الفترات (الرياضيات)

الفترة هي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية الواقعة بين أي عددين من هذه المجموعة. ومن الأمثلة على ذلك الأعداد${\displaystyle x}$من واحد إلى اثنين،${\displaystyle 1\leq x\leq 2}$والأرقام${\displaystyle y}$أكبر من 10، أي${\displaystyle y>10}$وفقًا لهذا التعريف، فإن المجموعة الفارغة${\displaystyle \varnothing }$ومجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها${\displaystyle \mathbb {R} }$كلاهما فترات. ^{[ 1 ]}

تُعرف نهايتا فترة ما بقيمتيها العليا (أصغر حد أعلى) والدنيا ( أكبر حد أدنى)، إذا كانتا موجودتين كأعداد حقيقية. ^{[ 1 ]} إذا لم تكن القيمة الدنيا موجودة وكانت الفترة غير فارغة، يُقال غالبًا أن نقطة النهاية المقابلة هي سالب ما لا نهاية، ويُكتب${\displaystyle -\infty .}$وبالمثل، إذا لم تكن القيمة العليا لفترة غير فارغة موجودة، يُقال إن نقطة النهاية المقابلة هي ما لا نهاية موجبة، ويكتب ذلك${\displaystyle +\infty .}$

تُحدد الفترات غير الفارغة تمامًا بنهاياتها وما إذا كانت كل نهاية تنتمي إلى الفترة. هذه نتيجة لخاصية الحد الأعلى الأدنى للأعداد الحقيقية، والتي تعني أنه إذا كانت جميع عناصر فترة غير فارغة أصغر من قيمة محددة، فإن الفترة لها قيمة عليا. تُستخدم هذه الخاصية لتحديد الفترات بواسطةتدوين الفترات ، حيث يشير القوس المربع أو القوس المستدير (الأقواس) إلى ما إذا كانت نقطة النهاية تنتمي إلى الفترة أم لا.

أنلا تتضمن الفترة المفتوحة أي نقطة نهاية، ويمكن الإشارة إليها بإيجاز باستخدام الأقواس. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال،${\displaystyle (0,1)=\{x\mid 0<x<1\}}$هي الفترة التي تضم جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من${\displaystyle 0}$وأقل من${\displaystyle 1}$(يمكن الإشارة إلى هذه الفترة أيضًا بـ${\displaystyle ]0,1[}$(انظر أدناه). الفترة المفتوحة${\displaystyle (0,+\infty )}$يتكون من أعداد حقيقية أكبر من${\displaystyle 0}$أي الأعداد الحقيقية الموجبة. وبالتالي، فإن الفترات المفتوحة لها أحد الأشكال التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\(-\infty ,b)&=\{x\in \mathbb {R} \mid x<b\},\\(a,+\infty )&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\},\\(-\infty ,+\infty )&=\mathbb {R} ,\\(a,a)&=\emptyset ,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هي أعداد حقيقية بحيث${\displaystyle a<b.}$في الحالة الأخيرة، تكون الفترة الناتجة هي المجموعة الفارغة ولا تعتمد على ⁠${\displaystyle a}$. الفترات المفتوحة هي تلك الفترات التي تمثل مجموعات مفتوحة للطوبولوجيا المعتادةعلى الأعداد الحقيقية، وهي تشكل أساسًا للمجموعات المفتوحة.

أالفترة المغلقة هي فترة تتضمن كلا طرفيها، وهما منتهيتان. ^{[ 2 ]} يُرمز للفترة المغلقة بأقواس مربعة. على سبيل المثال،[0, 1]هي الفترة المغلقة التي تحتوي على قيم أكبر من أو تساوي0وأصغر من أو تساوي1.الفترات المغلقة، بحكم تعريفها، غير فارغة. وبالتالي، فإن كل فترة مغلقة تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\;[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle a<b}$الفترة التي تتكون من نقطة واحدة${\displaystyle [a,a]=\{a\}}$يُطلق عليها أحيانًا اسم فترة مغلقة متدهورة . ^{[ 3 ]}

بالإضافة إلى الفترات المغلقة${\displaystyle [a,b]}$شائعة في التحليل، الفترات غير المحدودة التي تشمل نقطة نهايتها المحدودة مثل${\displaystyle [a,\infty )}$أو${\displaystyle (-\infty ,b]}$هي فترات مغلقة طوبولوجيًا (أي أنها تحتوي على جميع نقاط حدودها التي هي أعداد حقيقية)، ولكنها لا تُسمى عادةً "فترات مغلقة" في التحليل، إذ يُستخدم هذا المصطلح للحالة المغلقة والمحدودة. تشمل هذه الفترات المغلقة (المحدودة) الفترات المغلقة شبه اللانهائية، والفترات${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$تشمل تلك الفترات التي تمثل مجموعات مغلقة بالنسبة للطوبولوجيا المعتادة على الأعداد الحقيقية.

أتتميز الفترة نصف المفتوحة بنقطتي نهاية محددتين، وتشمل إحداهما دون الأخرى. ويُقال إنها مفتوحةمن اليسارأومفتوحة من اليمين،وذلك بحسب موقع نقطة النهاية المستبعدة، سواءً على اليسار أو اليمين. ويُرمز لهذه الفترات برموز مختلطة للفترات المفتوحة والمغلقة. ^{[ 4 ]} على سبيل المثال،(0, 1 ) تعني أكبر من0وأصغر من أو يساوي1، بينما [ 0, 1)تعني أكبر من أو يساوي0وأصغر من1.وتأخذ الفترات نصف المفتوحة الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a,b\right]&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\},\\\left[a,b\right)&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}.\\\end{aligned}}}$

باختصار، تُعتبر مجموعة الأعداد الحقيقية فترةً، إذا وفقط إذا كانت فترةً مفتوحة، أو فترةً مغلقة، أو فترةً نصف مفتوحة. الفترات الوحيدة التي تظهر مرتين في التصنيف أعلاه هي${\displaystyle \emptyset }$و​​${\displaystyle \mathbb {R} }$التي تكون مفتوحة ومغلقة في آن واحد. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

أالفترة المنحلة هي أيمجموعة تتكون من عدد حقيقي واحد(أي فترة على الصورة [ a , a ] ). ^{[ 7 ]} يدرج بعض المؤلفين المجموعة الفارغة ضمن هذا التعريف. أما الفترة الحقيقية التي ليست فارغة ولا منحلة فتُسمى فترة حقيقية.صحيح ، وله عدد لا نهائي من العناصر.

يُقال إن فترة ما محدودة من اليسار أو محدودة من اليمين ، إذا وُجد عدد حقيقي أصغر من أو أكبر من جميع عناصرها، على التوالي. وتُسمى الفترة محدودة إذا كانت محدودة من اليسار واليمين معًا، وإلا فهي غير محدودة . أما الفترات المحدودة من طرف واحد فقط فتُسمى نصف محدودة . المجموعة الفارغة محدودة، ومجموعة الأعداد الحقيقية هي الفترة الوحيدة غير المحدودة من كلا الطرفين. وتُعرف الفترات المحدودة أيضًا بالفترات المنتهية .

الفترات المحدودة هي مجموعات محدودة ، بمعنى أن قطرها (الذي يساوي الفرق المطلق بين طرفيها) محدود. يُطلق على القطر اسم طول الفترة أو عرضها أو قياسها أو مداها أو حجمها . يُعرَّف حجم الفترات غير المحدودة عادةً بأنه +∞ ، بينما يُعرَّف حجم الفترة الفارغة بأنه صفر (أو يُترك غير مُعرَّف).

مركز ( نقطة المنتصف ) فترة محدودة ذات طرفين a و b هو ( a + b )/2 ، ونصف قطرها هو نصف الطول | a − b | /2 . هذه المفاهيم غير مُعرَّفة للفترات الفارغة أو غير المحدودة .

يُقال إن الفترة مفتوحة من اليسار إذا وفقط إذا لم تحتوي على قيمة صغرى (عنصر أصغر من جميع العناصر الأخرى)؛ ومفتوحة من اليمين إذا لم تحتوي على قيمة عظمى ؛ ومفتوحة إذا لم تحتوي على أي منهما. على سبيل المثال، الفترة [ 0, 1) = { x | 0 ≤ x < 1} مغلقة من اليسار ومفتوحة من اليمين. مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة هي فترة مغلقة مفتوحة من اليمين وليست مفتوحة من اليسار.

يقال إن الفترة مغلقة من اليسار إذا كان لها عنصر أدنى أو كانت غير محدودة من اليسار، ومغلقة من اليمين إذا كان لها عنصر أقصى أو كانت غير محدودة من اليمين؛ وهي ببساطة مغلقة إذا كانت مغلقة من اليسار ومغلقة من اليمين.

تُعتبر الفترة I فترة جزئية من الفترة J إذا كانت I مجموعة جزئية من J. وتُعتبر الفترة I فترة جزئية فعلية من J إذا كانت I مجموعة جزئية فعلية من J.

الجزء الداخلي من الفترة I هو أكبر فترة مفتوحة تحتويها I ؛ وهو أيضًا مجموعة النقاط في I التي ليست نقاط طرفية لـ I. أما إغلاق I فهو أصغر فترة مغلقة تحتوي I ؛ وهو أيضًا المجموعة I مضافًا إليها نقاطها الطرفية المحدودة.

بالنسبة لأي مجموعة X من الأعداد الحقيقية، فإن الفترة المحيطة أو مدى الفترة لـ X هو الفترة الفريدة التي تحتوي على X ، ولا تحتوي بشكل صحيح على أي فترة أخرى تحتوي أيضًا على X.

يوجد تضارب في المصطلحات المستخدمة لوصف مصطلحي "القطعة" و "الفترة" ، حيث استُخدما في الأدبيات بطريقتين متناقضتين جوهريًا، مما يُسبب غموضًا عند استخدامهما. تُعرّف موسوعة الرياضيات ^{[ 8 ]} "الفترة" (بدون تحديد) بأنها تستبعد كلا الطرفين (أي الفترة المفتوحة)، بينما تُعرّف " القطعة" بأنها تشمل كلا الطرفين (أي الفترة المغلقة). في حين يُطلق كتاب "مبادئ التحليل الرياضي" لرودين ^{[ 9 ]} على المجموعات التي تأخذ الشكل [ أ ، ب ] اسم "الفترات "، وعلى المجموعات التي تأخذ الشكل ( أ ، ب ) اسم "القطع ". تميل هذه المصطلحات إلى الظهور في الأعمال القديمة؛ أما النصوص الحديثة فتُفضّل بشكل متزايد مصطلح "الفترة" ( مع تحديدها بـ "مفتوحة " أو "مغلقة" أو "نصف مفتوحة ")، بغض النظر عما إذا كانت الأطراف مُضمنة أم لا.

للإشارة إلى استبعاد أحد طرفي المجموعة، يمكن استبدال القوس المربع المقابل بقوس عادي، أو عكسه. كلا التدوينين موصوفان في المعيار الدولي ISO 31-11 . وبالتالي، في تدوين بناء المجموعة ،

$\begin{aligned}(a,b)={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\},\\[5mu][a,b)={\mathopen {[}}a,b{\mathclose {[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\},\\[5mu](a,b]={\mathopen {]}}a,b{\mathclose {]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}}$

تمثل كل فترة ( a , a ) ، و [ a , a ) ، و ( a , a ] المجموعة الفارغة ، بينما تشير [ a , a ] إلى المجموعة الأحادية { a } . عندما يكون a > b ، تُستخدم جميع الرموز الأربعة عادةً لتمثيل المجموعة الفارغة. 

قد تتداخل كلتا الطريقتين مع استخدامات أخرى للأقواس في الرياضيات. على سبيل المثال، تُستخدم الطريقة ( أ ، ب ) غالبًا للدلالة على زوج مرتب في نظرية المجموعات، أو إحداثيات نقطة أو متجه في الهندسة التحليلية والجبر الخطي ، أو (أحيانًا) عدد مركب في الجبر . لهذا السبب، قدم بورباكي الطريقة ] أ ، ب [ للدلالة على الفترة المفتوحة. ^{[ 10 ]} كما تُستخدم الطريقة [ أ ، ب ] أحيانًا للأزواج المرتبة، خاصة في علوم الحاسوب .

يستخدم بعض المؤلفين مثل إيف تيليه ] a , b [ للدلالة على مكمل الفترة ( a , b ) ؛ أي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية التي إما أقل من أو تساوي a ، أو أكبر من أو تساوي b . 

في بعض السياقات، يمكن تعريف الفترة على أنها مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية الموسعة ، وهي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية المعززة بـ −∞ و +∞ .

في هذا التفسير، تكون الرموز [ −∞, b ] ، (−∞, b ] ، [ a , +∞ ] ، و [ a , +∞) ذات دلالة ومختلفة. على وجه الخصوص، يرمز (−∞, +∞) إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية العادية، بينما يرمز [ −∞, +∞ ] إلى الأعداد الحقيقية الموسعة.

حتى في سياق الأعداد الحقيقية العادية، يمكن استخدام نقطة نهاية لا نهائية للإشارة إلى عدم وجود حد في ذلك الاتجاه. على سبيل المثال، (0، +∞) هي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ، وتُكتب أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle \mathbb {R} _{+}.}$يؤثر السياق على بعض التعريفات والمصطلحات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، الفترة (−∞, +∞)  = ${\displaystyle \mathbb {R} }$مغلق في عالم الأعداد الحقيقية العادية، ولكنه ليس مغلقاً في عالم الأعداد الحقيقية الممتدة.

عندما يكون a و b عددين صحيحين ، تُستخدم أحيانًا الرموز ⟦ a, b ⟧، [ a .. b ] ، { a .. b } ، أو ببساطة a .. b ، للإشارة إلى نطاق جميع الأعداد الصحيحة بين a و b . يُستخدم الرمز [ a .. b ] في بعض لغات البرمجة ؛ ففي لغة باسكال ، على سبيل المثال، يُستخدم لتعريف نوع نطاق فرعي رسميًا، ويُستخدم غالبًا لتحديد الحدود الدنيا والعليا للفهارس الصالحة لمصفوفة .

هناك طريقة أخرى لتفسير الفترات الصحيحة وهي اعتبارها مجموعات محددة عن طريق التعداد ، باستخدام رمز الحذف .

أي فاصل زمني صحيح له حد أدنى أو أعلى محدود يتضمن دائمًا ذلك الحد. لذلك، يمكن الإشارة صراحةً إلى استبعاد الحدود بكتابة a .. b − 1 ، أو a + 1 .. b ، أو a + 1 .. b − 1. نادرًا ما تُستخدم رموز الأقواس المتناوبة مثل [ a .. b ) أو [ a .. b [ للفواصل الزمنية الصحيحة.

الفترة الثنائية هي فترة حقيقية محدودة تكون نقاط نهايتها${\displaystyle {\tfrac {j}{2^{n}}}}$و${\displaystyle {\tfrac {j+1}{2^{n}}},}$أين${\displaystyle j}$و${\displaystyle n}$هي أعداد صحيحة. اعتمادًا على السياق، قد يتم تضمين أي من نقطتي النهاية في الفترة أو لا.

تتمتع الفترات الثنائية بالخصائص التالية:

• طول الفترة الثنائية هو دائمًا قوة صحيحة للعدد اثنين .
• تحتوي كل فترة ثنائية على فترة ثنائية واحدة فقط بطول ضعفها.
• يتم تغطية كل فترة ثنائية بفترتين ثنائيتين بنصف الطول.
• إذا تداخلت فترتان ثنائيتان مفتوحتان، فإن إحداهما تكون مجموعة جزئية من الأخرى.

وبالتالي فإن الفترات الثنائية لها بنية تعكس بنية الشجرة الثنائية اللانهائية .

تُعدّ الفترات الثنائية ذات أهمية في العديد من مجالات التحليل العددي ، بما في ذلك تحسين الشبكة التكيفي ، وطرق الشبكة المتعددة ، وتحليل الموجات . وهناك طريقة أخرى لتمثيل هذا النوع من البنية وهي التحليل p-adic (عندما p = 2 ). ^{[ 12 ]}

تُعد الفترات شائعة في التحليل الرياضي ، حيث تُستخدم للتعبير عن الأفكار وغالبًا ما تظهر في النتائج الرئيسية.

يُعرَّف تكامل الدالة الحقيقية على فترة. وعادةً ما تظهر نهايتا الفترة المعنية كدليل سفلي ودليل علوي، لذا فإن التكامل${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ينطبق على الجميع${\displaystyle x}$ينتمي إلى الفترة${\displaystyle [a,b]}$.

تظهر الفترات ضمنيًا في تعريف إبسيلون-دلتا لاستمرارية الدالة${\displaystyle f(x)}$يوضح الحساب التالي هذه الأمور بشكل صريح. الوظيفة${\displaystyle f}$يقال إنها متصلة عند نقطة ما${\displaystyle a}$إذا كان لأي قيمة معينة${\displaystyle \varepsilon >0}$(إبسيلون أكبر من الصفر) توجد قيمة${\displaystyle \delta >0}$(دلتا أكبر من الصفر) والتي${\displaystyle f(x)}$يقع في الفترة المفتوحة${\displaystyle \left(f(a)-\varepsilon ,f(a)+\varepsilon \right)}$حينما${\displaystyle x}$يتم اختيارها من الفترة${\displaystyle \left(a-\delta ,a+\delta \right)}$القيم المحتملة لـ${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle \delta }$أنفسهم ينتمون إلى الفترة غير المحدودة${\displaystyle (0,+\infty )}$، ولكنها تُعتبر عادةً لوصف الزيادات الموجبة الصغيرة. الفكرة هي أن هناك فترة متناظرة صغيرة حول النقطة${\displaystyle a}$توجد حيث قيمة${\displaystyle f(x)}$يبقى ضمن نطاق مفتوح نصف قطره${\displaystyle \varepsilon }$متمركزة حول${\displaystyle f(a)}$.

تُجسد نظرية القيمة المتوسطة الحدس القائل بأنه إذا${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$هي دالة حقيقية متصلة على فترة${\displaystyle [a,b]}$و${\displaystyle d}$أي قيمة بين${\displaystyle f(a)}$و${\displaystyle f(b)}$إذن نتوقع أن نجد قيمة${\displaystyle c}$بين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$أين${\displaystyle f(c)=d}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(x)=x^{2}}$يتم تعريفها على الفترة${\displaystyle [3,4]}$، ثم معطى${\displaystyle d=10}$بين${\displaystyle f(3)=3^{2}=9}$و${\displaystyle f(4)=4^{2}=16}$هناك قيمة${\displaystyle c}$بين${\displaystyle 3}$و${\displaystyle 4}$أين${\displaystyle f(c)=c^{2}=10}$. تنص صياغة مكافئة للنظرية على أن صورة فترة بواسطة دالة متصلة هي فترة.

تُعدّ فترات الثقة مهمة في الاستدلال الإحصائي ، إذ تُقدّم نطاقًا من القيم المُقدّرة لمعلمة إحصائية مجهولة ، مثل متوسط ​​المجتمع . وعلى عكس أنواع الفترات الأخرى، تُحسب فترة الثقة من عينة عشوائية ، وتكون نهايتا الفترة متغيرات عشوائية حقيقية . وقد تُعطي عينة مختلفة نتيجة مختلفة.

عند تكرار عملية أخذ العينات، توجد احتمالية محددة مسبقًا، تُعرف بمستوى الثقة ، لاحتواء فترة زمنية مقابلة على القيمة الحقيقية للمعلمة المجهولة. على سبيل المثال، إذا كان مستوى الثقة المُختار 0.95، وتم تكرار إجراء أخذ العينات نفسه عدة مرات، فمن المتوقع على المدى الطويل أن تحتوي حوالي 95% من الفترات الزمنية الناتجة على القيمة الحقيقية.

يُقدّم التوزيع الطبيعي مثالًا مبسطًا. وله دالة كثافة احتمالية يُمثّل رسمها البياني منحنى الجرس المألوف. وتقع ذروته عند متوسطه.${\displaystyle \mu }$(الحرف اليوناني ميو) ويمكن وصف عرضه بانحرافه المعياري${\displaystyle \sigma }$(سيجما). يميز هذان المعاملان منحنى الجرس عن غيره، ولكن في جميع الحالات، تمثل المنطقة الواقعة ضمن انحرافين معياريين على جانبي المتوسط ​​احتمالًا يقارب 0.95. ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle P(\mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma )\approx 0.95}$$

بالنسبة لمتغير عشوائي موزع توزيعًا طبيعيًا${\displaystyle X}$.

يأخذ${\displaystyle {\bar {X}}}$ليكون متوسط ​​العينة لحجم عينة ثابت، وهو مقدر لـ${\displaystyle \mu }$كما أنها تتبع التوزيع الطبيعي بانحراف معياري خاص بها.${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$يمكن بعد ذلك كتابة المتباينات السابقة بدلالة${\displaystyle \mu }$لإعطاء

$${\displaystyle P({\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}})\approx 0.95.}$$

إذا كانت قيمة الانحراف المعياري${\displaystyle \sigma _{\bar {X}}}$إذا عُرفت الفترة، فإن الفاصل الزمني${\displaystyle [{\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}},{\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}]}$ستكون فترة ثقة لـ${\displaystyle \mu }$بمستوى ثقة يبلغ حوالي 0.95. نقاط النهاية هي المتغيرات العشوائية.${\displaystyle {\bar {X}}-2\sigma _{\bar {X}}}$و${\displaystyle {\bar {X}}+2\sigma _{\bar {X}}}$، والتي ستعتمد قيمها الفعلية على العينة المأخوذة.

كل فضاء تيكونوڤ قابل للتضمين في فضاء حاصل ضرب فترات الوحدة المغلقة${\displaystyle [0,1].}$في الواقع، كل فضاء تيكونوڤ له قاعدة من عدد العناصر${\displaystyle \kappa }$يمكن تضمينها في المنتج${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$ل${\displaystyle \kappa }$نسخ من الفترات. ^{[ 13 ] : ص 83، النظرية 2.3.23}

تُستخدم مفاهيم المجموعات المحدبة والمكونات المحدبة في برهان على أن كل مجموعة مرتبة كليًا ومزودة بطوبولوجيا الترتيب هي مجموعة طبيعية تمامًا ^{[ 14 ]} أو علاوة على ذلك، طبيعية بشكل رتيب . ^{[ 15 ]}

فترة مفتوحة محدودة${\displaystyle (a,b)}$هي كرة مفتوحة أحادية البعد مركزها عند${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$ونصف قطر​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b-a).}$الفترة المغلقة المحدودة${\displaystyle [a,b]}$هي الكرة المغلقة المناظرة، ونقطتا نهاية الفترة${\displaystyle \{a,b\}}$تشكيل كرة ذات بُعد صفري . تعميم إلى${\displaystyle n}$في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، تُعرَّف الكرة بأنها مجموعة النقاط التي تبعد عن المركز مسافة أقل من نصف قطره. أما في الحالة ثنائية الأبعاد، فتُسمى الكرة قرصًا .

إذا اعتبرنا نصف الفضاء نوعًا من الكرة المنحلة (بدون مركز أو نصف قطر محدد جيدًا)، فيمكن اعتبار نصف الفضاء مماثلاً لفترة محدودة نصفية، مع مستوى حدوده على أنه الكرة (المنحلة) المقابلة لنقطة النهاية المحدودة.

الفترة المحدودة هي (الجزء الداخلي من) مستطيل فائق أحادي البعد . معممة إلى فضاء الإحداثيات الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$المستطيل الفائق (أو الصندوق) المحاذي للمحاور هو حاصل الضرب الديكارتي لـ${\displaystyle n}$فترات زمنية محدودة. لـ${\displaystyle n=2}$هذا مستطيل ؛ لـ${\displaystyle n=3}$هذا متوازي مستطيلات (يسمى أيضًا " صندوقًا ").

مع الأخذ في الاعتبار مزيجًا من نقاط النهاية المفتوحة والمغلقة واللانهائية، فإن حاصل الضرب الديكارتي لأي${\displaystyle n}$الفترات الزمنية،${\displaystyle I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$يُطلق عليه أحيانًا اسم${\displaystyle n}$فاصل زمني ذو أبعاد .

جانب من جوانب هذه الفترة${\displaystyle I}$وهي نتيجة استبدال أي عامل فاصل غير منحل${\displaystyle I_{k}}$بواسطة فترة متدهورة تتكون من نقطة نهاية محدودة من${\displaystyle I_{k}.}$وجوه​​${\displaystyle I}$يشمل${\displaystyle I}$نفسها وجميع أوجه جوانبها . زوايا${\displaystyle I}$هي الوجوه التي تتكون من نقطة واحدة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

يمكن إنشاء أي فترة محدودة كتقاطع فترات نصف محدودة (مع اعتبار التقاطع الفارغ بمثابة خط الأعداد الحقيقية بأكمله)، وتقاطع أي عدد من الفترات النصف محدودة هو فترة (قد تكون فارغة). ويمكن تعميم ذلك على${\displaystyle n}$الفضاء الأفيني ذو الأبعاد n ، تقاطع أنصاف الفضاءات (ذات التوجه العشوائي) هو (داخل) متعدد السطوح المحدب ، أو في الحالة ثنائية الأبعاد مضلع محدب .

الفترة المفتوحة هي مجموعة مفتوحة متصلة من الأعداد الحقيقية. وبشكل عام، تُسمى المجموعة المفتوحة المتصلة غير الفارغة مجالاً ، وذلك عند تعميمها على الفضاءات الطوبولوجية .

يمكن تعريف فترات الأعداد المركبة على أنها مناطق في المستوى المركب ، سواء كانت مستطيلة أو دائرية . ^{[ 16 ]}