيح حزمة APO-FCS ^{[ 17 ]} في SAP ERP من SAP إنشاء نماذج ARIMA وتطبيقها باستخدام منهجية Box-Jenkins.
• خدمات تحليل SQL Server : من Microsoft تتضمن ARIMA كخوارزمية لاستخراج البيانات.
• يتضمن برنامج Stata نمذجة ARIMA (باستخدام أمر arima الخاص به) اعتبارًا من الإصدار 9 من Stata.
• StatSim : يتضمن نماذج ARIMA في تطبيق التنبؤ على الويب.
• يحتوي برنامج Teradata Vantage على وظيفة ARIMA كجزء من محرك التعلم الآلي الخاص به.
• تم تصميم لغة TOL (اللغة الموجهة بالوقت) لنمذجة نماذج ARIMA (بما في ذلك متغيرات SARIMA و ARIMAX و DSARIMAX)..
• مكتبة Scala : spark-timeseries تحتوي على تطبيق ARIMA للغات Scala و Java و Python. تم تصميم التطبيق ليعمل على Apache Spark .
• PostgreSQL /MadLib: تحليل السلاسل الزمنية /ARIMA .
• X-12-ARIMA : من مكتب الإحصاء الأمريكي

• الارتباط الذاتي
• أرما
• استجابة النبضة المحدودة
• استجابة نبضية لا نهائية
• الارتباط الذاتي الجزئي
• مقاعد أريما X-13

• أستيريو، ديمتروس؛ هول، ستيفن ج. (2011). "نماذج ARIMA ومنهجية بوكس-جينكينز". الاقتصاد القياسي التطبيقي (  الطبعة الثانية). بالغراف ماكميلان. ص 265-286 . ISBN  978-0-230-27182-1.
• ميلز، تيرينس سي. (1990). تقنيات السلاسل الزمنية للاقتصاديين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-34339-8.
• بيرسيفال، دونالد ب.؛ والدن، أندرو ت. (1993). التحليل الطيفي للتطبيقات الفيزيائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-35532-2.
• شومواي، آر إتش، وستوفر، دي إس (2017). تحليل السلاسل الزمنية وتطبيقاتها: مع أمثلة باستخدام لغة R. سبرينغر. DOI: 10.1007/978-3-319-52452-8
• نماذج ARIMA في لغة R. كن خبيرًا في ملاءمة نماذج ARIMA (المتوسط ​​المتحرك المتكامل التلقائي) لبيانات السلاسل الزمنية باستخدام لغة R.

• ملاحظات محاضرة حول نماذج ARIMA من إعداد روبرت ناو في جامعة ديوك