بُعد الارتباط

في نظرية الفوضى ، يُعد بُعد الارتباط (المُشار إليه بـ ν ) مقياسًا لأبعاد الفضاء الذي تشغله مجموعة من النقاط العشوائية، ويُشار إليه غالبًا بنوع من الأبعاد الكسورية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعة من النقاط العشوائية على خط الأعداد الحقيقية بين 0 و1، فسيكون بُعد الارتباط ν  =  1، بينما إذا وُزِّعت هذه النقاط على مثلث مُضمَّن في فضاء ثلاثي الأبعاد (أو فضاء ذي m بُعد)، فسيكون بُعد الارتباط ν  =  2. وهذا ما نتوقعه بديهيًا من مقياس البُعد. تكمن الفائدة الحقيقية لبُعد الارتباط في تحديد أبعاد الأجسام الكسورية (التي قد تكون كسرية). توجد طرق أخرى لقياس البُعد (مثل بُعد هاوسدورف ، وبُعد عدّ المربعات ، وبُعد المعلومات )، لكن بُعد الارتباط يتميز بسهولة وسرعة حسابه، وقلة التشويش عند توفر عدد قليل من النقاط، وغالبًا ما يتوافق مع حسابات البُعد الأخرى.

لأي مجموعة من N نقطة في فضاء ذي m بُعد

${\displaystyle {\vec {x}}(i)=[x_{1}(i),x_{2}(i),\ldots ,x_{m}(i)],\qquad i=1,2,\ldots N}$

ثم يتم حساب التكامل الارتباطي C ( ε ) بواسطة:

${\displaystyle C(\varepsilon )=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {g}{N^{2}}}}$

حيث يمثل g العدد الإجمالي لأزواج النقاط التي تقل المسافة بينها عن المسافة ε (ويُمكن تمثيل هذه الأزواج المتقاربة بيانيًا من خلال مخطط التكرار ). عندما يؤول عدد النقاط إلى اللانهاية، وتؤول المسافة بينها إلى الصفر، فإن تكامل الارتباط، بالنسبة للقيم الصغيرة لـ ε ، يأخذ الشكل التالي: 

${\displaystyle C(\varepsilon )\sim \varepsilon ^{\nu }}$

إذا كان عدد النقاط كبيرًا بما يكفي وموزعًا بالتساوي، فإن رسمًا بيانيًا لوغاريتميًا لتكامل الارتباط مقابل ε سيعطي تقديرًا لـ ν . يمكن فهم هذه الفكرة نوعيًا من خلال إدراك أنه بالنسبة للأجسام ذات الأبعاد الأعلى، ستكون هناك طرق أكثر لتقارب النقاط من بعضها البعض، وبالتالي سيزداد عدد الأزواج المتقاربة بسرعة أكبر في الأبعاد الأعلى. 

قدّم غراسبرغر وبروكاسيا هذه التقنية عام ١٩٨٣؛ ^{[ ١ ]} وتُقدّم المقالة نتائج هذه التقديرات لعدد من الأشكال الكسورية، بالإضافة إلى مقارنة القيم بمقاييس أخرى للبعد الكسوري. يمكن استخدام هذه التقنية للتمييز بين السلوك الفوضوي ( الحتمي ) والسلوك العشوائي الحقيقي، على الرغم من أنها قد لا تكون فعّالة في الكشف عن السلوك الحتمي إذا كانت آلية التوليد الحتمية معقدة للغاية. ^{[ ٤ ]}

على سبيل المثال، في مقال "الشمس في الزمن"، ^{[ 5 ]} تم استخدام الطريقة لإظهار أن عدد البقع الشمسية على الشمس ، بعد مراعاة الدورات المعروفة مثل الدورات اليومية ودورات 11 عامًا، من المرجح جدًا ألا يكون ضوضاء عشوائية، بل ضوضاء فوضوية، مع جاذب كسري منخفض الأبعاد.

• نظرية تاكنز
• التكامل الارتباطي
• تحليل تحديد كمية التكرار
• الإنتروبيا التقريبية