الموجة الصغيرة

الموجة الصغيرة هي تذبذب يشبه الموجة ، تبدأ سعتها من الصفر، ثم تزداد أو تنقص، ثم تعود إلى الصفر مرة واحدة أو أكثر. تُسمى الموجات الصغيرة "تذبذبًا قصيرًا". وقد وُضع تصنيف للموجات الصغيرة بناءً على عدد نبضاتها واتجاهها. تتميز الموجات الصغيرة بخصائص محددة تجعلها مفيدة في معالجة الإشارات .

على سبيل المثال، يمكن إنشاء موجة صغيرة بتردد نغمة "دو" الوسطى ومدة قصيرة تقارب عُشر الثانية. إذا تم دمج هذه الموجة الصغيرة مع إشارة مُستخلصة من تسجيل لحن، فإن الإشارة الناتجة ستكون مفيدة لتحديد وقت  ظهور نغمة "دو" الوسطى في الأغنية. رياضياً، ترتبط الموجة الصغيرة بالإشارة إذا كان جزء من الإشارة متشابهاً. ويُعدّ الارتباط أساساً للعديد من التطبيقات العملية للموجات الصغيرة.

تُستخدم الموجات الصغيرة كأداة رياضية لاستخلاص المعلومات من أنواع عديدة من البيانات، بما في ذلك الإشارات الصوتية والصور. ويتطلب تحليل البيانات بشكل كامل استخدام مجموعات من الموجات الصغيرة. وتقوم الموجات الصغيرة "التكميلية" بتحليل الإشارة دون فجوات أو تداخلات، مما يجعل عملية التحليل قابلة للعكس رياضياً. لذا، تُعد مجموعات الموجات الصغيرة التكميلية مفيدة في خوارزميات الضغط /فك الضغط القائمة على الموجات الصغيرة، حيث يُفضّل استعادة المعلومات الأصلية بأقل قدر من الفقد.

بصورة رسمية، يُمثل هذا التمثيل سلسلة مويجات لدالة قابلة للتكامل التربيعي، وذلك بالنسبة إما لمجموعة كاملة ومتعامدة من دوال الأساس ، أو لمجموعة أو إطار زائد عن الاكتمال في فضاء متجهي ، وذلك بالنسبة لفضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي. ويتحقق ذلك من خلال حالات متماسكة .

في الفيزياء الكلاسيكية ، تُوصف ظاهرة الحيود بمبدأ هيغنز-فرينل الذي يُعامل كل نقطة في جبهة الموجة المنتشرة كمجموعة من الموجات الكروية المنفردة. ^{[ 1 ]} يكون نمط الانحناء المميز أكثر وضوحًا عندما تصطدم موجة من مصدر متماسك (مثل الليزر) بفتحة/شق بحجم يُقارب طولها الموجي . ويعود ذلك إلى تداخل أو تداخل نقاط مختلفة على جبهة الموجة (أو، بشكل مكافئ، كل موجة صغيرة) التي تسلك مسارات بأطوال مختلفة إلى سطح التسجيل. ويمكن أن تُؤدي الفتحات المتعددة والمتقاربة (مثل محزز الحيود ) إلى نمط معقد ذي شدة متفاوتة.

استُخدم مصطلح " الموجة الصغيرة " لعقود في معالجة الإشارات الرقمية والجيوفيزياء الاستكشافية. ^{[ 2 ]} وقد استخدم جان مورليه وأليكس غروسمان الكلمة الفرنسية المكافئة "ondelette " التي تعني "موجة صغيرة" في أوائل ثمانينيات القرن الماضي.

تُطبَّق نظرية المويجات على العديد من المجالات. يمكن اعتبار جميع تحويلات المويجات أشكالًا لتمثيل الإشارات الزمنية-الترددية للإشارات المستمرة (التناظرية)، وبالتالي فهي مرتبطة بالتحليل التوافقي . ^{[ 3 ]} يُعد تحويل المويجات المتقطع (المستمر زمنيًا) لإشارة متقطعة زمنيًا (مأخوذة عينات) باستخدام بنوك مرشحات متقطعة زمنيًا ذات تكوين ثنائي (نطاق أوكتاف) تقريبًا للمويجات لتلك الإشارة. تُسمى معاملات بنك المرشحات هذا بمعاملات الإزاحة والقياس في مصطلحات المويجات. قد تحتوي بنوك المرشحات هذه على مرشحات استجابة نبضية محدودة (FIR) أو مرشحات استجابة نبضية غير محدودة (IIR). تخضع المويجات التي تُشكِّل تحويل المويجات المستمر (CWT) لمبدأ عدم اليقين في تحليل فورييه ونظرية أخذ العينات الخاصة به: ^{[ 4 ]} عند إعطاء إشارة تحتوي على حدث ما، لا يمكن تحديد مقياس استجابة زمنية وترددية دقيقين لهذا الحدث في آنٍ واحد. حاصل ضرب عدم اليقين في مقياس الاستجابة الزمنية والترددية له حد أدنى. وبالتالي، في مخطط المقياس لتحويل المويجات المستمر لهذه الإشارة، يُشير هذا الحدث إلى منطقة كاملة في مستوى المقياس الزمني، بدلاً من نقطة واحدة فقط. كما يمكن النظر في قواعد المويجات المنفصلة في سياق أشكال أخرى لمبدأ عدم اليقين. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

تنقسم تحويلات المويجات بشكل عام إلى ثلاث فئات: المستمرة، والمتقطعة، والمتعددة الدقة.

تحويلات المويجات المستمرة (معاملات الإزاحة والقياس المستمرة)

في تحويلات المويجات المستمرة ، تُسقط إشارة معينة ذات طاقة محدودة على مجموعة متصلة من نطاقات التردد (أو فضاءات فرعية مماثلة من فضاء الدوال ^L² ( ^{R )). على سبيل المثال} ، يمكن تمثيل الإشارة على كل نطاق تردد بالشكل [ f , 2f ] لجميع الترددات الموجبة f > 0. بعد ذلك ، يمكن إعادة بناء الإشارة الأصلية عن طريق إجراء تكامل مناسب على جميع مكونات التردد الناتجة.

تُعدّ نطاقات التردد أو الفضاءات الفرعية نسخًا مُكبّرة من فضاء فرعي عند المقياس 1. وينشأ هذا الفضاء الفرعي بدوره، في معظم الحالات، من خلال إزاحات دالة توليد واحدة ψ في L² ( R )، وهي الموجة الأم . فعلى سبيل المثال، بالنسبة لنطاق التردد [1, 2] عند المقياس 1، تكون هذه الدالة ^هي$${\displaystyle \psi (t)=2\,\operatorname {sinc} (2t)-\,\operatorname {sinc} (t)={\frac {\sin(2\pi t)-\sin(\pi t)}{\pi t}}}$$ باستخدام دالة sinc (المُعَيَّرة) . هذا، بالإضافة إلى دالة ماير، ومثالين آخرين على الموجات الأم هما:

يتم توليد الفضاء الفرعي للمقياس a أو نطاق التردد [1/ a ، 2/ a ] بواسطة الدوال (التي تسمى أحيانًا الموجات الفرعية ). $${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({\frac {tb}{a}}\right),}$$ حيث a عدد موجب يحدد المقياس، و b أي عدد حقيقي يحدد الإزاحة. يحدد الزوج ( a , b ) نقطة في النصف الأيمن من المستوى المركب R ₊ × R.

يكون إسقاط الدالة x على الفضاء الجزئي ذي المقياس a على الشكل التالي: $${\displaystyle x_{a}(t)=\int _{\mathbb {R} }WT_{\psi }\{x\}(a,b)\cdot \psi _{a,b}(t)\,db}$$ بمعاملات الموجة$${\displaystyle WT_{\psi }\{x\}(a,b)=\langle x,\psi _{a,b}\rangle =\int _{\mathbb {R} }x(t){\psi _{a,b}(t)}\,dt.}$$

لتحليل الإشارة x ، يمكن تجميع معاملات الموجة الصغيرة في مخطط مقياس للإشارة.

اطلع على قائمة ببعض الموجات المستمرة .

تحويلات المويجات المنفصلة متعددة الدقة (مستمرة في الزمن)

في أي تحويل موجي متقطع، يوجد عدد محدود فقط من معاملات المويجة لكل منطقة مستطيلة محدودة في النصف العلوي من المستوى. ومع ذلك، يتطلب كل معامل حساب تكامل. في حالات خاصة، يمكن تجنب هذا التعقيد العددي إذا شكلت المويجات المُقاسة والمُزاحة تحليلًا ^متعدد الدقة . هذا يعني أنه يجب أن توجد دالة مساعدة ، وهي المويجة الأم φ في L² ( R )، وأن يكون a عددًا صحيحًا. من الخيارات الشائعة a = 2 و b = 1. أشهر زوج من المويجات الأم والأب هو مويجة دوبيشيز ذات الأربع نقاط. تجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن ربط كل أساس موجي متقطع متعامد بتحليل متعدد الدقة؛ على سبيل المثال، لا تقبل مويجة جورن تحليلًا متعدد الدقة. ^{[ 9 ]}

من الموجات الأم والأب، يتم بناء الفضاءات الفرعية. $${\displaystyle V_{m}=\operatorname {span} (\phi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ حيث }}\phi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\phi (2^{-m}tn)}$$$${\displaystyle W_{m}=\operatorname {span} (\psi _{m,n}:n\in \mathbb {Z} ),{\text{ حيث }}\psi _{m,n}(t)=2^{-m/2}\psi (2^{-m}tn).}$$ الموجة الأبوية${\displaystyle V_{i}}$يحتفظ بخصائص المجال الزمني، بينما الموجات الأم${\displaystyle W_{i}}$يحافظ على خصائص مجال التردد.

من هذه المتطلبات، يجب أن يكون التسلسل $${\displaystyle \{0\}\subset \dots \subset V_{1}\subset V_{0}\subset V_{-1}\subset V_{-2}\subset \dots \subset L^{2}(\mathbb {R} )}$$ يشكل تحليلًا متعدد الدقة لـ L ² وأن الفضاءات الفرعية${\displaystyle \dots ,W_{1},W_{0},W_{-1},\dots }$هي "الفروق" المتعامدة للمتتالية المذكورة أعلاه، أي أن W _m هو المتمم المتعامد لـ V _m داخل الفضاء الفرعي V _{m −1} ، $${\displaystyle V_{m}\oplus W_{m}=V_{m-1}.}$$

قياساً على نظرية أخذ العينات، يمكن استنتاج أن الفضاء V _m بمسافة أخذ عينات 2 ^m يغطي تقريباً نطاق التردد الأساسي من 0 إلى 1/2 ^{m -1} . وكعنصر مكمل متعامد، يغطي W _m تقريباً النطاق [1/2 ^{m −1} ، 1/2 ^m ].

من تلك الإدراجات وعلاقات التعامد، وخاصة${\displaystyle V_{0}\oplus W_{0}=V_{-1}}$، يتبع وجود المتتاليات${\displaystyle h=\{h_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$و${\displaystyle g=\{g_{n}\}_{n\in \mathbb {Z} }}$التي تحقق المتطابقات $${\displaystyle g_{n}=\langle \phi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$لهذا السبب.${\textstyle \phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }g_{n}\phi (2t-n),}$و $${\displaystyle h_{n}=\langle \psi _{0,0},\,\phi _{-1,n}\rangle }$$لهذا السبب.${\textstyle \psi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in \mathbb {Z} }h_{n}\phi (2t-n).}$ المتطابقة الثانية من الزوج الأول هي معادلة تحسين للمويجة الأبوية φ. يشكل كلا زوجي المتطابقات أساس خوارزمية تحويل المويجة السريع .

من تحليل الدقة المتعددة، يتم اشتقاق التفكيك المتعامد للفضاء L ² على النحو التالي $${\displaystyle L^{2}=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}-1}\oplus W_{j_{0}-2}\oplus W_{j_{0}-3}\oplus \cdots }$$ لأي إشارة أو وظيفة${\displaystyle S\in L^{2}}$وهذا يعطي تمثيلاً في دوال الأساس للفضاءات الفرعية المقابلة كما يلي $${\displaystyle S=\sum _{k}c_{j_{0},k}\phi _{j_{0},k}+\sum _{j\leq j_{0}}\sum _{k}d_{j,k}\psi _{j,k}}$$ حيث تكون المعاملات $${\displaystyle c_{j_{0},k}=\langle S,\phi _{j_{0},k}\rangle }$$و $${\displaystyle d_{j,k}=\langle S,\psi _{j,k}\rangle .}$$

لأغراض التطبيقات العملية، ولأسباب تتعلق بالكفاءة، يُفضّل استخدام الدوال القابلة للتفاضل باستمرار ذات الدعم المحدود كدوال موجية أساسية (نموذجية). مع ذلك، ولتلبية المتطلبات التحليلية (في التحويل الموجي المستمر) ولأسباب نظرية عامة، يتم اختيار الدوال الموجية من فضاء جزئي من الفضاء .${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} ).}$هذا هو فضاء الدوال القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، والتي تكون قابلة للتكامل المطلق وقابلة للتكامل التربيعي بالمعنى التالي: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|\,dt<\infty }$$و$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt<\infty .}$$

إن التواجد في هذا المجال يضمن إمكانية صياغة شروط المتوسط ​​الصفري والمعيار التربيعي الواحد: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\,dt=0}$$هو شرط المتوسط ​​الصفري، و $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt=1}$$هذا هو الشرط اللازم لمعيار المربع الواحد.

لكي تكون ψ موجة صغيرة لتحويل الموجة الصغيرة المستمر (انظر هناك للحصول على البيان الدقيق)، يجب أن تفي الموجة الأم بمعيار القبول (بمعنى أوسع، نوع من التفاضل النصفي) من أجل الحصول على تحويل قابل للعكس بشكل مستقر.

في تحويل المويجات المنفصل ، يلزم على الأقل شرط أن تكون متسلسلة المويجات تمثيلاً للهوية في الفضاء L² ( R ). تستخدم معظم طرق بناء تحويل المويجات المنفصل تحليل الدقة المتعددة ^، الذي يُعرّف المويجة بدالة قياس. هذه الدالة نفسها هي حل لمعادلة دالية.

في معظم الحالات، من المفيد تقييد ψ لتكون دالة متصلة ذات عدد أكبر M من العزوم المتلاشية ، أي لجميع الأعداد الصحيحة m < M$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }t^{m}\,\psi (t)\,dt=0.}$$

يتم تغيير حجم الموجة الأم (أو توسيعها) بمعامل a ونقلها (أو إزاحتها) بمعامل b للحصول على (وفقًا لصياغة مورليه الأصلية):

$${\displaystyle \psi _{a,b}(t)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({t-b \over a}\right).}$$

بالنسبة للتحويل الموجي المستمر، يتغير الزوج ( أ ، ب ) على كامل نصف المستوى R ₊ × R ؛ بالنسبة للتحويل الموجي المتقطع، يتغير هذا الزوج على مجموعة فرعية منفصلة منه، والتي تسمى أيضًا المجموعة الأفينية .

كثيراً ما يُشار إلى هذه الدوال خطأً باسم دوال الأساس للتحويل (المستمر). في الواقع، كما هو الحال في تحويل فورييه المستمر، لا يوجد أساس في تحويل المويجات المستمر. يستخدم تفسير الزمن-التردد صيغة مختلفة قليلاً (بحسب ديلبرات).

تقييد:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{a1,b1}(t)\varphi \left({\frac {t-b}{a}}\right)\,dt}$عندما يكون a ₁ = a و b ₁ = b ،
2. ${\displaystyle \Psi (t)}$له فترة زمنية محدودة

غالبًا ما تتم مقارنة تحويل المويجات بتحويل فورييه ، حيث تُمثَّل الإشارات كمجموع موجات جيبية. في الواقع، يمكن اعتبار تحويل فورييه حالة خاصة من تحويل المويجات المستمر مع اختيار الموجة الأم. ${\displaystyle \psi (t)=e^{-2\pi it}}$يتمثل الاختلاف الرئيسي بشكل عام في أن المويجات محددة في كل من الزمن والتردد، بينما يقتصر تحويل فورييه القياسي على التردد فقط . يشبه تحويل فورييه قصير المدى (STFT) تحويل المويجات من حيث أنه محدد في كل من الزمن والتردد، ولكن توجد مشكلات تتعلق بالمفاضلة بين دقة التردد والزمن.

على وجه الخصوص، بافتراض منطقة نافذة مستطيلة، يمكن للمرء أن يعتبر تحويل فورييه قصير المدى (STFT) بمثابة تحويل بنواة مختلفة قليلاً $${\displaystyle \psi (t)=g(t-u)e^{-2\pi it}}$$ أين${\displaystyle g(t-u)}$يمكن كتابتها في كثير من الأحيان على النحو التالي:${\textstyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-u}{\Delta _{t}}}\right)}$، أين${\displaystyle \Delta _{t}}$يرمز u و λ على التوالي إلى طول دالة النافذة وإزاحتها الزمنية. باستخدام نظرية بارسيفال ، يمكن تعريف طاقة الموجة على النحو التالي: $${\displaystyle E=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$ومن هذا، يُعطى مربع الدعم الزمني للنافذة المُزاحة بالزمن u بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \sigma _{u}^{2}={\frac {1}{E}}\int |t-u|^{2}|\psi (t)|^{2}\,dt}$$

ومربع الدعم الطيفي للنافذة المؤثرة على تردد${\displaystyle \xi }$$${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\xi }^{2}={\frac {1}{2\pi E}}\int |\omega -\xi |^{2}|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}\,d\omega }$$

الضرب بنافذة مستطيلة في المجال الزمني يقابله الالتفاف مع${\displaystyle \operatorname {sinc} (\Delta _{t}\omega )}$تؤدي هذه الوظيفة في مجال التردد إلى ظهور تشوهات رنينية زائفة لفترات زمنية قصيرة/محصورة. باستخدام تحويل فورييه المستمر،${\displaystyle \Delta _{t}\to \infty }$وهذا الالتفاف يتم مع دالة دلتا في فضاء فورييه، مما ينتج عنه تحويل فورييه الحقيقي للإشارة${\displaystyle x(t)}$قد تكون دالة النافذة مرشحًا آخر للتظليل ، مثل مرشح غاوسي . سيؤثر اختيار دالة النافذة على خطأ التقريب بالنسبة إلى تحويل فورييه الحقيقي.

لا يجوز تجاوز حاصل ضرب عرض النطاق الزمني لخلية دقة معينة في تحويل فورييه قصير المدى (STFT). تحافظ جميع عناصر أساس STFT على دعم طيفي وزمني موحد لجميع التحولات أو الإزاحات الزمنية، مما يحقق دقة زمنية متساوية للترددات المنخفضة والعالية. وتُحدد الدقة كليًا بعرض العينة.

في المقابل، تُمكّن خصائص تحويل المويجات متعددة الدقة من توفير نطاقات زمنية واسعة للترددات المنخفضة مع الحفاظ على نطاقات زمنية ضيقة للترددات العالية بفضل خصائص القياس الخاصة بتحويل المويجات. هذه الخاصية تُوسّع نطاق تحليل الزمن والتردد التقليدي ليشمل تحليل المقياس الزمني. ^{[ 12 ]}

يُعدّ تحويل المويجات المنفصلة أقل تعقيدًا حسابيًا ، إذ يستغرق وقتًا قدره O( N ) مقارنةً بـ O( N  log N ) لتحويل فورييه السريع (FFT). هذه الميزة الحسابية ليست متأصلة في التحويل نفسه، بل تعكس اختيار التقسيم اللوغاريتمي للتردد، على عكس تقسيمات التردد المتساوية في تحويل فورييه السريع الذي يستخدم نفس دوال الأساس المستخدمة في تحويل فورييه المنفصل (DFT). ^{[ 13 ]} ينطبق هذا التعقيد فقط عندما لا يكون لحجم المرشح علاقة بحجم الإشارة. تتطلب المويجة ذات الدعم غير المضغوط ، مثل مويجة شانون، وقتًا ^{قدره O(} N² ). (على سبيل المثال، يوجد أيضًا تحويل فورييه اللوغاريتمي بتعقيد قدره O( N )، ولكن يجب أخذ عينات من الإشارة الأصلية لوغاريتميًا في الزمن، وهو أمر مفيد فقط لأنواع معينة من الإشارات. ^{[ 14 ]} ) 

يمكن تعريف الموجة الصغيرة (أو عائلة الموجات الصغيرة) بطرق مختلفة:

يمكن ربط تطور الموجات الصغيرة بعدة مسارات فكرية منفصلة، ​​بدءًا من أعمال ألفريد هار في أوائل القرن العشرين. وقد أسفرت أعمال دينيس غابور اللاحقة عن ظهور ذرات غابور (1946)، والتي تُبنى بطريقة مشابهة للموجات الصغيرة، وتُستخدم لأغراض مماثلة.

يمكن عزو المساهمات البارزة في نظرية المويجات منذ ذلك الحين إلى اكتشاف جورج زويج لتحويل المويجات المستمر (CWT) عام 1975 (والذي كان يُسمى في الأصل التحويل القوقعي، وقد اكتُشف أثناء دراسة استجابة الأذن للصوت)، ^{[ 16 ]} وصياغة بيير غوبيلو وأليكس غروسمان وجان مورليه لما يُعرف الآن بتحويل المويجات المستمر (1982)، والعمل المبكر لجان-أولوف سترومبيرغ على المويجات المنفصلة (1983)، ومجموعة مرشحات لو غال-تاباتاباي (LGT) غير المتعامدة ذات 5/3 نقاط مع طور خطي (1988)، ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} ومويجات إنغريد دوبيشيز المتعامدة ذات الدعم المضغوط (1988)، وإطار ستيفان مالات متعدد الدقة غير المتعامد (1989)، ونموذج علي أكانسو ثنائي الحد QMF (1990)، تفسير ناتالي ديلبرات للتردد الزمني لتحويل الموجة المستمرة (1991)، تحويل الموجة التوافقية لنيولاند (1993)، وتقسيم المجموعة في الأشجار الهرمية (SPIHT) الذي طوره أمير سعيد مع ويليام أ. بيرلمان في عام 1996. ^{[ 20 ]}

طُوِّر معيار JPEG 2000 بين عامي 1997 و2000 من قِبَل لجنة مجموعة خبراء التصوير المشتركة (JPEG) برئاسة توراج إبراهيمي (الذي أصبح لاحقًا رئيسًا لمجموعة JPEG). ^{[ 21 ]} وعلى عكس خوارزمية تحويل جيب التمام المنفصل (DCT) المستخدمة في تنسيق JPEG الأصلي ، يستخدم JPEG 2000 خوارزميات تحويل المويجات المنفصلة (DWT). فهو يستخدم تحويل المويجات CDF 9/7 (الذي طورته إنغريد دوبيشيز عام 1992) لخوارزمية الضغط مع فقدان البيانات ، ومجموعة مرشحات لو غال-طباطبائي (LGT) 5/3 ذات الزمن المنفصل (التي طورها ديدييه لو غال وعلي ج. طباطبائي عام 1988) لخوارزمية الضغط بدون فقدان البيانات . ^{[ 22 ]} تم اختيار تقنية JPEG 2000 ، والتي تتضمن امتداد Motion JPEG 2000 ، كمعيار ترميز الفيديو للسينما الرقمية في عام 2004. ^{[ 23 ]}

المويجة هي دالة رياضية تُستخدم لتقسيم دالة معينة أو إشارة زمنية مستمرة إلى مكونات ذات مقاييس مختلفة. عادةً ما يُمكن تحديد نطاق ترددي لكل مكون. بعد ذلك، يُمكن دراسة كل مكون بدقة تتناسب مع مقياسه. تحويل المويجة هو تمثيل لدالة باستخدام المويجات. المويجات هي نسخ مُقاسة ومُترجمة (تُعرف باسم "المويجات الوليدة") لشكل موجي متذبذب ذي طول محدود أو سريع التلاشي (يُعرف باسم "المويجة الأم"). تتميز تحويلات المويجة عن تحويلات فورييه التقليدية بقدرتها على تمثيل الدوال التي تحتوي على انقطاعات وقمم حادة، وعلى تحليل وإعادة بناء الإشارات المحدودة وغير الدورية و/أو غير المستقرة بدقة .

تُصنّف تحويلات المويجات إلى نوعين: تحويلات المويجات المنفصلة (DWTs) وتحويلات المويجات المستمرة (CWTs). تجدر الإشارة إلى أن كلا النوعين هما تحويلات زمنية مستمرة (تناظرية)، ويمكن استخدامهما لتمثيل الإشارات الزمنية المستمرة (التناظرية). تعمل تحويلات المويجات المستمرة على جميع المقاييس والإزاحات الممكنة، بينما تستخدم تحويلات المويجات المنفصلة مجموعة فرعية محددة من قيم المقياس والإزاحة أو شبكة التمثيل.

توجد العديد من تحويلات المويجات، كل منها مناسب لتطبيقات مختلفة. للاطلاع على القائمة الكاملة، راجع قائمة التحويلات المتعلقة بالمويجات، ولكن فيما يلي بعض التحويلات الشائعة:

• التحويل الموجي المستمر (CWT)
• تحويل المويجات المنفصلة (DWT)
• تحويل المويجات السريع (FWT)
• مخطط الرفع ومخطط الرفع العام
• تحليل حزمة الموجات (WPD)
• تحويل المويجات الثابتة (SWT)
• تحويل فورييه الجزئي (FRFT)
• تحويل المويجات الجزئية (FRWT)

بشكل عام، يُستخدم تقريب DWT لضغط البيانات إذا كانت الإشارة قد أُخذت عينات منها بالفعل، بينما يُستخدم CWT لتحليل الإشارات . ^{[ 31 ] [ 32 ]} لذا، يُستخدم تقريب DWT بشكل شائع في الهندسة وعلوم الحاسوب، ^{[ 33 ]} بينما يُستخدم CWT في البحث العلمي. ^{[ 34 ]}

على غرار بعض التحويلات الأخرى، يمكن استخدام تحويلات المويجات لتحويل البيانات، ثم ترميز البيانات المُحوَّلة، مما يؤدي إلى ضغط فعال. على سبيل المثال، JPEG 2000 هو معيار لضغط الصور يستخدم المويجات ثنائية التعامد. هذا يعني أنه على الرغم من أن الإطار مكتمل، إلا أنه إطار مُحكم (انظر أنواع إطارات فضاء المتجهات )، وتُستخدم دوال الإطار نفسها (باستثناء الاقتران في حالة المويجات المركبة) لكل من التحليل والتركيب، أي في كل من التحويل الأمامي والعكسي. لمزيد من التفاصيل، انظر ضغط المويجات .

يُستخدم هذا الأسلوب أيضاً لتنعيم/إزالة التشويش من البيانات استناداً إلى تحديد عتبة معاملات الموجات الصغيرة، ويُسمى أيضاً بتقليص الموجات الصغيرة. ومن خلال تحديد عتبة تكيفية لمعاملات الموجات الصغيرة التي تُقابل مكونات التردد غير المرغوب فيها، يُمكن إجراء عمليات التنعيم و/أو إزالة التشويش.

بدأت تحويلات المويجات تُستخدم أيضًا في تطبيقات الاتصالات. يُعدّ تعديل OFDM باستخدام المويجات نظام التعديل الأساسي المُستخدم في تقنية HD-PLC ( تقنية اتصالات عبر خطوط الطاقة طورتها شركة باناسونيك )، وهو أحد الأوضاع الاختيارية المُضمنة في معيار IEEE 1901. يُمكن لتقنية OFDM باستخدام المويجات تحقيق نطاقات تردد أعمق من تقنية OFDM التقليدية باستخدام تحويل فورييه السريع (FFT )، كما أنها لا تتطلب فاصل حماية (والذي يُمثل عادةً عبئًا كبيرًا في أنظمة OFDM باستخدام تحويل فورييه السريع). ^{[ 35 ]}

إزالة التشويش باستخدام الموجات الصغيرة

لنفترض أننا نقيس إشارة مشوشة${\displaystyle x=s+v}$، أين${\displaystyle s}$يمثل الإشارة و${\displaystyle v}$يمثل الضوضاء. افترض${\displaystyle s}$لها تمثيل متفرق في أساس موجي معين، و${\displaystyle v\ \sim \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

لنفترض أن تحويل المويجة لـ${\displaystyle x}$يكون${\displaystyle y=W^{T}x=W^{T}s+W^{T}v=p+z}$، أين${\displaystyle p=W^{T}s}$هو تحويل المويجات لمكون الإشارة و${\displaystyle z=W^{T}v}$هو تحويل الموجة لمكون الضوضاء.

معظم العناصر في${\displaystyle p}$تكون قيمتها صفرًا أو قريبة من الصفر، و${\displaystyle z\ \sim \ \ {\mathcal {N}}(0,\,\sigma ^{2}I)}$

منذ${\displaystyle W}$إذا كانت متعامدة، فإن مشكلة التقدير تُختزل إلى استعادة إشارة في ضوضاء غاوسية مستقلة ومتطابقة التوزيع .${\displaystyle p}$إذا كانت البيانات متفرقة، فإن إحدى الطرق هي تطبيق نموذج خليط غاوسي لـ${\displaystyle p}$.

افترض مسبقًا${\displaystyle p\ \sim \ a{\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{1}^{2})+(1-a){\mathcal {N}}(0,\,\sigma _{2}^{2})}$، أين${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$يمثل تباين المعاملات "الهامة" و${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$يمثل تباين المعاملات "غير المهمة".

ثم${\displaystyle {\tilde {p}}=E(p/y)=\tau (y)y}$،${\displaystyle \tau (y)}$يُطلق عليه عامل الانكماش، والذي يعتمد على التباينات السابقة${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$و${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$عند ضبط المعاملات التي تقل عن عتبة الانكماش إلى الصفر، وبعد تطبيق التحويل العكسي، يُفقد قدر ضئيل من الإشارة نتيجةً لفرضية التباعد. ومن المتوقع أن تمثل المعاملات الأكبر حجمًا الإشارة بشكل أساسي بسبب التباعد، ومن المتوقع إحصائيًا أن يُمثل جزء ضئيل جدًا من الإشارة، على الرغم من أن معظم الضوضاء، في هذه المعاملات ذات القيم المنخفضة... لذلك، من المتوقع أن تُزيل عملية التصفير معظم الضوضاء ولا تُزيل الكثير من الإشارة. عادةً، لا يتم تعديل المعاملات التي تزيد عن العتبة خلال هذه العملية. قد تُخفف بعض خوارزميات إزالة الضوضاء القائمة على الموجات الصغيرة المعاملات الأكبر حجمًا أيضًا، بناءً على تقدير إحصائي لكمية الضوضاء المتوقع إزالتها من خلال هذا التخفيف.

وأخيرًا، قم بتطبيق تحويل المويجات العكسي للحصول على${\displaystyle {\tilde {s}}=W{\tilde {p}}}$

• تحوّل تشيربليت
• كثيرات حدود هيرميت
• الموجة الهرميتية
• كيرفليت
• السينما الرقمية
• تقليل الأبعاد
• بنوك المرشحات
• التحويلات المتعلقة بفورييه
• الانضغاط الفركتلي
• تحويل فورييه الجزئي
• موجة غابور §  فضاء الموجات ^{[ 46 ]}
• مبدأ هيغنز-فرينل (الموجات الفيزيائية)
• JPEG 2000
• تحليل الطيف باستخدام طريقة المربعات الصغرى لحساب الدورية في أي بيانات، بما في ذلك البيانات غير المتساوية التباعد.
• موجة مورليت
• تحليل متعدد الدقة
• ضوضاء
• الموجة غير القابلة للفصل
• مساحة المقياس
• معامل الارتباط المقياسي
• شيرليت
• تحويل فورييه قصير المدى
• مخطط الطيف
• راديو النطاق العريض للغاية – ينقل الموجات الصغيرة
• تحليل الإشارات متعددة الأبعاد باستخدام الموجات الصغيرة

• أديسون، بول س. (2002). دليل تحويل المويجات المصور: النظرية التمهيدية والتطبيقات في العلوم والهندسة والطب والمالية . بريستول، فيلادلفيا: منشورات معهد الفيزياء. ISBN 0-7503-0692-0.
• أكانسو، علي ن .؛ حداد، ريتشارد أ. (1992). تحليل الإشارة متعددة الدقة: التحويلات، والنطاقات الفرعية، والمويجات . بوسطن: أكاديميك برس. ISBN 0-12-047140-X.
• تشان، توني ف .؛ شين، جيان هونغ (2005). معالجة الصور وتحليلها: الطرق التباينية، والمعادلات التفاضلية الجزئية، والمويجات، والطرق العشوائية . فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 0-89871-589-X. OCLC 60321765 . 
• دوبيشيز، إنغريد (1992). عشر محاضرات في الموجات الصغيرة . فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 0-89871-274-2.
• جينكاي، رمضان؛ سلجوق، فاروق؛ ويتشر، براندون (2002). مقدمة في الموجات الصغيرة وغيرها من أساليب الترشيح في التمويل والاقتصاد . سان دييغو، كاليفورنيا: أكاديميك برس. ISBN 0-12-279670-5.
• هار ، ألفريد (1910). "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme: Erste Mitteilung" . Mathematische Annalen (باللغة الألمانية). 69 (3): 331-371 . دوى : 10.1007 / BF01456326 . ISSN 0025-5831 . تم الاسترجاع بتاريخ 28-12-2024 . 
• كايزر، جيرالد (1994). دليل مبسط للمويجات . بازل، بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3711-7.
• مالات، إس جي (2009). جولة في معالجة الإشارات باستخدام الموجات الصغيرة: الطريقة المتفرقة . أمستردام؛ بوسطن: إلسيفير/أكاديميك برس. doi : 10.1016/B978-0-12-374370-1.X0001-8 . ISBN 978-0-12-374370-1.
• بيرسيفال، دونالد ب.؛ والدن، أندرو ت. (2007). طرق المويجات لتحليل السلاسل الزمنية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-68508-5.
• بريس، ويليام هـ. (2007). وصفات عددية: فن الحوسبة العلمية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-88068-8. OCLC 1025448470 . 
• فايدياناثان، ب.ب. (1993). أنظمة متعددة المعدلات وبنوك المرشحات . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. رقم ISBN 0-13-605718-7.
• فيترلي، مارتن؛ كوفاسيفيتش، يلينا (1995). الموجات الصغيرة وتشفير النطاقات الفرعية . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول بي تي آر. رقم ISBN 0-13-097080-8.
• ويكرهاوزر، ملادن فيكتور (1994). تحليل الموجات المُعدَّل: من النظرية إلى البرمجيات . ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-041-5.

• "تحليل الموجات الصغيرة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• الندوة الأولى لمعهد نيوجيرسي للتكنولوجيا حول الموجات الصغيرة (أول مؤتمر للموجات الصغيرة في الولايات المتحدة الأمريكية)