نظام متعدد الكسور

النظام متعدد الكسور هو تعميم للنظام الكسوري حيث لا يكفي أس واحد ( البعد الكسوري ) لوصف ديناميكياته؛ بدلاً من ذلك، يلزم طيف متصل من الأسس (ما يسمى بطيف التفرد ). ^{[ 1 ]}

تُعدّ الأنظمة متعددة الأبعاد الكسرية شائعة في الطبيعة، وتشمل طول السواحل ، وتضاريس الجبال، ^{[ 2 ]} والاضطرابات المتطورة بالكامل ، وسلاسل زمنية للإضاءة الطبيعية، ^{[ 3 ]} ومشاهد من العالم الحقيقي. ^{[ 4 ]} وقد طُرحت نماذج في سياقات متنوعة، بدءًا من الاضطرابات في ديناميكيات الموائع وصولًا إلى حركة مرور الإنترنت، والتمويل، ونمذجة الصور، وتوليف النسيج، والأرصاد الجوية، والجيوفيزياء ، وغيرها. يُعزى أصل تعدد الأبعاد الكسرية في البيانات المتسلسلة (السلاسل الزمنية) إلى تأثيرات التقارب الرياضي المرتبطة بنظرية النهاية المركزية ، والتي تركز على عائلة التوزيعات الإحصائية المعروفة بنماذج تشتت تويدي الأسي ، ^{[ 5 ]} بالإضافة إلى نماذج تويدي الهندسية. ^{[ 6 ]} ينتج عن تأثير التقارب الأول متواليات أحادية الأبعاد الكسرية، بينما يُعزى تأثير التقارب الثاني إلى التباين في البعد الكسري لهذه المتواليات. ^{[ 7 ]}

يُستخدم التحليل متعدد الأبعاد الكسرية لدراسة مجموعات البيانات، غالبًا بالتزامن مع طرق أخرى لتحليل الأبعاد الكسرية والفجوات . تتضمن هذه التقنية تشويه مجموعات البيانات المستخرجة من الأنماط لتوليد أطياف متعددة الأبعاد الكسرية توضح كيفية تغير المقياس عبر مجموعة البيانات. وقد استُخدم التحليل متعدد الأبعاد الكسرية لفك شفرة قواعد توليد ووظائف الشبكات المعقدة. ^{[ 8 ]} كما طُبقت تقنيات التحليل متعدد الأبعاد الكسرية في مجموعة متنوعة من المواقف العملية، مثل التنبؤ بالزلازل وتفسير الصور الطبية. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

في نظام متعدد الكسور${\displaystyle s}$، يتم وصف السلوك حول أي نقطة بواسطة قانون قوة محلي :

${\displaystyle s({\vec {x}}+{\vec {a}})-s({\vec {x}})\sim a^{h({\vec {x}})}.}$

الأس${\displaystyle h({\vec {x}})}$يُطلق عليه اسم مُعامل التفرد ، لأنه يصف الدرجة المحلية للتفرد أو الانتظام حول النقطة${\displaystyle {\vec {x}}}$[ ^{12 ]​}

تُسمى المجموعة المُشكّلة من جميع النقاط التي تشترك في نفس أس التفرد، مشعب التفرد ذو الأس h ، وهي مجموعة كسورية ذات بُعد كسوري${\displaystyle D(h):}$طيف التفرد. المنحنى${\displaystyle D(h)}$عكس${\displaystyle h}$يُطلق عليه اسم طيف التفرد ، وهو يصف بشكل كامل التوزيع الإحصائي للمتغير${\displaystyle s}$.

عملياً، السلوك متعدد الأبعاد لنظام فيزيائي${\displaystyle X}$لا يتم تحديدها بشكل مباشر من خلال طيف التفرد الخاص بها${\displaystyle D(h)}$بل إن تحليل البيانات يتيح الوصول إلى أسس القياس المتعدد${\displaystyle \zeta (q),\ q\in {\mathbb {R} }}$في الواقع، تخضع الإشارات متعددة الأبعاد بشكل عام لخاصية ثبات المقياس التي تُنتج سلوكيات قانون القوة لكميات متعددة الدقة، اعتمادًا على مقياسها.${\displaystyle a}$. اعتمادًا على الجسم قيد الدراسة، فإن هذه الكميات متعددة الدقة، المشار إليها بـ${\displaystyle T_{X}(a)}$، ويمكن أن تكون متوسطات محلية في مربعات ذات حجم${\displaystyle a}$، التدرجات على طول المسافة${\displaystyle a}$معاملات الموجات الصغيرة على نطاق${\displaystyle a}$إلخ. بالنسبة للأجسام متعددة الأبعاد، عادةً ما يلاحظ المرء قياسًا عالميًا لقانون القوة على النحو التالي:

${\displaystyle \langle T_{X}(a)^{q}\rangle \sim a^{\zeta (q)}\ }$

على الأقل في نطاق معين من المقاييس ولنطاق معين من الرتب${\displaystyle q}$عند ملاحظة مثل هذا السلوك، يتحدث المرء عن ثبات المقياس، أو التشابه الذاتي، أو التعددية في المقياس. ^{[ 13 ]}

باستخدام ما يسمى بالصيغة متعددة الكسور ، يمكن إثبات أنه في ظل بعض الافتراضات المناسبة، توجد علاقة بين طيف التفرد${\displaystyle D(h)}$والأسس متعددة المقاييس${\displaystyle \zeta (q)}$من خلال تحول ليجندر . بينما تصميم${\displaystyle D(h)}$يتطلب الأمر تحليلاً محلياً شاملاً للبيانات، مما سيؤدي إلى حسابات صعبة وغير مستقرة عددياً، وتقدير${\displaystyle \zeta (q)}$يعتمد على استخدام المتوسطات الإحصائية والانحدارات الخطية في الرسوم البيانية اللوغاريتمية. بمجرد${\displaystyle \zeta (q)}$إذا كانت هذه المعلومات معروفة، فيمكن استنتاج تقدير لـ${\displaystyle D(h),}$بفضل تحويل بسيط من ليجندر.

غالباً ما يتم نمذجة الأنظمة متعددة الأبعاد باستخدام عمليات عشوائية مثل التتالي المضاعف .${\displaystyle \zeta (q)}$يتم تفسيرها إحصائياً، لأنها تصف تطور توزيعات${\displaystyle T_{X}(a)}$مثل${\displaystyle a}$ينتقل من المقاييس الأكبر إلى الأصغر. يُطلق على هذا التطور غالبًا اسم التقطع الإحصائي، وهو يُشير إلى انحراف عن النماذج الغاوسية .

يؤدي نمذجة التتابع المضاعف أيضًا إلى تقدير خصائص التعددية الكسرية. ^{[ 14 ]} تعمل هذه الطريقة بشكل جيد إلى حد معقول، حتى مع مجموعات البيانات الصغيرة نسبيًا. لا يقتصر التطابق الأمثل المحتمل للتتابع المضاعف مع مجموعة البيانات على تقدير الطيف الكامل فحسب، بل يوفر أيضًا تقديرات معقولة للأخطاء. ^{[ 15 ]}

يمكن تحديد الأطياف متعددة الكسور من خلال عدّ المربعات في الصور الرقمية. أولًا، يُجرى مسحٌ لعدّ المربعات لتحديد كيفية توزيع البكسلات؛ ثم يصبح هذا "التوزيع الكتلي" أساسًا لسلسلة من الحسابات. ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]} الفكرة الأساسية هي أنه بالنسبة للكسور المتعددة، فإن الاحتمالية${\displaystyle P}$عدد من البكسلات${\displaystyle m}$، تظهر في صندوق${\displaystyle i}$يختلف حسب حجم الصندوق${\displaystyle \epsilon }$، إلى أسٍّ ما${\displaystyle \alpha }$، والتي تتغير على الصورة، كما في المعادلة 0.0 ( ملاحظة : بالنسبة للرسوم البيانية أحادية الكسور، على النقيض من ذلك، فإن الأس لا يتغير بشكل ذي معنى على المجموعة).${\displaystyle P}$يتم حسابها من توزيع البكسلات عن طريق عد المربعات كما هو موضح في المعادلة 2.0 .

${\displaystyle P_{[i,\epsilon ]}\varpropto \epsilon ^{-\alpha _{i}}\therefore \alpha _{i}\varpropto {\frac {\log {P_{[i,\epsilon ]}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}}$

المعادلة 0.0

${\displaystyle \epsilon }$= مقياس اعتباطي ( حجم الصندوق في عد الصناديق) يتم عنده فحص المجموعة

${\displaystyle i}$= فهرس كل مربع موضوع فوق المجموعة لـ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle m_{[i,\epsilon ]}}$= عدد البكسلات أو الكتلة في أي مربع،${\displaystyle i}$، بحجم${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle N_{\epsilon }}$= إجمالي المربعات التي تحتوي على أكثر من 0 بكسل، لكل منها${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle M_{\epsilon }=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}m_{[i,\epsilon ]}=}$الكتلة الإجمالية أو مجموع البكسلات في جميع المربعات لهذا${\displaystyle \epsilon }$

المعادلة 1.0

${\displaystyle P_{[i,\epsilon ]}={\frac {m_{[i,\epsilon ]}}{M_{\epsilon }}}=}$احتمالية وجود هذه الكتلة عند${\displaystyle i}$نسبةً إلى الكتلة الإجمالية لحجم الصندوق

المعادلة 2.0

${\displaystyle P}$يُستخدم لمراقبة كيفية تصرف توزيع البكسل عند تشويهه بطرق معينة كما في المعادلتين 3.0 و 3.1 :

${\displaystyle Q}$= نطاق عشوائي من القيم لاستخدامه كأساس لتشويه مجموعة البيانات

${\displaystyle I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}=}$مجموع جميع احتمالات الكتلة المشوهة نتيجة رفعها إلى هذه القيمة Q، لحجم الصندوق هذا

المعادلة 3.0

• متى${\displaystyle Q=1}$، المعادلة 3.0 تساوي 1، وهو المجموع المعتاد لجميع الاحتمالات، وعندما${\displaystyle Q=0}$كل حد يساوي 1، لذا فإن المجموع يساوي عدد الصناديق التي تم عدها.${\displaystyle N_{\epsilon }}$.

${\displaystyle \mu _{{(Q)}_{[i,\epsilon ]}}={\frac {P_{[i,\epsilon ]}^{Q}}{I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}=}$كيف تتم مقارنة احتمالية الكتلة المشوهة عند صندوق معين مع مجموع التشوهات على جميع الصناديق عند هذا الحجم؟

المعادلة 3.1

تُستخدم هذه المعادلات المشوهة أيضًا لمعالجة كيفية سلوك المجموعة عند تغيير حجمها أو تحليلها أو تقسيمها إلى سلسلة من${\displaystyle \epsilon }$قطع بحجم معين ومشوهة بواسطة Q، لإيجاد قيم مختلفة لأبعاد المجموعة، كما يلي:

• من السمات المهمة للمعادلة 3.0 أنها تتغير أيضًا وفقًا للمقياس المرفوع إلى الأس.${\displaystyle \tau }$في المعادلة 4.0 :

${\displaystyle I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}\varpropto \epsilon ^{\tau _{(Q)}}}$

المعادلة 4.0

وبالتالي، سلسلة من القيم لـ${\displaystyle \tau _{(Q)}}$يمكن إيجادها من ميول خط الانحدار للوغاريتم المعادلة 3.0 مقابل لوغاريتم${\displaystyle \epsilon }$لكل${\displaystyle Q}$، بناءً على المعادلة 4.1 :

${\displaystyle \tau _{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon }}}\right]}}}$

المعادلة 4.1

• بالنسبة للبعد المعمم:

${\displaystyle D_{(Q)}={\lim _{\epsilon \to 0}{\left[{\frac {\log {I_{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}}{\log {\epsilon ^{-1}}}}\right]}}{(1-Q)^{-1}}}$

المعادلة 5.0

${\displaystyle D_{(Q)}={\frac {\tau _{(Q)}}{Q-1}}}$

المعادلة 5.1

${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{}}=D_{(Q)}\left(Q-1\right)}$

المعادلة 5.2

${\displaystyle \tau _{(Q)}=\alpha _{(Q)}Q-f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$

المعادلة 5.3

• ${\displaystyle \alpha _{(Q)}}$يُقدّر ميل خط الانحدار لـ${\displaystyle \log {A_{\epsilon ,Q}}}$عكس${\displaystyle \log {\epsilon }}$أين:

${\displaystyle A_{\epsilon ,Q}=\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{\mu _{{i,\epsilon }_{Q}}{P_{{i,\epsilon }_{Q}}}}}$

المعادلة 6.0

• ثم${\displaystyle f_{\left(\alpha _{(Q)}\right)}}$يتم إيجادها من المعادلة 5.3 .

• المتوسط${\displaystyle \tau _{(Q)}}$يُقدّر هذا على أنه ميل خط الانحدار اللوغاريتمي لـ${\displaystyle \tau _{{(Q)}_{[\epsilon ]}}}$عكس${\displaystyle \epsilon }$، أين:

${\displaystyle \tau _{(Q)_{[\epsilon ]}}={\frac {\sum _{i=1}^{N_{\epsilon }}{P_{[i,\epsilon ]}^{Q-1}}}{N_{\epsilon }}}}$

المعادلة 6.1

من الناحية العملية، يعتمد توزيع الاحتمالات على كيفية أخذ عينات من مجموعة البيانات، لذلك تم تطوير خوارزميات التحسين لضمان أخذ عينات كافية. ^{[ 16 ]}

استُخدم التحليل متعدد الأبعاد بنجاح في العديد من المجالات، بما في ذلك العلوم الفيزيائية ^{[ 19 ] [ 20 ]} ، وعلوم المعلومات، والعلوم البيولوجية ^{[ 21 ]} . على سبيل المثال، تحديد كمية أنماط الشقوق المتبقية على سطح جدران القص الخرسانية المسلحة ^{[ 22 ] .}

تحليل تشويه مجموعة البيانات

استُخدم التحليل متعدد الأبعاد في العديد من المجالات العلمية لتوصيف أنواع مختلفة من مجموعات البيانات. ^{[ 23 ]} ويُطبّق هذا التحليل، في جوهره، عامل تشويه على مجموعات البيانات المستخرجة من الأنماط، لمقارنة سلوك البيانات عند كل تشويه. ويتم ذلك باستخدام رسوم بيانية تُعرف باسم الأطياف متعددة الأبعاد ، وهي تُشبه رؤية مجموعة البيانات من خلال "عدسة تشويه"، كما هو موضح في الرسم التوضيحي . ^{[ 16 ]} وتُستخدم أنواع عديدة من الأطياف متعددة الأبعاد في الممارسة العملية.

D _Q ضد Q

أحد الأطياف متعددة الأبعاد العملية هو الرسم البياني لـ D _Q مقابل Q، حيث D _Q هو البعد المعمم لمجموعة بيانات، وQ هي مجموعة عشوائية من الأسس. وبالتالي، يشير مصطلح البعد المعمم إلى مجموعة أبعاد لمجموعة بيانات ( تُشرح أدناه الحسابات التفصيلية لتحديد البعد المعمم باستخدام عدّ المربعات ).

الترتيب البُعدي

يمكن استخدام النمط العام للرسم البياني لـ D( _Q) مقابل Q لتقييم مقياس النمط. يكون الرسم البياني متناقصًا بشكل عام، ويأخذ شكلًا سينيًا حول Q=0، حيث D _(Q=0) ≥ D _(Q=1) ≥ D _(Q=2) . وكما هو موضح في الشكل ، فإن التباين في هذا الطيف البياني يساعد في تمييز الأنماط. تُظهر الصورة أطياف D _(Q) من تحليل متعدد الأبعاد لصور ثنائية لمجموعات غير كسورية، وأحادية الأبعاد، ومتعددة الأبعاد. وكما هو الحال في الصور النموذجية، تميل الصور غير الكسورية والأحادية الأبعاد إلى امتلاك أطياف D _(Q) أكثر استواءً من الصور متعددة الأبعاد.

يُقدّم البُعد المُعمّم أيضًا معلوماتٍ مُحدّدةٍ هامّة. يُساوي D _(Q=0) بُعد السعة ، وهو - في التحليل المُوضّح في الأشكال هنا - بُعد عدّ المربعات . يُساوي D _(Q=1) بُعد المعلومات ، وD _(Q=2) بُعد الارتباط . يرتبط هذا بمفهوم "التعدد" في مُتعدد الكسور، حيث تمتلك مُتعددات الكسور أبعادًا مُتعددة في طيف D _(Q) مقابل Q، بينما تبقى أحاديات الكسور مُسطّحة نسبيًا في تلك المنطقة. ^{[ 16 ] [ 17 ]}

f(α) مقابل α

ومن الأطياف متعددة الأبعاد المفيدة الأخرى الرسم البياني لـ${\displaystyle f(\alpha )}$عكس${\displaystyle \alpha }$(انظر الحسابات ). ترتفع هذه الرسوم البيانية عمومًا إلى قيمة عظمى تقارب البعد الكسري عند Q=0، ثم تنخفض. ومثل أطياف D _Q مقابل Q، فإنها تُظهر أيضًا أنماطًا نموذجية مفيدة لمقارنة الأنماط غير الكسرية، والأحادية، والمتعددة الكسرية. وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لهذه الأطياف، تتقارب الأنماط غير الكسرية والأحادية الكسرية عند قيم معينة، بينما تُشكل أطياف الأنماط المتعددة الكسرية عادةً قممًا على مساحة أوسع.

• منحنى دي رام – منحنى كسري متصل تم الحصول عليه كصورة لفضاء كانتور 
• الحركة البراونية الكسرية – مفهوم من نظرية الاحتمالات 
• تحليل التذبذب بعد إزالة الاتجاه – طريقة للكشف عن قياس قانون القوة في السلاسل الزمنية 
• توزيعات تويدي – عائلة من التوزيعات الاحتمالية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نموذج ماركوف متعدد الكسور المتحول – نموذج لعوائد الأصول 

• فالكونر، كينيث ج. (2014). "17. مقاييس متعددة الأبعاد". الهندسة الكسورية: الأسس الرياضية والتطبيقات (الطبعة الثالثة، الطبعة الأولى المنشورة  ). تشيتشستر: وايلي. ISBN 978-1-119-94239-9.
• باراباسي، أ. ل.؛ ستانلي، هـ. إي.، محرران (1995)، "الأسطح متعددة التآلف" ، مفاهيم الفراكتال في نمو الأسطح ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ص 262-268 ، doi : 10.1017/CBO9780511599798.026 ، ISBN  978-0-521-48318-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-06-05
• جي، إيفرتز سي جيه؛ ماندلبروت، بينوا بي. (1992). "المقاييس متعددة الأبعاد" (ملف PDF) . الفوضى والكسور: آفاق جديدة للعلوم : 922-953 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 13 يوليو 2023.
• ماندلبروت، بينوا ب. (1997). الفراكتلات والقياس في التمويل: الانقطاع، والتركيز، والمخاطر . مختارات. نيويورك، نيويورك: برلين هايدلبرغ: سبرينغر. ISBN 978-0-387-98363-9.
• هارت، ديفيد (26-06-2001). متعددات الكسور . تشابمان آند هول/سي آر سي. doi : 10.1201/9781420036008 . ISBN 978-0-429-12366-5.
• ستانلي، هـ. إي.، وميكين، ب. (1988). "الظواهر متعددة الأبعاد في الفيزياء والكيمياء" (مراجعة) . مجلة نيتشر . 335 (6189): 405-409 . رمز Bibcode : 1988Natur.335..405S . doi : 10.1038/335405a0 . S2CID 4318433 . 
• أرنودو، آلان؛ أوديت، بنجامين؛ كيستنر، بيير؛ رو، ستيفان (2008). "تحليل متعدد الأبعاد قائم على الموجات الصغيرة" . سكولاربيديا . 3 (3): 4103. رمز Bibcode : 2008SchpJ...3.4103A . doi : 10.4249/scholarpedia.4103 . ISSN 1941-6016 . 

• أفلام تعرض تصورات متعددة الأشكال الكسورية