المتوسط ​​المتحرك المتكامل جزئيًا ذاتي الانحدار

في الإحصاء ، تُعدّ نماذج المتوسط ​​المتحرك المتكامل جزئيًا ذاتية الانحدار نماذج سلاسل زمنية تُعمّم نماذج ARIMA ( المتوسط ​​المتحرك المتكامل ذاتيًا ) بالسماح بقيم غير صحيحة لمعامل التفاضل . تُفيد هذه النماذج في نمذجة السلاسل الزمنية ذات الذاكرة الطويلة ، أي تلك التي تتلاشى فيها الانحرافات عن المتوسط ​​طويل الأجل بوتيرة أبطأ من التضاؤل ​​الأسي . غالبًا ما يُستخدم الاختصاران "ARFIMA" أو "FARIMA"، مع أنه من الشائع أيضًا توسيع ترميز "ARIMA( p , d , q )" للنماذج، وذلك ببساطة بالسماح لمعامل التفاضل، d ، بأخذ قيم كسرية. طُوّر التفاضل الجزئي ونموذج ARFIMA في أوائل ثمانينيات القرن العشرين على يد كلايف غرانجر ، وروزيلين جويو، وجوناثان هوسكينغ. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

في نموذج ARIMA ، يتضمن الجزء المتكامل من النموذج عامل التفاضل (1 − B ) (حيث B هو عامل الإزاحة العكسية ) مرفوعًا إلى قوة عددية صحيحة. على سبيل المثال،

${\displaystyle (1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,}$

أين

${\displaystyle B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,}$

لهذا السبب.

${\displaystyle (1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.}$

في النموذج الكسري ، يُسمح بأن يكون الأس كسريًا، ويتم تحديد معنى المصطلح باستخدام توسيع متسلسلة ذات الحدين الرسمي التالي

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-B)^{d}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{d \choose k}\;(-B)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(da)\ (-B)^{k}}{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{aligned}}}$

أبسط نموذج انحدار ذاتي متكامل جزئيًا، ARFIMA(0, d , 0)، هو، وفقًا للترميز القياسي،

${\displaystyle (1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},}$

حيث يكون لهذا تفسير

${\displaystyle X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.}$

يُشابه نموذج ARFIMA(0, d , 0) الضوضاء الغاوسية الكسرية (fGn): فمع d = H − 1 ⁄ 2 ، تتشابه تبايناتهما في معدل اضمحلالها وفقًا لقانون القوة. وتكمن ميزة fGn على ARFIMA(0, d , 0) في أن العديد من العلاقات التقاربية تنطبق على العينات المحدودة. ^{[ 4 ]} أما ميزة ARFIMA(0, d , 0) على fGn فتكمن في امتلاكها كثافة طيفية بسيطة للغاية . $${\displaystyle f(\lambda )={\frac {1}{2\pi }}\left(2\sin \left({\frac {\lambda }{2}}\right)\right)^{-2d}}$$

وهي حالة خاصة من ARFIMA( p , d , q )، وهي عائلة متعددة الاستخدامات من النماذج. ^{[ 4 ]}

يشترك نموذج ARFIMA في نفس شكل التمثيل مع عملية ARIMA ( p , d , q )، وتحديداً:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\right)\left(1-B\right)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\right)\varepsilon _{t}\,.}$

وعلى عكس عملية ARIMA العادية، يُسمح لـ "معامل الفرق"، d ، بأخذ قيم غير صحيحة.

التحسينات التي أُدخلت على نماذج ARMA العادية هي كالتالي:

1. خذ سلسلة البيانات الأصلية وقم بتطبيق مرشح تمرير عالي عليها باستخدام التفاضل الجزئي الكافي لجعل النتيجة مستقرة، وتذكر رتبة هذا التفاضل الجزئي (d)، والتي تتراوح عادةً بين 0 و1... وقد تصل إلى 2 أو أكثر في الحالات القصوى. التفاضل الجزئي 2 هو المشتقة الثانية أو الفرق الثاني.
   • ملاحظة: تطبيق التفاضل الجزئي يُغيّر وحدات المسألة. فإذا بدأنا بوحدات الأسعار ثم أخذنا التفاضل الجزئي، فلن نكون حينها بوحدات الأسعار.
   • قد يكون تحديد ترتيب التفاضل لجعل السلسلة الزمنية مستقرة عملية تكرارية واستكشافية.
2. قم بحساب حدود ARMA البسيطة عبر الطرق المعتادة لتناسب مجموعة البيانات المؤقتة الثابتة هذه والتي هي بوحدات اصطناعية.
3. التنبؤ إما بالبيانات الموجودة (التنبؤ الثابت) أو "للأمام" (التنبؤ الديناميكي، للأمام في الوقت المناسب) باستخدام مصطلحات ARMA هذه.
4. قم بتطبيق عملية التصفية العكسية ( التكامل الجزئي إلى نفس المستوى d كما في الخطوة 1) على السلسلة المتوقعة، لإعادة التنبؤ إلى وحدات المشكلة الأصلية (على سبيل المثال، تحويل الوحدات البديلة إلى السعر).
   • التفاضل الجزئي والتكامل الجزئي هما نفس العملية ولكن بقيمتين متعاكستين لـ d: على سبيل المثال، يمكن عكس (تكامل) الفرق الجزئي لسلسلة زمنية عند d = 0.5 بتطبيق نفس عملية التفاضل الجزئي (مرة أخرى) ولكن مع الكسر d = -0.5. انظر دالة fracdiff في GRETL .

الهدف من الترشيح المسبق هو تقليل الترددات المنخفضة في مجموعة البيانات التي يمكن أن تسبب عدم استقرار البيانات، والتي لا تستطيع نماذج ARMA التعامل معها بشكل جيد (أو على الإطلاق) ... ولكن فقط بما يكفي بحيث يمكن استعادة التخفيضات بعد بناء النموذج.

يمكن اعتبار التفاضل الجزئي وعملية التكامل الجزئي العكسية (كلا الاتجاهين يُستخدمان في عملية نمذجة وتوقع ARFIMA) بمثابة عمليات ترشيح و"إزالة ترشيح" رقمية. ولذلك، من المفيد دراسة استجابة التردد لهذه المرشحات لمعرفة الترددات التي يتم الاحتفاظ بها وتلك التي يتم تخفيفها أو تجاهلها. ^{[ 5 ]}

لاحظ أن أي ترشيح يحل محل التفاضل الجزئي والتكامل في نموذج AR(FI)MA هذا يجب أن يكون قابلاً للعكس بنفس طريقة التفاضل والتكامل (الجمع) لتجنب فقدان المعلومات. على سبيل المثال، قد لا يكون مرشح التمرير العالي الذي يتجاهل تمامًا العديد من الترددات المنخفضة (على عكس مرشح التمرير العالي للتفاضل الجزئي الذي يتجاهل التردد 0 فقط [السلوك الثابت في إشارة الإدخال] ويخفف الترددات المنخفضة الأخرى، انظر ملف PDF أعلاه) فعالاً، لأنه بعد مطابقة حدود ARMA مع السلسلة المُرشحة، لن تتمكن العملية العكسية لإعادة تنبؤ ARMA إلى وحداته الأصلية من إعادة تعزيز تلك الترددات المنخفضة المخففة، نظرًا لأن الترددات المنخفضة قد تم خفضها إلى الصفر.

قد تشير دراسات استجابة التردد هذه إلى عائلات أخرى مماثلة من المرشحات (القابلة للعكس) التي قد تكون بدائل مفيدة لجزء "FI" من تدفق نمذجة ARFIMA، مثل مرشح Butterworth عالي التمرير المعروف وسهل التنفيذ والذي يتميز بأقل تشويه أو ما شابه ذلك. ^{[ 6 ]}

تم تطبيق نماذج ARFIMA في الاقتصاد القياسي المالي ، وخاصة للتنبؤ بالتقلبات المحققة ، حيث تم إثبات قدرتها على التقاط خصائص الذاكرة الطويلة لسلاسل زمنية للتقلبات. ^{[ 7 ]}

• حساب التفاضل والتكامل الكسري - التفاضل الكسري
• التكامل التفاضلي - التكامل والتفاضل الجزئي
• الحركة البراونية الكسرية - عملية عشوائية مستمرة الزمن ذات أساس مماثل
• الاعتماد بعيد المدى