تقدير الاتجاه الخطي

يُعدّ تقدير الاتجاه الخطي أسلوبًا إحصائيًا يُستخدم لتحليل أنماط البيانات . وتظهر أنماط البيانات ، أو الاتجاهات، عندما تميل المعلومات المُجمّعة إلى الزيادة أو النقصان بمرور الوقت، أو عندما تتأثر بتغيرات في عامل خارجي. ويُنشئ تقدير الاتجاه الخطي أساسًا خطًا مستقيمًا على رسم بياني للبيانات ، يُمثّل الاتجاه العام الذي تسلكه البيانات .

عند توفر مجموعة من البيانات ، يمكن اختيار مجموعة متنوعة من الدوال لملاءمة هذه البيانات. أبسط هذه الدوال هو خط مستقيم، حيث يُمثل المحور الرأسي المتغير التابع (عادةً البيانات المقاسة)، بينما يُمثل المحور الأفقي المتغير المستقل (غالباً الزمن).

تُعدّ طريقة المربعات الصغرى طريقة شائعة لرسم خط مستقيم يمر عبر البيانات. تعمل هذه الطريقة على تقليل مجموع مربعات الأخطاء في سلسلة البيانات.${\displaystyle y}$. بالنظر إلى مجموعة من النقاط الزمنية${\displaystyle t}$وقيم البيانات${\displaystyle y_{t}}$لوحظت قيم تلك النقاط الزمنية${\displaystyle {\hat {a}}}$و${\displaystyle {\hat {b}}}$يتم اختيارها لتقليل مجموع مربعات الأخطاء

${\displaystyle \sum _{t}\left[y_{t}-\left({\hat {a}}t+{\hat {b}}\right)\right]^{2}}$.

تقوم هذه الصيغة أولاً بحساب الفرق بين البيانات المرصودة${\displaystyle y_{t}}$والتقدير${\displaystyle ({\hat {a}}t+{\hat {b}})}$يتم تربيع الفرق عند كل نقطة بيانات، ثم تُجمع النتائج معًا، مما يعطي مقياس "مجموع المربعات" للخطأ. قيم${\displaystyle {\hat {a}}}$و${\displaystyle {\hat {b}}}$يتم اشتقاق معلمات المقدر الخطي البسيط من البيانات${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {a}}x+{\hat {b}}}$يشير مصطلح "الاتجاه" إلى الميل${\displaystyle {\hat {a}}}$في مقدر المربعات الصغرى.

لتحليل سلسلة (زمنية) من البيانات، يمكن افتراض أنه يمكن تمثيلها على أنها اتجاه بالإضافة إلى ضوضاء:

${\displaystyle y_{t}=at+b+e_{t}\,}$

أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي ثوابت غير معروفة و${\displaystyle e}$الأخطاء موزعة عشوائيًا . إذا أمكن رفض الفرضية الصفرية القائلة بأن الأخطاء غير مستقرة ، فإن السلسلة غير المستقرة${\displaystyle \{y_{t}\}}$يُطلق عليه اسم "مستقر الاتجاه" . تفترض طريقة المربعات الصغرى أن الأخطاء موزعة بشكل مستقل وفقًا للتوزيع الطبيعي. إذا لم يكن الأمر كذلك، يتم إجراء اختبارات فرضية حول المعلمات المجهولة.${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$قد تكون غير دقيقة. أبسط طريقة هي أن${\displaystyle e}$جميعها لها نفس التوزيع، ولكن إذا لم يكن الأمر كذلك (إذا كان لبعضها تباين أعلى ، مما يعني أن نقاط البيانات هذه أقل يقينًا بشكل فعال)، فيمكن أخذ ذلك في الاعتبار أثناء عملية التوفيق باستخدام طريقة المربعات الصغرى عن طريق ترجيح كل نقطة بمعكوس تباين تلك النقطة.

في العادة، عندما لا توجد سوى سلسلة زمنية واحدة للتحليل، فإن تباين${\displaystyle e}$يتم تقدير قيمة 's عن طريق مطابقة اتجاه للحصول على قيم المعلمات المقدرة${\displaystyle {\hat {a}}}$و${\displaystyle {\hat {b}},}$مما يسمح بالقيم المتوقعة

${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {a}}t+{\hat {b}}}$

يتم طرحها من البيانات${\displaystyle y_{t}}$(وبذلك يتم إزالة الاتجاه من البيانات)، تاركًا البواقي${\displaystyle {\hat {e}}_{t}}$باعتبارها البيانات بعد إزالة الاتجاه ، وتقدير تباين${\displaystyle e_{t}}$'s من البواقي - غالبًا ما تكون هذه هي الطريقة الوحيدة لتقدير تباين${\displaystyle e_{t}}$'s.

بمجرد معرفة "الضوضاء" في السلسلة، يمكن تقييم أهمية الاتجاه من خلال وضع الفرضية الصفرية التي تنص على أن الاتجاه،${\displaystyle a}$، لا يختلف عن الصفر. من المناقشة السابقة حول الاتجاهات في البيانات العشوائية ذات التباين المعروف ، يُتوقع أن يكون توزيع الاتجاهات المحسوبة مماثلاً لتوزيع البيانات العشوائية (غير الموجهة). إذا كان الاتجاه المُقدَّر،${\displaystyle {\hat {a}}}$، إذا كانت أكبر من القيمة الحرجة لمستوى دلالة معين ، فإن الاتجاه المقدر يعتبر مختلفًا بشكل كبير عن الصفر عند مستوى الدلالة هذا، ويتم رفض الفرضية الصفرية للاتجاه الأساسي الصفري.

تعرض استخدام خط الاتجاه الخطي لانتقادات، مما دفع إلى البحث عن مناهج بديلة لتجنب استخدامه في تقدير النماذج. ومن بين هذه المناهج البديلة اختبارات جذر الوحدة وتقنية التكامل المشترك في الدراسات الاقتصادية القياسية.

يُفسَّر المعامل المُقدَّر المرتبط بمتغير اتجاه خطي، كالزمن، على أنه مقياس لتأثير عدد من العوامل المجهولة أو المعروفة ولكن غير القابلة للقياس على المتغير التابع خلال وحدة زمنية واحدة. وبالتحديد، ينطبق هذا التفسير على الإطار الزمني للتقدير فقط. خارج هذا الإطار الزمني، لا يمكن تحديد سلوك هذه العوامل غير القابلة للقياس، كمًّا ونوعًا.

نُشرت نتائج أبحاث علماء الرياضيات والإحصاء والاقتصاد القياسي والاقتصاديين استجابةً لهذه التساؤلات. فعلى سبيل المثال، وردت ملاحظات تفصيلية حول معنى الاتجاهات الزمنية الخطية في نموذج الانحدار في كاميرون (2005)؛ ^{[ 1 ]} كما كتب غرانجر وإنجل والعديد من علماء الاقتصاد القياسي الآخرين عن الاستقرار، واختبار جذر الوحدة، والتكامل المشترك، والقضايا ذات الصلة (يمكن الاطلاع على ملخص لبعض الأعمال في هذا المجال في ورقة معلومات ^{[ 2 ]} صادرة عن الأكاديمية الملكية السويدية للعلوم (2003))؛ وكتب هو-تريو وتوكر (1990) عن الاتجاهات الزمنية اللوغاريتمية، حيث تشير النتائج إلى أن الاتجاهات الزمنية الخطية هي حالات خاصة من الدورات .

تُنتج عملية التوفيق باستخدام طريقة المربعات الصغرى قيمةً تُسمى ^معامل التحديد ( r² )، وهي تساوي 1 ناقص نسبة تباين البواقي إلى تباين المتغير التابع. تُشير هذه القيمة إلى نسبة تباين البيانات التي يُفسرها خط الاتجاه المُقدَّر. ولا ترتبط هذه القيمة بالدلالة الإحصائية لخط الاتجاه (انظر الرسم البياني)؛ إذ تُحدد الدلالة الإحصائية للاتجاه من خلال إحصائية t الخاصة به . غالبًا ما يؤدي ترشيح السلسلة إلى زيادة قيمة ^r² مع تأثير طفيف على خط الاتجاه المُقدَّر.

حتى الآن، يُفترض أن البيانات تتكون من الاتجاه بالإضافة إلى التشويش، حيث يكون التشويش عند كل نقطة بيانات متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات توزيع طبيعي. قد لا تستوفي البيانات الحقيقية (مثل بيانات المناخ) هذه المعايير. وهذا أمر بالغ الأهمية، إذ يُحدث فرقًا كبيرًا في سهولة تحليل الإحصاءات لاستخلاص أقصى قدر من المعلومات من سلسلة البيانات. إذا كانت هناك تأثيرات غير خطية أخرى مرتبطة بالمتغير المستقل (مثل التأثيرات الدورية)، فإن استخدام تقدير المربعات الصغرى للاتجاه لا يكون صالحًا. كذلك، عندما تكون التغيرات أكبر بكثير من خط الاتجاه الناتج، فإن اختيار نقاط البداية والنهاية قد يُغير النتيجة بشكل كبير. أي أن النموذج غير مُحدد رياضيًا بشكل صحيح . وتكون الاستدلالات الإحصائية (اختبارات وجود اتجاه، وفترات الثقة للاتجاه، وما إلى ذلك) غير صالحة ما لم يتم مراعاة الانحرافات عن الافتراضات القياسية بشكل صحيح، على سبيل المثال، كما يلي:

• الاعتماد: يمكن نمذجة السلاسل الزمنية المرتبطة ذاتيًا باستخدام نماذج المتوسط ​​المتحرك الانحداري الذاتي .
• التباين غير الثابت: في أبسط الحالات، يمكن استخدام المربعات الصغرى الموزونة .
• التوزيع غير الطبيعي للأخطاء: في أبسط الحالات، قد يكون النموذج الخطي المعمم قابلاً للتطبيق.
• جذر الوحدة : يتم حساب الفروق الأولى (أو أحيانًا الثانية) للبيانات، ويتم تحديد مستوى الفروق من خلال اختبارات جذر الوحدة المختلفة. ^{[ 4 ]}

في لغة البرمجة R ، يمكن تقدير الاتجاه الخطي في البيانات باستخدام دالة 'tslm' الخاصة بحزمة 'forecast'.

تسعى الدراسات الطبية والبيولوجية غالبًا إلى تحديد علاقة بين مجموعات البيانات، مثل مقياس سريري أو علمي في ثلاثة أمراض مختلفة. لكن قد ترتبط البيانات أيضًا بمرور الوقت (مثل تغير تأثير دواء ما من خط الأساس، إلى الشهر الأول، إلى الشهر الثاني)، أو بعامل خارجي قد يحدده الباحث و/أو المشارك في الدراسة أو لا (مثل انعدام الألم، أو ألم خفيف، أو ألم متوسط، أو ألم شديد). في هذه الحالات، يُتوقع أن تتغير إحصائية اختبار التأثير (مثل تأثير الستاتين على مستويات الكوليسترول ، أو تأثير المسكن على درجة الألم، أو تأثير زيادة جرعات مختلفة التركيز من دواء ما على مؤشر قابل للقياس، أي تأثير استجابة الجرعة) بشكل مباشر مع تطور التأثير. لنفترض أن متوسط ​​مستوى الكوليسترول قبل وبعد وصف الستاتين انخفض من 5.6 مليمول/لتر عند خط الأساس إلى 3.4 مليمول/لتر بعد شهر واحد، ثم إلى 3.7 مليمول/لتر بعد شهرين. إذا توفرت قوة إحصائية كافية، فمن المرجح أن يُظهر تحليل التباين (ANOVA) انخفاضًا معنويًا عند الشهر الأول والثاني، لكن هذا الانخفاض ليس خطيًا. علاوة على ذلك، قد يكون من الضروري إجراء اختبار ما بعد التحليل. ويمكن استخدام اختبار بديل، مثل تحليل التباين ثنائي الاتجاه (للقياسات المتكررة) أو اختبار فريدمان ، وذلك حسب طبيعة البيانات. مع ذلك، ولأن المجموعات مرتبة، فإن تحليل التباين القياسي غير مناسب. فإذا انخفض الكوليسترول من 5.4 إلى 4.1 ثم إلى 3.7، فسيكون هناك اتجاه خطي واضح. ويمكن تطبيق المبدأ نفسه على تأثيرات تردد الأليل/النمط الجيني ، حيث يمكن القول إن تعدد أشكال النوكليوتيدات المفردة في النوكليوتيدات XX، XY، YY يُمثل في الواقع اتجاهًا من عدم وجود Y، ثم وجود Y واحد، ثم وجود Yين. ^{[ 3 ]}

تُعدّ رياضيات تقدير الاتجاه الخطي أحد أشكال تحليل التباين القياسي (ANOVA)، حيث تُقدّم معلومات مختلفة، وتُعتبر الاختبار الأنسب إذا افترض الباحثون وجود تأثير اتجاهي في إحصائية الاختبار. على سبيل المثال، مستويات التربسين في مصل الدم لدى ست مجموعات من الأفراد مُرتبة حسب العقد العمري (من 10-19 عامًا إلى 60-69 عامًا). ترتفع مستويات التربسين (نانوغرام/مل) باتجاه خطي مباشر بمقدار 128، 152، 194، 207، 215، 218 (بيانات من ألتمان). وكما هو متوقع، يُعطي تحليل التباين القياسي قيمة p  <  0.0001، بينما يُعطي تقدير الاتجاه الخطي قيمة p  =  0.00006. ومن الجدير بالذكر أنه بما أن العمر مؤشر متغير مستمر بطبيعته، فلا ينبغي تصنيفه إلى عقود، ويتم البحث عن تأثير العمر والتربسين في مصل الدم من خلال الارتباط (بافتراض توفر البيانات الأولية). ومن الأمثلة الأخرى مادة تم قياسها في أربع نقاط زمنية في مجموعات مختلفة:

هذا اتجاه واضح. يُعطي تحليل التباين (ANOVA) قيمة p  =  0.091، لأن التباين الكلي يتجاوز المتوسطات، بينما يُعطي تقدير الاتجاه الخطي قيمة p  =  0.012. مع ذلك، لو جُمعت البيانات في أربع نقاط زمنية لنفس الأفراد، لكان تقدير الاتجاه الخطي غير مناسب، ولتم تطبيق تحليل التباين ثنائي الاتجاه (للقياسات المتكررة).

• تقدير
• الاستقراء
• التنبؤ
• طريقة المربعات الصغرى
• تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى
• تركيب الخطوط
• فترة التنبؤ
• تحليل الانحدار

• بيانكي، م.؛ بويل، م.؛ هولينغسورث، د. (1999). "مقارنة بين طرق تقدير الاتجاه". رسائل الاقتصاد التطبيقي . 6 (2): 103-109 . doi : 10.1080/135048599353726 .
• كاميرون، س. (2005). "جعل تحليل الانحدار أكثر فائدة، الجزء الثاني". الاقتصاد القياسي . ميدنهيد: ماكجرو هيل للتعليم العالي. ص 171-198 . ISBN  0-07-710428-5.
• تشاتفيلد، سي. (1993). "حساب التنبؤات الفاصلية". مجلة الأعمال والإحصاءات الاقتصادية . 11 (2): 121-135 . doi : 10.1080/07350015.1993.10509938 .
• هو-تريو، ن.ل.؛ تاكر، ج. (1990). "ملاحظة أخرى حول استخدام الاتجاه الزمني اللوغاريتمي". مراجعة التسويق والاقتصاد الزراعي . 58 (1): 89-90 . doi : 10.22004/ag.econ.12288 .
• الأكاديمية الملكية السويدية للعلوم (2003). "الاقتصاد القياسي للسلاسل الزمنية: التكامل المشترك والتباين الشرطي التلقائي". معلومات متقدمة عن جائزة بنك السويد في العلوم الاقتصادية تخليداً لذكرى ألفريد نوبل .
• أريانوس، س.؛ كاربون، أ.؛ تورك، س. (2011). "التشابه الذاتي للمتوسطات المتحركة من الرتبة العليا" . مجلة Physical Review E. 84 ( 4) 046113. Bibcode : 2011PhRvE..84d6113A . doi : 10.1103/physreve.84.046113 . PMID 22181233 . 
• ألتمان، دي جي (1991). الإحصاء التطبيقي للبحوث الطبية . لندن: تشابمان وهول. ص 212-220 . ISBN  0-412-27630-5.