متصل خطي

في المجال الرياضي لنظرية الترتيب ، يعتبر الوسط المتصل أو الوسط المتصل الخطي تعميمًا للخط الحقيقي .

بصورة رسمية، يُعرَّف المتصل الخطي بأنه مجموعة S مرتبة خطيًا تحتوي على أكثر من عنصر واحد، وهي مرتبة بكثافة ، أي أنه بين أي عنصرين مختلفين يوجد عنصر آخر (وبالتالي عدد لا نهائي من العناصر الأخرى)، وكاملة شرطيًا ، أي أنها "لا تحتوي على فجوات" بمعنى أن كل مجموعة جزئية غير فارغة ذات حد أعلى لها حد أعلى أصغر في المجموعة. وبصورة رمزية أكثر:

1. تتمتع S بخاصية الحد الأعلى الأدنى ، و
2. لكل x في S ولكل y في S حيث x < y ، يوجد z في S بحيث x < z < y

تتمتع المجموعة بخاصية الحد الأعلى الأدنى، إذا كان لكل مجموعة جزئية غير فارغة من المجموعة، والتي لها حد أعلى، حد أعلى أدنى في المجموعة. وتكتسب المتصلات الخطية أهمية خاصة في مجال الطوبولوجيا ، حيث يمكن استخدامها للتحقق مما إذا كانت مجموعة مرتبة، بالنظر إلى طوبولوجيا الترتيب ، متصلة أم لا. ^{[ 1 ]}

على عكس خط الأعداد الحقيقية القياسي، يمكن أن يكون المتصل الخطي محدودًا من كلا الجانبين: على سبيل المثال، أي فترة مغلقة (حقيقية) هي متصل خطي.

• تُعدّ مجموعة الأعداد الحقيقية المرتبة ، R ، بترتيبها المعتاد ، سلسلة متصلة خطية، وهي المثال النموذجي. الخاصية (ب) بديهية، والخاصية (أ) هي ببساطة إعادة صياغة لبديهية الاكتمال .

أمثلة بالإضافة إلى الأعداد الحقيقية:

• المجموعات التي لها ترتيب متماثل مع مجموعة الأعداد الحقيقية، على سبيل المثال فترة مفتوحة حقيقية ، ونفس الشيء مع الفجوات نصف المفتوحة (لاحظ أن هذه ليست فجوات بالمعنى المذكور أعلاه).
• نظام الأعداد الحقيقية الممتد خطيًا والمجموعات المتماثلة الترتيب، على سبيل المثال فترة الوحدة
• مجموعة الأعداد الحقيقية التي أُضيف إليها +∞ فقط أو −∞ فقط، والمجموعات المتماثلة الترتيب، على سبيل المثال فترة نصف مفتوحة
• الطابور الطويل
• المجموعة I × I (حيث × يرمز إلى الضرب الديكارتي و I = [0, 1]) مرتبةً ترتيبًا معجميًا هي سلسلة متصلة خطية. الخاصية (ب) بديهية. للتحقق من الخاصية (أ)، نُعرّف تطبيقًا، π ₁  : I × I → I كما يلي:

π ₁ ( x , y ) = x

تُعرف هذه الخريطة بخريطة الإسقاط . خريطة الإسقاط متصلة (بالنسبة لطوبولوجيا الضرب على I × I ) وشاملة . ليكن A مجموعة جزئية غير فارغة من I × I ومحدودة من الأعلى. لنعتبر _π₁ ( A ) . بما أن A محدودة من الأعلى، فلا بد أن تكون π₁ ( A ) محدودة من الأعلى أيضًا. ولأن _π₁ ( A ) مجموعة جزئية من I ، فلا بد _أن يكون لها حد أعلى أصغر (لأن I تتمتع بخاصية الحد الأعلى الأصغر). لذلك، يمكننا أن نعتبر b الحد الأعلى الأصغر لـ π₁ ( A ). إذا كان b ينتمي إلى _{π₁ (} A ) ، فإن b × I سيتقاطع مع A عند b × c ، حيث c ∈ I. لاحظ أنه بما أن b × I لها نفس نوع ترتيب I ، فإن المجموعة ( b × I ) ∩ A سيكون لها بالفعل حد أعلى أصغر b × c' ، وهو الحد الأعلى الأصغر المطلوب لـ A.

إذا لم ينتمي b إلى π ₁ ( A )، فإن b × 0 هو الحد الأعلى الأدنى لـ A ، لأنه إذا كان d < b ، وكان d × e حدًا أعلى لـ A ، فإن d سيكون حدًا أعلى أصغر لـ π ₁ ( A ) من b ، مما يتناقض مع الخاصية الفريدة لـ b .

• المجموعة المرتبة Q للأعداد النسبية ليست متصلة خطية. على الرغم من تحقق الخاصية (ب)، فإن الخاصية (أ) لا تتحقق. لننظر إلى المجموعة الجزئية Q.

A = { x ∈ Q | x < √2 }

من مجموعة الأعداد النسبية. على الرغم من أن هذه المجموعة محدودة من الأعلى بأي عدد نسبي أكبر من √2 (مثلاً 3)، إلا أنه ليس لها حد أعلى أصغر في مجموعة الأعداد النسبية. ^{[ 2 ]} (وتحديداً، لأي حد أعلى نسبي r > √2 ، فإن r /2 + 1/ r هو حد أعلى نسبي أقرب؛ التفاصيل في قسم طرق حساب الجذور التربيعية،  طريقة هيرون ).

• إن مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة المرتبة بترتيبها المعتاد ليست متصلة خطية. تتحقق الخاصية (أ) (لتكن A مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة ومحدودة من الأعلى. إذن A مجموعة منتهية، وبالتالي لها قيمة عظمى، وهذه القيمة العظمى هي الحد الأعلى الأدنى المطلوب لـ A ). من ناحية أخرى، لا تتحقق الخاصية (ب). في الواقع، 5 عدد صحيح غير سالب، وكذلك 6، ولكن لا يوجد عدد صحيح غير سالب يقع بينهما تمامًا.
• المجموعة المرتبة A من الأعداد الحقيقية غير الصفرية

A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

ليست مجموعة متصلة خطية. تتحقق الخاصية (ب) بشكل بديهي. مع ذلك، إذا كانت B هي مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة:

ب = (−∞, 0)

إذن ، B هي مجموعة جزئية من A محدودة من الأعلى (بأي عنصر من A أكبر من 0؛ على سبيل المثال 1)، ولكن ليس لها حد أعلى أصغر في A. لاحظ أن 0 ليس حدًا لـ B لأن 0 ليس عنصرًا من A.

• لنفترض أن Z ₋ ترمز إلى مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة، ولنفترض أن A = (0, 5) ∪ (5, +∞).

S = Z ₋ ∪ A .

إذن ، لا تحقق S الخاصية أ) ولا الخاصية ب). والبرهان مشابه للأمثلة السابقة.

على الرغم من أهمية المتصلات الخطية في دراسة المجموعات المرتبة ، إلا أنها تُستخدم أيضًا في مجال الطوبولوجيا الرياضية . في الواقع، سنبرهن أن المجموعة المرتبة في طوبولوجيا الترتيب تكون متصلة إذا وفقط إذا كانت متصلة خطيًا. سنبرهن على أحد الاستلزامين، ونترك الآخر كتمرين. (يشرح مونكرز الجزء الثاني من البرهان في ^{[ 3 ]} ).

نظرية

ليكن X مجموعة مرتبة في طوبولوجيا الترتيب. إذا كانت X متصلة، فإن X عبارة عن متصل خطي.

دليل:

لنفترض أن x و y عنصران من X بحيث x < y . إذا لم يوجد z في X بحيث x < z < y ، فضع في اعتبارك المجموعات التالية:

A = (−∞, y )

ب = ( س ، +∞)

هذه المجموعات منفصلة (إذا كان a ينتمي إلى A ، فإن a < y، وبالتالي إذا كان a ينتمي إلى B ، فإن a > x و a < y، وهو أمر مستحيل بحسب الفرضية)، وغير فارغة ( x ينتمي إلى A و y ينتمي إلى B ) ، ومفتوحة (في طوبولوجيا الترتيب)، واتحادها هو X. وهذا يناقض اتصال X.

الآن نُثبت خاصية الحد الأعلى الأدنى. إذا كانت C مجموعة جزئية من X محدودة من الأعلى وليس لها حد أعلى أدنى، ولتكن D اتحاد جميع الأشعة المفتوحة على الصورة ( b , +∞) حيث b حد أعلى لـ C. إذن D مفتوحة (لأنها اتحاد مجموعات مفتوحة)، ومغلقة (إذا لم يكن a في D ، فإن a < b لجميع الحدود العليا b لـ C، بحيث يمكننا اختيار q > a بحيث يكون q في C (إذا لم يوجد مثل هذا q ، فإن a هو الحد الأعلى الأدنى لـ C )، وبالتالي يمكن اختيار فترة مفتوحة تحتوي على a ولا تتقاطع مع D ). بما أن D غير فارغة (يوجد أكثر من حد أعلى واحد لـ D _، فلو كان هناك حد أعلى واحد فقط s ، لكان s هو الحد الأعلى الأدنى. إذن إذا كان _{b1 و} b2 حدين أعلى لـ D بحيث b1 < _{b2 ،} فإن b2 ينتمي إلى D )، فإن D ومتممتها معًا تُشكلان فصلًا على X. وهذا يتناقض مع ترابط X.

• بديهية كانتور-ديديكيند
• طوبولوجيا النظام
• خاصية الحد الأعلى الأدنى
• إجمالي الطلب