دالة الخطوة هيفسايد

دالة هيفسايد المتدرجة ، أو دالة الوحدة المتدرجة ، والتي يُرمز لها عادةً بالرمز H أو θ (وأحيانًا u أو 1 أو 1 )، هي دالة متدرجة سُميت نسبةً إلى أوليفر هيفسايد ، وقيمتها صفر للقيم السالبة وواحد للقيم الموجبة. وتُستخدم اصطلاحات مختلفة فيما يتعلق بقيمة H (0) . وهي مثال على فئة الدوال المتدرجة العامة، والتي يمكن تمثيلها جميعًا كمجموعات خطية من إزاحات هذه الدالة.

طُوِّرت هذه الدالة في الأصل في حساب التفاضل والتكامل العملي لحل المعادلات التفاضلية ، حيث تمثل إشارة تُفعَّل في وقت محدد وتبقى مُفعَّلة إلى أجل غير مسمى. وقد طوّر هيفسايد حساب التفاضل والتكامل العملي كأداة في تحليل الاتصالات التلغرافية، ومثّل الدالة بالصيغة 1 .

بأخذ الاصطلاح بأن H (0) = 1 ، يمكن تعريف دالة هيفسايد على النحو التالي:

• دالة متعددة التعريف :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• باستخدام صيغة أقواس إيفرسون :$${\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}$$
• وظيفة المؤشر :$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)}$$

أما بالنسبة للاتفاقية البديلة التي تنص على أن H (0) = 1 / 2 ، فيمكن التعبير عنها على النحو التالي:

• دالة متعددة التعريف :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• تحويل خطي لدالة الإشارة :$${\displaystyle H(x):={\frac {1}{2}}\left({\mbox{sgn}}\,x+1\right)}$$
• المتوسط ​​الحسابي لقوسين من نوع إيفرسون :$${\displaystyle H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}}$$
• نهاية أحادية الجانب لدالة الظل العكسي ذات الوسيطين :$${\displaystyle H(x)=:\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {{\mbox{atan2}}(\epsilon ,-x)}{\pi }}}$$
• وظيفة فائقة :$${\displaystyle H(x)=:\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right)}$$أو ما يعادل ذلك:$${\displaystyle H(x)=:\left(-{\frac {\log -z}{2\pi i}},-{\frac {\log -z}{2\pi i}}\right),}$$حيث يمثل log z القيمة الرئيسية للوغاريتم المركب لـ z .

تشمل التعريفات الأخرى غير المعرفة عند H (0) ما يلي:

• دالة متعددة التعريف :$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• مشتق دالة المنحدر :$${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0}$$
• معبر عنها بدلالة دالة القيمة المطلقة ، مثل:$${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}}$$

دالة ديراك دلتا هي المشتقة الضعيفة لدالة هيفسايد:$${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}\ H(x),}$$لذا، يمكن اعتبار دالة هيفسايد تكاملاً لدالة ديراك دلتا. ويُكتب هذا أحيانًا على النحو التالي:$${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds,}$$مع أن هذا التوسع قد لا يكون صحيحًا (أو حتى منطقيًا) عندما x = 0 ، وذلك بحسب الصيغة المستخدمة لتفسير التكاملات التي تتضمن δ . في هذا السياق، دالة هيفسايد هي دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي قيمته صفر تقريبًا . (انظر: المتغير العشوائي الثابت ).

تُعد التقريبات لدالة هيفسايد الخطوية مفيدة في الكيمياء الحيوية وعلم الأعصاب ، حيث يمكن استخدام التقريبات اللوجستية للدوال الخطوية (مثل معادلات هيل وميكايليس -مينتين ) لتقريب المفاتيح الخلوية الثنائية استجابةً للإشارات الكيميائية.

للحصول على تقريب سلس لدالة الخطوة، يمكن استخدام الدالة اللوجستية :$${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$$حيث يتوافق k الأكبر مع انتقال أكثر حدة عند x = 0 .

إذا أخذنا H (0) = 1 / 2 ، فإن المساواة تتحقق في النهاية:$${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$$

توجد العديد من التقريبات التحليلية السلسة الأخرى لدالة الخطوة. ^{[ 1 ]} ومن بين الاحتمالات ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$$تنطبق هذه الحدود على مستوى النقاط وفي سياق التوزيعات . عمومًا، لا يستلزم التقارب على مستوى النقاط بالضرورة التقارب التوزيعي، والعكس صحيح. (مع ذلك، إذا كانت جميع عناصر متتالية دوال متقاربة على مستوى النقاط محدودة بشكل منتظم بدالة "جيدة"، فإن التقارب ينطبق أيضًا في سياق التوزيعات ).

يمكن أيضاً استخدام دالة سيجمويد مُقاسة ومُزاحة .

بشكل عام، يمكن لأي دالة توزيع تراكمي لتوزيع احتمالي مستمر ، ذات ذروة حول الصفر وتحتوي على مُعامل للتحكم في التباين ، أن تُستخدم كتقريب، وذلك في حالة اقتراب التباين من الصفر. على سبيل المثال، جميع التقريبات الثلاثة المذكورة أعلاه هي دوال توزيع تراكمي لتوزيعات احتمالية شائعة: التوزيع اللوجستي ، وتوزيع كوشي، والتوزيع الطبيعي ، على التوالي.

يمكن إجراء تقريبات لدالة هيفسايد المتدرجة من خلال دالة انتقال سلسة مثل${\displaystyle 1\leq m\to \infty }$:$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\tanh \left(m{\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)\right)},&|x|<1\\\\1,&x\geq 1\\0,&x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$

غالباً ما يكون التمثيل التكاملي لدالة هيفسايد المتدرجة مفيداً:$${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\ {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$حيث يسهل استنتاج التمثيل الثاني من التمثيل الأول، بالنظر إلى أن دالة الخطوة حقيقية وبالتالي فهي مرافقها المركب .

بما أن H تُستخدم عادةً في التكامل ، وقيمة الدالة عند نقطة واحدة لا تؤثر على تكاملها، فنادرًا ما يهمّ اختيار قيمة محددة لـ H (0) . في الواقع، عندما تُعتبر H توزيعًا أو عنصرًا من ^L∞ ( انظر فضاء Lp )، فإنه لا معنى للحديث عن قيمة عند الصفر، لأن هذه الكائنات مُعرّفة تقريبًا في كل مكان . عند استخدام تقريب تحليلي (كما في الأمثلة السابقة ) ^، غالبًا ما تُستخدم النهاية المناسبة عند الصفر.

توجد أسباب مختلفة لاختيار قيمة معينة.

• يُستخدم H (0) = 1/2 غالبًا لأن الرسم البياني يتمتع حينها بتناظر دوراني ؛ بعبارة أخرى، H - 1/2 دالة فردية . في هذه الحالة ، تتحقق العلاقة التالية معدالة الإشارة لجميع قيم x :$${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).}$$أيضًا،${\displaystyle \forall x,\ H(x)+H(-x)=1}$.
• يُستخدم H (0) = 1 عندما يكون من الضروري أن تكون H متصلة من اليمين . على سبيل المثال،تُعتبر دوال التوزيع التراكمي عادةً متصلة من اليمين، وكذلك الدوال التي يتم التكامل عليها في تكامل ليبيغ-ستيلتيس . في هذه الحالة،تكون H دالة مؤشر لفترة مغلقة شبه لانهائية.$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$$التوزيع الاحتمالي المقابل هو التوزيع المنحط .
• يُستخدم H (0) = 0 عندما يكون من الضروري أن تكون H متصلة من اليسار . في هذه الحالة، تكون H دالة مؤشر لفترة مفتوحة شبه لانهائية.$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).}$$
• في سياقات التحليل الوظيفي من التحسين ونظرية الألعاب ، من المفيد غالبًا تعريف دالة هيفسايد كدالة متعددة القيم للحفاظ على استمرارية الدوال الحدية وضمان وجود حلول معينة. في هذه الحالات، تُرجع دالة هيفسايد فترة كاملة من الحلول الممكنة، H (0) = [0,1] .

شكل بديل لدالة الخطوة الوحدية، يتم تعريفه بدلاً من ذلك كدالة${\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} }$(أي، مع الأخذ في الاعتبار متغيرًا منفصلاً n )، هو:$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$$أو باستخدام اصطلاح نصف الحد الأقصى: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$$حيث n عدد صحيح . إذا كان n عددًا صحيحًا، فإن n < 0 يستلزم بالضرورة أن n ≤ − 1 ، بينما n > 0 يستلزم بالضرورة أن الدالة تصل إلى الواحد عند n = 1. لذلك، تُظهر "دالة الخطوة" سلوكًا يشبه المنحدر على المجال [ − 1, 1 ] ، ولا يمكن اعتبارها دالة خطوة حقيقية، وفقًا لاتفاقية نصف القيمة القصوى.

بخلاف الحالة المستمرة، فإن تعريف H [0] مهم.

النبضة الوحدوية في الزمن المتقطع هي الفرق الأول للخطوة في الزمن المتقطع:$${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$$هذه الدالة هي المجموع التراكمي لدالة كرونكر دلتا :$${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],}$$أين${\textstyle \delta [k]=\delta _{k,0}}$هي دالة النبضة المنفصلة .

دالة المنحدر هي دالة أصلية لدالة الخطوة هيفسايد:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$$المشتق التوزيعي لدالة هيفسايد المتدرجة هو دالة ديراك دلتا :$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$$

يُعد تحويل فورييه لدالة هيفسايد المتدرجة توزيعًا. باستخدام اختيار واحد للثوابت لتعريف تحويل فورييه، نحصل على $${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$$هنا ، pv ⁠ 1 / s ⁠ هو التوزيع الذي يأخذ دالة الاختبار φ إلى القيمة الرئيسية لكوشي لـ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}$. يتم أيضًا أخذ النهاية التي تظهر في التكامل بمعنى التوزيعات (المعتدلة).

تحويل لابلاس لدالة هيفسايد المتدرجة هو دالة ميرومورفية . باستخدام تحويل لابلاس أحادي الجانب، نحصل على:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$$

عند استخدام التحويل الثنائي ، يمكن تقسيم التكامل إلى جزأين وستكون النتيجة هي نفسها.

• المكتبة الرقمية للدوال الرياضية، المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST)،.
• بيرغ، إرنست يوليوس (1936). "الدالة الوحدوية". حساب العمليات لهيفسايد، كما يُطبق على الهندسة والفيزياء . ماكجرو هيل للتعليم . ص  5.
• كالفيرت، جيمس ب. (2002). "هايفسايد، لابلاس، والتكامل العكسي" . جامعة دنفر .
• ديفيز، برايان (2002). "دالة هيفسايد المتدرجة". التحويلات التكاملية وتطبيقاتها (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. ص  28.
• داف، جورج إف دي ؛ نايلور، د. (1966). "دالة هيفسايد الوحدوية". المعادلات التفاضلية في الرياضيات التطبيقية . جون وايلي وأولاده . ص  42.