التنعيم الأسي

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 75 صور
الموسوعة الحرة

التنعيم الأسي، أو المتوسط ​​المتحرك الأسي (EMA)، هو أسلوب لتنعيم بيانات السلاسل الزمنية باستخدام دالة النافذة الأسية . فبينما تُعطى المشاهدات السابقة أوزانًا متساوية في المتوسط ​​المتحرك البسيط ، تُستخدم الدوال الأسية لتعيين أوزان متناقصة أُسّيًا بمرور الوقت. وهو إجراء سهل التعلم والتطبيق، يُستخدم لاتخاذ قرارات بناءً على افتراضات مسبقة من المستخدم، مثل الموسمية. ويُستخدم التنعيم الأسي غالبًا في تحليل بيانات السلاسل الزمنية.

يُعدّ التنعيم الأسي أحد دوال النافذة العديدة الشائعة الاستخدام لتنعيم البيانات في معالجة الإشارات ، حيث يعمل كمرشح تمرير منخفض لإزالة الضوضاء عالية التردد . وقد سبق هذه الطريقة استخدام بواسون لدوال النافذة الأسية المتكررة في عمليات الالتفاف منذ القرن التاسع عشر، بالإضافة إلى استخدام كولموغوروف وزوربينكو للمتوسطات المتحركة المتكررة في دراساتهما للاضطراب في أربعينيات القرن العشرين.

غالبًا ما يتم تمثيل تسلسل البيانات الخام بواسطة{xت}{\textstyle \{x_{t}\}}ابتداءً من الساعةت=0{\textstyle t=0}وعادةً ما تُكتب مخرجات خوارزمية التنعيم الأسي على النحو التالي:{sت}{\textstyle \{s_{t}\}}، وهو ما يمكن اعتباره أفضل تقدير للقيمة التالية لـx{\textstyle x}سيكون كذلك. عندما يبدأ تسلسل الملاحظات في الوقتت=0{\textstyle t=0}، أبسط شكل من أشكال التنعيم الأسي يتم تقديمه بواسطة الصيغ التالية: [ 1 ]

s0=x0sت=αxت+(1-α)sت-1،ت>0{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1},\quad t>0\end{aligned}}}

أينα{\textstyle \alpha }هو عامل التنعيم ، و0<α<1{\textstyle 0<\alpha <1}. لوsت-1{\textstyle s_{t-1}}يتم استبدالها بـsت{\textstyle s_{t}}بشكل مستمر بحيث تكون صيغةsت{\textstyle s_{t}}يتم التعبير عنها بالكامل من حيث{xت}{\textstyle \{x_{t}\}}ثم عوامل ترجيح متناقصة أُسّيًا على كل بيانات أوليةxت{\textstyle x_{t}}تم الكشف عن ذلك، مما يوضح كيف تمت تسمية التنعيم الأسي.

لا يستطيع التنعيم الأسي البسيط التنبؤ بما سيتم ملاحظته عندت+م{\textstyle t+m}استناداً إلى البيانات الأولية حتىت{\textstyle t}بينما يمكن استخدام التنعيم الأسي المزدوج والتنعيم الأسي الثلاثي للتنبؤ نظرًا لوجودبت{\displaystyle b_{t}}باعتبارها سلسلة من أفضل التقديرات للاتجاه الخطي.

التنعيم الأسي الأساسي (البسيط)

يُنسب استخدام دالة النافذة الأسية لأول مرة إلى بواسون [ 2 ] كامتداد لتقنية تحليل عددي من القرن السابع عشر، ثم تبناها مجتمع معالجة الإشارات في أربعينيات القرن العشرين. هنا، يُعدّ التنعيم الأسي تطبيقًا لدالة النافذة الأسية، أو دالة نافذة بواسون . وقد طُرح التنعيم الأسي في الأدبيات الإحصائية دون الإشارة إلى أعمال سابقة لروبرت جوديل براون عام 1956 [ 3 ] ، ثم وسّعه تشارلز سي. هولت عام 1957 [ 4 ]. الصيغة الموضحة أدناه، وهي الصيغة الشائعة الاستخدام، تُنسب إلى براون وتُعرف باسم "التنعيم الأسي البسيط لبراون" [ 5 ] . يمكن اعتبار جميع طرق هولت ووينترز وبراون تطبيقًا بسيطًا للترشيح التكراري ، الذي وُجد لأول مرة في أربعينيات القرن العشرين [ 2 ] لتحويل مرشحات الاستجابة النبضية المحدودة (FIR) إلى مرشحات الاستجابة النبضية غير المحدودة .

أبسط أشكال التنعيم الأسي هي الصيغة التالية:

sت=αxت+(1-α)sت-1،{\displaystyle s_{t}=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\,,}

أينα{\displaystyle \alpha }هو عامل التنعيم ، مع0≤α≤1{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}بعبارة أخرى، الإحصائية المُعدّلةsت{\displaystyle s_{t}}هو متوسط ​​مرجح بسيط للملاحظة الحاليةxت{\displaystyle x_{t}}والإحصائية المُعدّلة السابقةsت-1{\displaystyle s_{t-1}}يُمكن تطبيق التنعيم الأسي البسيط بسهولة، وهو يُنتج إحصائية مُنعّمة بمجرد توفر مُشاهدتين. يُطلق على مُعامل التنعيم المُطبق علىα{\displaystyle \alpha }هناك نوع من التسميات غير الدقيقة، حيث أن القيم الأكبر منα{\displaystyle \alpha }في الواقع، يقلل ذلك من مستوى التنعيم، وفي الحالة الحدية معα{\displaystyle \alpha }= 1 سلسلة مخرجات التنعيم هي مجرد الملاحظة الحالية. قيمα{\displaystyle \alpha }القيم القريبة من 1 لها تأثير أقل في تنعيم البيانات وتعطي وزناً أكبر للتغيرات الحديثة فيها، بينما القيم الأخرىα{\displaystyle \alpha }كلما اقتربت القيمة من الصفر، زاد تأثير التنعيم، وقلّت استجابتها للتغيرات الحديثة. في الحالة الحدية معα{\displaystyle \alpha }إذا كانت قيمة تساوي صفرًا، فإن سلسلة المخرجات تكون مسطحة أو ثابتة مثل قيمة الملاحظة.x0{\textstyle x_{0}}في بداية عملية التنعيمت=0{\textstyle t=0}.

طريقة الاختيارα{\displaystyle \alpha }يجب أن يقرر ذلك مصمم النموذج. أحيانًا يُستعان برأي الإحصائي لاختيار عامل مناسب. أو بدلاً من ذلك، يمكن استخدام أسلوب إحصائي لتحسين قيمةα{\displaystyle \alpha }على سبيل المثال، يمكن استخدام طريقة المربعات الصغرى لتحديد قيمةα{\displaystyle \alpha }والتي مجموع الكميات(sت-xت+1)2{\displaystyle (s_{t}-x_{t+1})^{2}}يتم تقليله إلى الحد الأدنى. [ 6 ]

على عكس بعض طرق التنعيم الأخرى، مثل المتوسط ​​المتحرك البسيط، لا تتطلب هذه التقنية حدًا أدنى من الملاحظات قبل أن تبدأ في إنتاج النتائج. مع ذلك، عمليًا، لن يتم الحصول على "متوسط ​​جيد" إلا بعد حساب متوسط ​​عدة عينات معًا؛ على سبيل المثال، ستستغرق الإشارة الثابتة ما يقارب3/α{\displaystyle 3/\alpha }تُستخدم عدة مراحل للوصول إلى 95% من القيمة الفعلية. ولإعادة بناء الإشارة الأصلية بدقة دون فقدان أي معلومات، يجب أن تكون جميع مراحل المتوسط ​​المتحرك الأسي متاحة، لأن وزن العينات القديمة يتناقص أُسّيًا. وهذا يختلف عن المتوسط ​​المتحرك البسيط، حيث يمكن تخطي بعض العينات دون فقدان كبير للمعلومات نظرًا لثبات وزن العينات داخل المتوسط. إذا كان عدد العينات المفقودة معروفًا، فيمكن تعديل المتوسط ​​المرجح وفقًا لذلك، بإعطاء وزن متساوٍ للعينة الجديدة وجميع العينات المراد تخطيها.

يُعرف هذا الشكل البسيط من التنعيم الأسي أيضًا باسم المتوسط ​​المتحرك الموزون أسيًا (EWMA). ومن الناحية الفنية، يمكن تصنيفه أيضًا كنموذج متوسط ​​متحرك متكامل ذاتي الانحدار (ARIMA) (0,1,1) بدون حد ثابت. [ 7 ]

ثابت الزمن

الثابت الزمني للمتوسط ​​المتحرك الأسي هو مقدار الوقت اللازم للاستجابة المُنعّمة لدالة الخطوة الوحدوية للوصول إلى1-1/هـ≈63.2%{\displaystyle 1-1/e\approx 63.2\,\%}من الإشارة النهائية. العلاقة بين هذا الثابت الزمني،τ{\displaystyle \tau }وعامل التنعيم،α{\displaystyle \alpha }، ويتم حسابها بالصيغة التالية:

α=1-هـ-Δتي/τ{\displaystyle \alpha =1-e^{-\Delta T/\tau }}، هكذا τ=-Δتيln⁡(1-α){\displaystyle \tau =-{\frac {\Delta T}{\ln(1-\alpha )}}}

أينΔتي{\displaystyle \Delta T}يمثل فاصل أخذ العينات في تطبيق الزمن المتقطع. إذا كان وقت أخذ العينات سريعًا مقارنةً بالثابت الزمني (Δتي≪τ{\displaystyle \Delta T\ll \tau }ثم، باستخدام متسلسلة تايلور للدالة الأسية ،

α≈Δتيτ{\displaystyle \alpha \approx {\frac {\Delta T}{\tau }}}، هكذاτ≈Δتيα{\displaystyle \tau \approx {\frac {\Delta T}{\alpha }}}

اختيار القيمة الأولية المُنعّمة

لاحظ أنه في التعريف أعلاه،s0{\displaystyle s_{0}}(الناتج الأولي لخوارزمية التنعيم الأسي) يتم تهيئته إلىx0{\displaystyle x_{0}}(البيانات الأولية أو الملاحظة). لأن التنعيم الأسي يتطلب أن يكون لدينا، في كل مرحلة، التنبؤ السابقsت-1{\displaystyle s_{t-1}}ليس من الواضح كيفية بدء هذه الطريقة. يمكننا افتراض أن التوقع الأولي يساوي القيمة الأولية للطلب؛ إلا أن هذا النهج ينطوي على عيب خطير. إذ يُعطي التنعيم الأسي وزنًا كبيرًا للبيانات السابقة، مما يجعل القيمة الأولية للطلب تؤثر بشكل غير معقول على التوقعات المبكرة. يمكن التغلب على هذه المشكلة بالسماح للعملية بالتطور لعدد معقول من الفترات (10 فترات أو أكثر) واستخدام متوسط ​​الطلب خلال تلك الفترات كتوقع أولي. هناك العديد من الطرق الأخرى لتحديد هذه القيمة الأولية، ولكن كلما صغرت قيمة...α{\displaystyle \alpha }كلما زادت حساسية التنبؤ لاختيار هذه القيمة الأولية الأكثر سلاسة، زادت حساسية التنبؤ.s0{\displaystyle s_{0}}[ 8 ] [ 9 ]​

تحسين

لكل طريقة من طرق التنعيم الأسي، نحتاج أيضًا إلى تحديد قيمة معاملات التنعيم. في التنعيم الأسي البسيط، يوجد معامل تنعيم واحد فقط ( α )، أما في الطرق اللاحقة، فعادةً ما يكون هناك أكثر من معامل تنعيم.

في بعض الحالات، قد يتم اختيار معاملات التنعيم بطريقة تقديرية، حيث يحدد المتنبئ قيمها بناءً على خبرته السابقة. مع ذلك، فإن الطريقة الأكثر دقة وموضوعية للحصول على قيم المعاملات المجهولة في أي طريقة تنعيم أسية هي تقديرها من البيانات المرصودة.

يمكن تقدير المعاملات المجهولة والقيم الأولية لأي طريقة تنعيم أسي عن طريق تقليل مجموع مربعات الأخطاء (SSE). وتُحدد الأخطاء على النحو التالي:هـت=yت-y^ت|ت-1{\textstyle e_{t}=y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1}}لت=1،...،تي{\textstyle t=1,\ldots ,T}(أخطاء التنبؤ داخل العينة للخطوة التالية) حيثyت{\textstyle y_{t}}وy^ت|ت-1{\textstyle {\hat {y}} _ {t\mid t-1}}هي متغير يتم التنبؤ به عندت{\displaystyle t}ومتغير كنتيجة للتنبؤ عندت{\displaystyle t}(استنادًا إلى البيانات أو التنبؤات السابقة)، على التوالي. ومن ثم، نجد قيم المعلمات المجهولة والقيم الأولية التي تُقلل

جنوب شرق=∑ت=1تي(yت-y^ت|ت-1)2=∑ت=1تيهـت2{\displaystyle {\text{SSE}}=\sum _{t=1}^{T}(y_{t}-{\hat {y}}_{t\mid t-1})^{2}=\sum _{t=1}^{T}e_{t}^{2}}[ 10 ]

بخلاف حالة الانحدار (حيث لدينا صيغ لحساب معاملات الانحدار التي تقلل من مجموع مربعات الأخطاء بشكل مباشر) فإن هذا ينطوي على مشكلة تقليل غير خطية، ونحتاج إلى استخدام أداة تحسين للقيام بذلك.

التسمية "الأسية"

يُعزى اسم التنعيم الأسي إلى استخدام الدالة الأسية كاستجابة نبضية للمرشح في عملية الالتفاف .

وبإجراء استبدال مباشر للمعادلة التعريفية للتسوية الأسية البسيطة في نفسها، نجد أن

sت=αxت+(1-α)sت-1=αxت+α(1-α)xت-1+(1-α)2sت-2=α[xت+(1-α)xت-1+(1-α)2xت-2+(1-α)3xت-3+⋯+(1-α)ت-1x1]+(1-α)تx0.{\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s_{t-1}\\[3pt]&=\alpha x_{t}+\alpha (1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}s_{t-2}\\[3pt]&=\alpha \left[x_{t}+(1-\alpha )x_{t-1}+(1-\alpha )^{2}x_{t-2}+(1-\alpha )^{3}x_{t-3}+\cdots +(1-\alpha )^{t-1}x_{1}\right]+(1-\alpha )^{t}x_{0}.\end{aligned}}}

بمعنى آخر، مع مرور الوقت، تصبح الإحصائية المعدلةsت{\displaystyle s_{t}}يصبح المتوسط ​​المرجح لعدد متزايد من الملاحظات السابقةsت-1،...،sت-ن،...{\displaystyle s_{t-1},\ldots ,s_{t-n},\ldots }والأوزان المخصصة للملاحظات السابقة تتناسب مع حدود المتسلسلة الهندسية.

1،(1-α)،(1-α)2،...،(1-α)ن،...{\displaystyle 1,(1-\alpha ),(1-\alpha )^{2},\ldots ,(1-\alpha )^{n},\ldots }

المتتالية الهندسية هي النسخة المنفصلة من الدالة الأسية ، ومن هنا جاء اسم طريقة التنعيم هذه وفقًا لعلم الإحصاء .

مقارنة بالمتوسط ​​المتحرك

يُعاني كلٌّ من التنعيم الأسي والمتوسط ​​المتحرك من عيوبٍ مُشابهة، وهي إدخال تأخيرٍ زمنيٍّ بالنسبة لبيانات الإدخال. في حين يُمكن تصحيح هذا التأخير بإزاحة النتيجة بمقدار نصف طول النافذة في حالة النواة المتناظرة، كالمتوسط ​​المتحرك أو التوزيع الغاوسي، إلا أن هذا الأسلوب غير مُمكن في حالة التنعيم الأسي، لأنه مُرشِّح استجابة نبضية لا نهائية (IIR)، وبالتالي فإن نواته غير متناظرة، كما أن تأخير المجموعة فيه يعتمد على التردد . هذا يعني أن كل ترددٍ مُكوِّن يُزاح بمقدارٍ مُختلف، وبالتالي لا يوجد عددٌ مُحددٌ من العينات يُمكن استخدامه لإزاحة إشارة الخرج لمُعالجة هذا التأخير.

يتشابه كلا المرشحين تقريبًا في توزيع خطأ التنبؤ عندما تكون قيمة α = 2/( k  +  1)، حيث k هو عدد نقاط البيانات السابقة المستخدمة في حساب المتوسط ​​المتحرك. ويكمن الاختلاف بينهما في أن التنعيم الأسي يأخذ في الحسبان جميع البيانات السابقة، بينما يأخذ المتوسط ​​المتحرك في الحسبان k نقطة بيانات سابقة فقط. ومن الناحية الحسابية، يختلفان أيضًا في أن المتوسط ​​المتحرك يتطلب الاحتفاظ بنقاط البيانات k السابقة ، أو نقطة البيانات عند التأخير k  +  1 بالإضافة إلى أحدث قيمة تنبؤ، بينما لا يحتاج التنعيم الأسي إلا إلى الاحتفاظ بأحدث قيمة تنبؤ. [ 11 ]

في أدبيات معالجة الإشارات ، يعد استخدام المرشحات غير السببية (المتماثلة) أمرًا شائعًا، ويتم استخدام دالة النافذة الأسية على نطاق واسع بهذه الطريقة، ولكن يتم استخدام مصطلحات مختلفة: التنعيم الأسي يعادل مرشح استجابة نبضية لا نهائية من الدرجة الأولى (IIR) والمتوسط ​​المتحرك يعادل مرشح استجابة نبضية محدودة بمعاملات ترجيح متساوية.

التنعيم الأسي المزدوج (خطي هولت)

لا يُجدي التنعيم الأسي البسيط نفعًا عند وجود اتجاه في البيانات. [ 1 ] في مثل هذه الحالات، طُوِّرت عدة طرق تُعرف باسم "التنعيم الأسي المزدوج" أو "التنعيم الأسي من الدرجة الثانية"، وهو تطبيق متكرر لمرشح أسي مرتين، ومن هنا جاءت تسميته "التنعيم الأسي المزدوج". وتتلخص الفكرة الأساسية وراء التنعيم الأسي المزدوج في إضافة حدٍّ يأخذ في الحسبان احتمال وجود اتجاه في السلسلة. ويتم تحديث مُكوِّن الميل هذا نفسه عبر التنعيم الأسي.

إحدى الطرق تعمل على النحو التالي: [ 12 ]

مرة أخرى، يتم تمثيل تسلسل البيانات الأولية للملاحظات بواسطةxت{\displaystyle x_{t}}، ابتداءً من الوقتت=0{\displaystyle t=0}نحن نستخدمsت{\displaystyle s_{t}}لتمثيل القيمة المُنعّمة للوقتت{\displaystyle t}، وبت{\displaystyle b_{t}}يمثل هذا أفضل تقدير لدينا للاتجاه في ذلك الوقتت{\displaystyle t}تُكتب مخرجات الخوارزمية الآن على النحو التالي:Fت+م{\displaystyle F_{t+m}}، تقدير لقيمةxت+م{\displaystyle x_{t+m}}في ذلك الوقتم>0{\displaystyle m>0}استنادًا إلى البيانات الأولية حتى وقت محددت{\displaystyle t}يتم إعطاء التنعيم الأسي المزدوج بالصيغ التالية

s0=x0ب0=x1-x0{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\b_{0}&=x_{1}-x_{0}\\\end{aligned}}}

ولـت>0{\displaystyle t>0}بواسطة

sت=αxت+(1-α)(sت-1+بت-1)بت=β(sت-sت-1)+(1-β)بت-1{\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )(s_{t-1}+b_{t-1})\\b_{t}&=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}\\\end{aligned}}}

أينα{\displaystyle \alpha }(0≤α≤1{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}) هو عامل تنعيم البيانات ، وβ{\displaystyle \beta }(0≤β≤1{\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}) هو عامل تنعيم الاتجاه .

للتنبؤ بما يتجاوزxت{\displaystyle x_{t}}ويتم تحديده بالتقريب التالي:

Fت+م=sت+م⋅بت{\displaystyle F_{t+m}=s_{t}+m\cdot b_{t}}.

تحديد القيمة الأوليةب{\displaystyle b}الأمر مسألة تفضيل شخصي. وهناك خيار آخر غير الخيار المذكور أعلاه وهوxن-x0ن{\textstyle {\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}}بالنسبة للبعضن{\displaystyle n}.

لاحظ أن F 0 غير معرف (لا يوجد تقدير للوقت 0)، ووفقًا للتعريف F 1 = s 0 + b 0 ، وهو معرف جيدًا، وبالتالي يمكن تقييم المزيد من القيم.

أما الطريقة الثانية، والتي يشار إليها إما باسم التنعيم الأسي الخطي لبراون (LES) أو التنعيم الأسي المزدوج لبراون، فلها عامل تنعيم واحد فقط.α{\displaystyle \alpha }: [ 13 ]

s0′=x0s0"=x0sت′=αxت+(1-α)sت-1′sت"=αsت′+(1-α)sت-1"Fت+م=أت+مبت،{\displaystyle {\begin{aligned}s'_{0}&=x_{0}\\s''_{0}&=x_{0}\\s'_{t}&=\alpha x_{t}+(1-\alpha )s'_{t-1}\\s''_{t}&=\alpha s'_{t}+(1-\alpha )s''_{t-1}\\F_{t+m}&=a_{t}+mb_{t},\end{aligned}}}

حيث يُعطى كل من a t ، وهو المستوى المُقدَّر عند الزمن t ، و b t ، وهو الاتجاه المُقدَّر عند الزمن t ، بالعلاقة التالية:

أت=2sت′-sت"بت=α1-α(sت′-sت").{\displaystyle {\begin{aligned}a_{t}&=2s'_{t}-s''_{t}\\[5pt]b_{t}&={\frac {\alpha }{1-\alpha }}(s'_{t}-s''_{t}).\end{aligned}}}

التنعيم الأسي الثلاثي (هولت-وينترز)

يُطبّق التنعيم الأسي الثلاثي التنعيم الأسي ثلاث مرات، ويُستخدم عادةً عند وجود ثلاث إشارات عالية التردد مطلوب إزالتها من سلسلة زمنية قيد الدراسة. توجد أنواع مختلفة من الموسمية: "الضربية" و"الجمعية". تشير الموسمية الضربية إلى أن حجم التأثير الموسمي يعتمد على المستوى الحالي، بينما لا تعتمد التأثيرات الموسمية الجمعية على ذلك.

إذا بعنا في كل صيف 10,000 كرة آيس كريم أكثر مما نبيعه في الشتاء، فإن الموسمية تكون تراكمية . أما إذا بعنا 6 أضعاف كمية الآيس كريم في الصيف مقارنة بالشتاء، فهذا يعني أن الفرق في كميات المبيعات يتناسب مع مستوى الاستهلاك نفسه: ففي السنوات التي يرتفع فيها الاستهلاك الإجمالي، يكون الفرق بين الصيف والشتاء أكبر، والعكس صحيح. وبالتالي، يكون التأثير مضاعفًا . يمكن تمثيل الموسمية المضاعفة كعامل ثابت، والموسمية التراكمية كقيمة مطلقة. [ 14 ]

اقترح بيتر وينترز، أحد طلاب هولت، تقنية التنعيم الأسي الثلاثي لأول مرة عام 1960 بعد قراءته كتابًا عن معالجة الإشارات من أربعينيات القرن العشرين حول التنعيم الأسي. [ 15 ] تمثلت فكرة هولت المبتكرة في تكرار عملية الترشيح عددًا فرديًا من المرات، أكبر من 1 وأقل من 5، وهو ما كان شائعًا بين الباحثين في العصور السابقة. [ 15 ] مع أن الترشيح التكراري كان مستخدمًا سابقًا، إلا أنه كان يُطبق مرتين وأربع مرات ليتوافق مع حدسية هادامارد ، بينما يتطلب التطبيق الثلاثي أكثر من ضعف عمليات الالتفاف الأحادي. يُعتبر استخدام التطبيق الثلاثي أسلوبًا عمليًا ، وليس قائمًا على أسس نظرية، وغالبًا ما يُبالغ الممارسون في تقديره.

لنفترض أن لدينا سلسلة من الملاحظاتxت،{\displaystyle x_{t},}ابتداءً من الساعةت=0{\displaystyle t=0}مع دورة من التغير الموسمي في الطولل{\displaystyle L}تحسب هذه الطريقة خط اتجاه للبيانات، بالإضافة إلى مؤشرات موسمية تُرجّح القيم في خط الاتجاه بناءً على موقع تلك النقطة الزمنية في دورة طولها.ل{\displaystyle L}.

يتركsت{\displaystyle s_{t}}يمثل القيمة المُنعّمة للجزء الثابت بالنسبة للزمنت{\displaystyle t}،بت{\displaystyle b_{t}}هي سلسلة من أفضل التقديرات للاتجاه الخطي التي تتراكب على التغيرات الموسمية، وجت{\displaystyle c_{t}}هي سلسلة عوامل التصحيح الموسمية. نرغب في تقديرهاجت{\displaystyle c_{t}}في كل وقتت{\displaystyle t}تعديلل{\displaystyle L}في الدورة التي تتبعها الملاحظات. وكقاعدة عامة، يلزم حد أدنى من موسمين كاملين (أو2ل{\displaystyle 2L}هناك حاجة إلى فترات من البيانات التاريخية لتهيئة مجموعة من العوامل الموسمية.

تُكتب مخرجات الخوارزمية مرة أخرى على النحو التاليFت+م{\displaystyle F_{t+m}}، تقدير لقيمةxت+م{\displaystyle x_{t+m}}في ذلك الوقتت+م>0{\displaystyle t+m>0}استنادًا إلى البيانات الأولية حتى وقت محددت{\displaystyle t}يتم إعطاء التنعيم الأسي الثلاثي مع الموسمية المضاعفة بواسطة الصيغ [ 1 ] .

s0=x0sت=αxتجت-ل+(1-α)(sت-1+بت-1)بت=β(sت-sت-1)+(1-β)بت-1جت=γxتsت+(1-γ)جت-لFت+م=(sت+مبت)جت-ل+1+(م-1)تعديلل،{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\[5pt]s_{t}&=\alpha {\frac {x_{t}}{c_{t-L}}}+(1-\alpha )(s_{t-1}+b_{t-1})\\[5pt]b_{t}&=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}\\[5pt]c_{t}&=\gamma {\frac {x_{t}}{s_{t}}}+(1-\gamma )c_{t-L}\\[5pt]F_{t+m}&=(s_{t}+mb_{t})c_{t-L+1+(m-1){\bmod {L}}},\end{aligned}}}

أينα{\displaystyle \alpha }(0≤α≤1{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}) هو عامل تنعيم البيانات ،β{\displaystyle \beta }(0≤β≤1{\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}) هو عامل تنعيم الاتجاه ، وγ{\displaystyle \gamma }(0≤γ≤1{\displaystyle 0\leq \gamma \leq 1}) هو عامل تنعيم التغير الموسمي .

الصيغة العامة لتقدير الاتجاه الأوليب{\displaystyle b}يكون

ب0=1ل(xل+1-x1ل+xل+2-x2ل+⋯+xل+ل-xلل){\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{L}}\left({\frac {x_{L+1}-x_{1}}{L}}+{\frac {x_{L+2}-x_{2}}{L}}+\cdots +{\frac {x_{L+L}-x_{L}}{L}}\right)\end{aligned}}}.

تحديد التقديرات الأولية للمؤشرات الموسميةجأنا{\displaystyle c_{i}}لأنا=1،2،...،ل{\displaystyle i=1,2,\ldots ,L}الأمر أكثر تعقيداً بعض الشيء. إذاشمال{\displaystyle N}يمثل عدد الدورات الكاملة الموجودة في بياناتك، ثم

جأنا=1شمال∑ج=1شمالxل(ج-1)+أناأجل أنا=1،2،...،ل{\displaystyle c_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {x_{L(j-1)+i}}{A_{j}}}\quad {\text{for }}i=1,2,\ldots ,L}

أين

أج=∑ك=1لxل(ج-1)+كلل ج=1،2،...،شمال{\displaystyle A_{j}={\frac {\sum _{k=1}^{L}x_{L(j-1)+k}}{L}}\quad {\text{for }}j=1,2,\ldots ,N}.

لاحظ أنأج{\displaystyle A_{j}}هو متوسط ​​قيمةx{\displaystyle x}فيجذ{\displaystyle j^{\text{th}}}دورة بياناتك.

وينتج عن ذلك

جأنا=1شمال∑ج=1شمالxل(ج-1)+أنا1ل∑ك=1لxل(ج-1)+ك{\displaystyle c_{i}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {x_{L(j-1)+i}}{{\frac {1}{L}}\sum _{k=1}^{L}x_{L(j-1)+k}}}}

يُعطى التنعيم الأسي الثلاثي مع الموسمية المضافة بالصيغة التالية:

s0=x0sت=α(xت-جت-ل)+(1-α)(sت-1+بت-1)بت=β(sت-sت-1)+(1-β)بت-1جت=γ(xت-sت-1-بت-1)+(1-γ)جت-لFت+م=sت+مبت+جت-ل+1+(م-1)تعديلل.{\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}\\s_{t}&=\alpha (x_{t}-c_{t-L})+(1-\alpha )(s_{t-1}+b_{t-1})\\b_{t}&=\beta (s_{t}-s_{t-1})+(1-\beta )b_{t-1}\\c_{t}&=\gamma (x_{t}-s_{t-1}-b_{t-1})+(1-\gamma )c_{t-L}\\F_{t+m}&=s_{t}+mb_{t}+c_{t-L+1+(m-1){\bmod {L}}}.\\\end{aligned}}}

تطبيقات في حزم الإحصاء

  • R : دالة HoltWinters في حزمة الإحصاءات [ 16 ] ودالة ets في حزمة التنبؤ [ 17 ] (تنفيذ أكثر اكتمالاً، مما يؤدي عمومًا إلى أداء أفضل [ 18 ] ).
  • بايثون : تسمح وحدة holtwinters من حزمة statsmodels بالتسوية الأسية البسيطة والمزدوجة والثلاثية.
  • يتضمن برنامج IBM SPSS نماذج السلاسل الزمنية البسيطة، والبسيطة الموسمية، واتجاه هولت الخطي، واتجاه براون الخطي، والاتجاه المخفف، والجمعي لـ Winters، والضربي لـ Winters، وذلك ضمن حزمتي الإحصاء والنمذجة الإحصائية. وتقوم ميزة Expert Modeler الافتراضية بتقييم جميع نماذج التنعيم الأسي السبعة ونماذج ARIMA باستخدام نطاق من قيم p و d و q الموسمية وغير الموسمية ، ثم تختار النموذج ذي أقل قيمة إحصائية لمعيار معلومات بايز .
  • Stata : أمر tssmooth [ 19 ]
  • LibreOffice 5.2 [ 20 ]
  • مايكروسوفت إكسل 2016 [ 21 ]
  • جوليا : حزمة TrendDecomposition.jl [ 22 ] تنفذ عملية التنعيم الأسي البسيط والمزدوج وإجراء التنبؤ Holts-Winters.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 3 "دليل NIST/SEMATECH الإلكتروني للأساليب الإحصائية" . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 مايو 2010 .
  2. 1 2 أوبنهايم، آلان ف.؛ شيفر، رونالد و. (1975). معالجة الإشارات الرقمية . برنتيس هول . ص 5. ISBN  0-13-214635-5.
  3. ↑ براون، روبرت ج. (1956). التمهيد الأسي للتنبؤ بالطلب . كامبريدج، ماساتشوستس: آرثر دي ليتل إنك. ص 15. 
  4. ↑ هولت، تشارلز سي. (1957). "التنبؤ بالاتجاهات والموسمية باستخدام المتوسطات المرجحة أُسّيًا". مذكرة مكتب البحوث البحرية . 52 .أُعيد نشرها في: هولت، تشارلز سي. (يناير-مارس 2004). "التنبؤ بالاتجاهات والموسمية باستخدام المتوسطات المرجحة أُسّيًا". المجلة الدولية للتنبؤ . 20 (1): 5-10 . doi : 10.1016/j.ijforecast.2003.09.015 .
  5. ↑ براون، روبرت جوديل (1963). التنبؤ والتنعيم لسلاسل زمنية منفصلة . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول.
  6. ↑ "دليل NIST/SEMATECH الإلكتروني للأساليب الإحصائية، 6.4.3.1. التنعيم الأسي الأحادي" . NIST . تم الاطلاع عليه في 5 يوليو 2017 .
  7. ↑ ناو، روبرت. "نماذج التوسط والتسوية الأسية" . تم الاسترجاع في 26 يوليو 2010 .
  8. ↑ "تحليل الإنتاج والعمليات" نحمياس. 2009.
  9. ↑ تشيزار، ب.، وتشيزار، إس إم (2011). "طرق تحسين إحصائيات EWMA". مجلة Acta Polytechnica Hungarica ، 8(5)، 73-87. الصفحة 78.
  10. ↑ 7.1 التمهيد الأسي البسيط | التنبؤ: المبادئ والممارسة .
  11. ↑ نحمياس، ستيفن؛ أولسن، تافا لينون. تحليل الإنتاج والعمليات ( الطبعة السابعة). دار نشر ويڤلاند. ص 53. ISBN   9781478628248.
  12. ↑ "6.4.3.3. التنعيم الأسي المزدوج" . itl.nist.gov . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2011 .
  13. ↑ "نماذج التوسط والتسوية الأسية" . duke.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 سبتمبر 2011 .
  14. ↑ كاليهار، براجاكتا س. "التنبؤ بالسلاسل الزمنية باستخدام التمهيد الأسي لهولت-وينترز" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 يونيو 2014 .
  15. 1 2 وينترز، العلاقات العامة (أبريل 1960). "التنبؤ بالمبيعات باستخدام المتوسطات المتحركة المرجحة أُسّيًا". علوم الإدارة . 6 (3): 324-342 . doi : 10.1287/mnsc.6.3.324 .
  16. ↑ "R: Holt–Winters Filtering" . stat.ethz.ch. تم الاطلاع عليه في 5 يونيو 2016 .
  17. ↑ "ets {forecast} | inside-R | موقع مجتمعي للغة R" . inside-r.org . مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 يونيو 2016 .
  18. ↑ "مقارنة بين HoltWinters() و ets()" . هايندسايت . 29 مايو 2011. تم الاطلاع عليه في 5 يونيو 2016 .
  19. ↑ tssmooth في دليل Stata
  20. ↑ "LibreOffice 5.2: ملاحظات الإصدار - ويكي مؤسسة المستندات" .
  21. ↑ "وظائف التنبؤ في Excel 2016 | الإحصاءات الحقيقية باستخدام Excel" .
  22. ↑ TrendDecomposition.jl تطبيق جوليا للتسوية الأسية وإجراء التنبؤ هولت-وينترز