الشبكة المتبادلة

الشبكة التبادلية هو مصطلح مرتبط بالأجسام الصلبة ذات التناظر الانتقالي ، وتلعب دورًا رئيسيًا في العديد من المجالات مثل الأشعة السينية وحيود الإلكترونات وكذلك طاقات الإلكترونات في الجسم الصلب. وهي تنشأ من تحويل فورييه للشبكة المرتبطة بترتيب الذرات. الشبكة المباشرة أو الشبكة الحقيقية هي دالة دورية في الفضاء الفيزيائي ، مثل نظام البلورات (عادةً شبكة برافيس ). توجد الشبكة التبادلية في الفضاء الرياضي للترددات المكانية ، والمعروف باسم الفضاء التبادلي أو فضاء k ، وهو ثنائي الفضاء الفيزيائي المعتبر كفضاء متجه، والشبكة التبادلية هي الشبكة الفرعية لذلك الفضاء المزدوج للشبكة المباشرة .

في فيزياء الكم ، يرتبط الفضاء المتبادل ارتباطًا وثيقًا بفضاء الزخم وفقًا للتناسب ، حيث هو متجه الزخم و هو ثابت بلانك المختزل . الشبكة المتبادلة للشبكة المتبادلة تعادل الشبكة المباشرة الأصلية، لأن المعادلات المحددة متناظرة فيما يتعلق بالمتجهات في الفضاء الحقيقي والمتبادل. رياضيًا، تمثل متجهات الشبكة المباشرة والمتبادلة متجهات متغيرة ومعاكسة ، على التوالي. ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \hbar }$

الشبكة المتبادلة هي مجموعة جميع المتجهات ، التي هي متجهات موجية للموجات المستوية في سلسلة فورييه لدالة مكانية تكون دورتها هي نفسها دورية الشبكة المباشرة . كل موجة مستوية في سلسلة فورييه هذه لها نفس الطور أو الأطوار التي تختلف بمضاعفات عند كل نقطة من الشبكة المباشرة (لذا فهي نفس الطور بشكل أساسي عند جميع نقاط الشبكة المباشرة). ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$

منطقة بريلوين هي خلية ويغنر-سيتز للشبكة المتبادلة.

توفر المساحة المتبادلة (وتسمى أيضًا مساحة k ) طريقة لتصور نتائج تحويل فورييه لدالة مكانية. وهي تشبه في دورها مجال التردد الناشئ عن تحويل فورييه لدالة تعتمد على الزمن؛ المساحة المتبادلة هي مساحة يتم تمثيل تحويل فورييه لدالة مكانية عليها عند ترددات مكانية أو متجهات موجية لموجات مستوية لتحويل فورييه. غالبًا ما يُشار إلى مجال الدالة المكانية نفسها باسم المساحة الحقيقية. في التطبيقات الفيزيائية، مثل علم البلورات، غالبًا ما تكون المساحة الحقيقية والمتبادلة ثنائية أو ثلاثية الأبعاد. في حين أن عدد الأبعاد المكانية لهاتين المساحتين المرتبطتين سيكون هو نفسه، ستختلف المساحات في بُعد كميتها، بحيث عندما يكون للمساحة الحقيقية طول البعد ( L )، فإن مساحتها المتبادلة سيكون لها طول عكسي، لذا L ⁻¹ (مقلوب الطول).

تلعب المساحة المتبادلة دورًا فيما يتعلق بالموجات، سواء كانت ميكانيكا كلاسيكية أو كمومية. ولأن الموجة المستوية الجيبية ذات السعة الوحدوية يمكن كتابتها كمصطلح تذبذبي ، مع طور أولي ورقم موجة زاوي وتردد زاوي ، فيمكن اعتبارها دالة لكل من و (والجزء المتغير مع الزمن كدالة لكل من و ). يؤدي هذا الدور التكميلي لـ و إلى تصورهما داخل فضاءات تكميلية (الفضاء الحقيقي والفضاء المتبادل). يتم تحديد الدورية المكانية لهذه الموجة بطول موجتها ، حيث ؛ وبالتالي فإن الرقم الموجي المقابل في الفضاء المتبادل سيكون .${\displaystyle \cos(kx-\omega t+\varphi _{0})}$ ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle t}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle k\lambda =2\pi }$${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

في ثلاثة أبعاد، يصبح مصطلح الموجة المستوية المقابل هو ، والذي يُبسط إلى في وقت ثابت ، حيث هو متجه الموضع لنقطة في الفضاء الحقيقي والآن هو متجه الموجة في الفضاء المتبادل ثلاثي الأبعاد. (يُطلق على مقدار متجه الموجة رقم الموجة.) الثابت هو طور واجهة الموجة (مستوى طور ثابت) عبر الأصل في الوقت ، وهو متجه وحدة عمودي على واجهة الموجة هذه. تتألف جبهات الموجة ذات الطور ، حيث يمثل أي عدد صحيح ، من مجموعة من المستويات المتوازية، متباعدة بالتساوي بواسطة الطول الموجي .${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi _{0})}$${\displaystyle \cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\varphi )}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {k} =2\pi \mathbf {e} /\lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbf {r} =0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \varphi +(2\pi )n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$

بشكل عام، الشبكة الهندسية هي مجموعة منتظمة لا نهائية من الرؤوس (النقاط) في الفضاء، والتي يمكن نمذجتها متجهيًا كشبكة برافيس . قد تكون بعض الشبكات مائلة، مما يعني أن خطوطها الأولية قد لا تكون بالضرورة بزوايا قائمة. في الفضاء المتبادل، تُعرَّف الشبكة المتبادلة بأنها مجموعة متجهات الموجة للموجات المستوية في سلسلة فورييه لأي دالة تكون دورتها متوافقة مع دورية شبكة مباشرة أولية في الفضاء الحقيقي. على نحو مكافئ، يكون متجه الموجة رأسًا للشبكة المتبادلة إذا كان يتوافق مع موجة مستوية في الفضاء الحقيقي تكون طورها في أي وقت معين هو نفسه (يختلف في الواقع بمقدار مع عدد صحيح ) عند كل رأس من رؤوس الشبكة المباشرة. ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle (2\pi )n}$${\displaystyle n}$

أحد الأساليب الاستكشافية لبناء الشبكة المتبادلة في ثلاثة أبعاد هو كتابة متجه الموضع لرأس الشبكة المباشرة على النحو التالي ، حيث أن هما أعداد صحيحة تحدد الرأس و هما متجهان بدائيان مستقلان خطيًا للترجمة (أو يُطلق عليهما باختصار متجهات بدائية) يتميزان بالشبكة. ثم توجد موجة مستوية فريدة (حتى عامل سالب واحد)، تحتوي مقدمتها الموجية التي تمر عبر الأصل على نقاط الشبكة المباشرة عند و ، ومع مقدمتها الموجية المجاورة (التي يختلف طورها عن أو عن مقدمتها الموجية السابقة التي تمر عبر الأصل) تمر عبر . يأخذ متجه الموجة الزاوي الشكل ، حيث أن متجه الوحدة عمودي على هاتين الجبهتين الموجيتين المجاورتين ويجب أن يفي الطول الموجي ، يعني أن يساوي المسافة بين الجبهتين الموجيتين. وبالتالي من خلال البناء و .${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {R} =0}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle -2\pi }$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=2\pi \mathbf {e} _{1}/\lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {b} _{1}=2\pi }$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {b} _{1}=\mathbf {a} _{3}\cdot \mathbf {b} _{1}=0}$

عند تدوير المؤشرات بدورها، تنتج نفس الطريقة ثلاثة متجهات موجية مع ، حيث تساوي دلتا كرونيكر واحدًا عندما و تساوي صفرًا بخلاف ذلك. تتألف من مجموعة من ثلاثة متجهات موجية بدائية أو ثلاثة متجهات ترجمة بدائية للشبكة المتبادلة، حيث تتخذ كل من رؤوسها الشكل ، حيث تكون أعدادًا صحيحة. الشبكة المتبادلة هي أيضًا شبكة برافيس لأنها تتكون من مجموعات صحيحة من المتجهات البدائية، وهي ، ، وفي هذه الحالة. ثم يوضح الجبر البسيط أنه بالنسبة لأي موجة مستوية مع متجه موجة على الشبكة المتبادلة، فإن التحول الطوري الكلي بين الأصل وأي نقطة على الشبكة المباشرة هو مضاعف (يمكن أن يكون صفرًا إذا كان المضاعف صفرًا)، وبالتالي فإن طور الموجة المستوية مع سيكون متساويًا بشكل أساسي لكل رأس من رؤوس الشبكة المباشرة، بما يتوافق مع تعريف الشبكة المتبادلة أعلاه. (على الرغم من أن أي متجه موجة على الشبكة المتبادلة يأخذ دائمًا هذا الشكل، فإن هذا الاستنتاج تحفيزي، وليس صارمًا، لأنه أغفل الدليل على عدم وجود أي احتمالات أخرى.) ${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle i=j}$${\displaystyle \mathbf {b} _{j}}$${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle m_{j}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {R} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {G} }$

منطقة بريلوين هي خلية بدائية (أو بالأحرى خلية ويغنر-سيتز ) للشبكة المتبادلة، والتي تلعب دورًا مهمًا في فيزياء الحالة الصلبة بسبب نظرية بلوخ . في الرياضيات البحتة ، توفر المساحة المزدوجة للأشكال الخطية والشبكة المزدوجة تعميمات أكثر تجريدًا للمساحة المتبادلة والشبكة المتبادلة.

بافتراض شبكة برافيس ثلاثية الأبعاد ووضع علامة على كل متجه شبكي (متجه يشير إلى نقطة شبكية) بالرمز السفلي كثلاثية من الأعداد الصحيحة، ${\displaystyle n=(n_{1},n_{2},n_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$أين${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} }$

حيث هي مجموعة الأعداد الصحيحة و هي متجه ترجمة بدائي أو متجه بدائي قصير. إذا أخذنا دالة حيث هي متجه موضع من الأصل إلى أي موضع، إذا اتبعت دورية هذه الشبكة، على سبيل المثال الدالة التي تصف الكثافة الإلكترونية في بلورة ذرية، فمن المفيد كتابتها على هيئة سلسلة فورييه متعددة الأبعاد${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=0}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=f\left(\mathbf {r} \right)}$

أين الآن المؤشر السفلي ، إذن هذا هو المجموع الثلاثي. ${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$

كما هو الحال مع دورية الشبكة، عند الترجمة بواسطة أي متجه شبكي نحصل على نفس القيمة، وبالتالي ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

${\displaystyle f(\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})=f(\mathbf {r} ).}$

وبتعبير آخر عما سبق من حيث سلسلة فورييه لدينا $${\displaystyle \sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} _{n})}=\sum _{m}f_{m}e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}\,e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {r} }.}$$

لأن مساواة سلسلتي فورييه تعني مساواة معاملاتهما، وهذا ينطبق فقط عندما ${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}=2\pi N}$أين${\displaystyle N\in \mathbb {Z} .}$

رياضيًا، الشبكة المعكوسة هي مجموعة جميع المتجهات ، التي هي متجهات موجية للموجات المستوية في سلسلة فورييه لدالة مكانية تكون دورتها هي نفسها دورية الشبكة المباشرة كمجموعة جميع متجهات موضع النقطة للشبكة المباشرة ، وتلبي هذه المساواة لجميع . كل موجة مستوية في سلسلة فورييه لها نفس الطور (يمكن أن تختلف في الواقع بمضاعفات ) عند جميع نقاط الشبكة . ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$

كما هو موضح في القسم سلسلة فورييه متعددة الأبعاد ، يمكن اختيارها في شكل حيث . بهذا الشكل، تكون الشبكة المعكوسة كمجموعة لجميع المتجهات الموجية لسلسلة فورييه لدالة مكانية تتبعها دورية ، هي نفسها شبكة برافيس لأنها تتكون من مجموعات صحيحة من متجهات الترجمة البدائية الخاصة بها ، ويكون مقلوب الشبكة المعكوسة هو الشبكة الأصلية، والتي تكشف عن ازدواجية بونترياجين لمساحات المتجهات الخاصة بها . (قد يكون هناك شكل آخر من . أي شكل صالح من النتائج في نفس الشبكة المعكوسة.) ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}}$

بالنسبة لشبكة ثنائية الأبعاد لا نهائية، يتم تحديدها بواسطة متجهاتها البدائية ، يمكن تحديد شبكتها العكسية عن طريق توليد متجهيها البدائيين العكسيين، من خلال الصيغ التالية، ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}}$

أين هو عدد صحيح و ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&=2\pi {\frac {-\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{-\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{2}}}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}{\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{1}}}\end{aligned}}}$

هنا يمثل مصفوفة دوران بزاوية 90 درجة ، أي دورة ربعية . يمكن استخدام الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة والدوران في اتجاه عقارب الساعة لتحديد الشبكة المتبادلة: إذا كان الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة و هو الدوران في اتجاه عقارب الساعة، لجميع المتجهات . وبالتالي، باستخدام التباديل${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {Q'} }$${\displaystyle \mathbf {Q} \,\mathbf {v} =-\mathbf {Q'} \,\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}}$

نحن نحصل

${\displaystyle \mathbf {b} _{n}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} \,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}=2\pi {\frac {\mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}{\mathbf {a} _{n}\cdot \mathbf {Q} '\,\mathbf {a} _{\sigma (n)}}}.}$

من الجدير بالذكر أنه في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تكون هذه الشبكة المتبادلة ثنائية الأبعاد عبارة عن مجموعة ممتدة بلا حدود من قضبان براج - كما وصفها سونغ وآخرون. ^[1]

بالنسبة لشبكة ثلاثية الأبعاد لا نهائية ، يتم تعريفها بواسطة متجهاتها البدائية وأسفل الأعداد الصحيحة ، يمكن تحديد شبكتها العكسية مع أسفل الأعداد الصحيحة عن طريق توليد متجهاتها البدائية العكسية الثلاثة حيث هو حاصل الضرب الثلاثي القياسي . ويتمثل اختيار هذه في تلبية الشرط المعروف (قد يكون هناك شرط آخر) لمتجهات الترجمة البدائية للشبكة العكسية المشتقة في النهج الاستدلالي أعلاه ومتسلسلة فورييه متعددة الأبعاد المقطعية . يلبي هذا الاختيار أيضًا متطلبات الشبكة العكسية المشتقة رياضيًا أعلاه. باستخدام تمثيل متجه العمود للمتجهات البدائية (العكسية)، يمكن إعادة كتابة الصيغ أعلاه باستخدام عكس المصفوفة : ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}=n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$${\displaystyle n=\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {G} _{m}=m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\\[8pt]\mathbf {b} _{2}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\\[8pt]\mathbf {b} _{3}&={\frac {2\pi }{V}}\ \mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V=\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)=\mathbf {a} _{2}\cdot \left(\mathbf {a} _{3}\times \mathbf {a} _{1}\right)=\mathbf {a} _{3}\cdot \left(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2}\right)}$$${\displaystyle \left(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \,\delta _{ij}}$${\displaystyle e^{i\mathbf {G} _{m}\cdot \mathbf {R} _{n}}=1}$

${\displaystyle \left[\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}\right]^{\mathsf {T}}=2\pi \left[\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}\right]^{-1}.}$

تعتمد هذه الطريقة على التعريف، وتسمح بالتعميم على أبعاد عشوائية. تهيمن صيغة الضرب المتقاطع على المواد التمهيدية في علم البلورات.

يُطلق على التعريف أعلاه تعريف "الفيزياء"، حيث يأتي عامل "البلورات" بشكل طبيعي من دراسة البنى الدورية. يأتي تعريف مكافئ بشكل أساسي، وهو تعريف "علم البلورات"، من تعريف الشبكة المتبادلة . التي تغير المتجهات البدائية المتبادلة لتصبح ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {G} _{m}/2\pi }$

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\frac {\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot \left(\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}\right)}}}$

وهكذا بالنسبة للمتجهات البدائية الأخرى. يتمتع تعريف عالم البلورات بميزة أن تعريف هو مجرد المقدار المتبادل لـ في اتجاه ، مع إسقاط عامل . يمكن أن يؤدي هذا إلى تبسيط بعض التلاعبات الرياضية، ويعبر عن أبعاد الشبكة المتبادلة بوحدات التردد المكاني . إنها مسألة ذوق أي تعريف للشبكة يتم استخدامه، طالما لم يتم خلط الاثنين. ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3}}$${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle m=(m_{1},m_{2},m_{3})}$يُكتب تقليديًا على هيئة أو ، ويُطلق عليه مؤشرات ميلر ؛ ويُستبدل بـ ، ويُستبدل بـ ، ويُستبدل بـ . تتوافق كل نقطة شبكية في الشبكة المتبادلة مع مجموعة من مستويات الشبكة في الشبكة الفضائية الحقيقية . (المستوى الشبكي هو مستوى يعبر نقاط الشبكة). يتوافق اتجاه متجه الشبكة المتبادل مع العمودي على مستويات الفضاء الحقيقي. يُعطى مقدار متجه الشبكة المتبادل بطول مقلوب ويساوي مقلوب التباعد بين المستويات الفضائية الحقيقية. ${\displaystyle (h,k,\ell )}$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{3}}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle (hk\ell )}$${\displaystyle \mathbf {K} _{m}}$

يمكن اشتقاق صيغة الأبعاد بافتراض وجود فضاء متجه حقيقي بلا أبعاد مع أساس وحاصل ضرب داخلي . يتم تحديد متجهات الشبكة المعكوسة بشكل فريد بواسطة الصيغة . باستخدام التباديل${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}$${\displaystyle g\colon V\times V\to \mathbf {R} }$${\displaystyle g(\mathbf {a} _{i},\mathbf {b} _{j})=2\pi \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\2&3&\cdots &1\end{pmatrix}},}$

يمكن تحديدها بالصيغة التالية:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}=2\pi {\frac {\varepsilon _{\sigma ^{1}i\ldots \sigma ^{n}i}}{\omega (\mathbf {a} _{1},\ldots ,\mathbf {a} _{n})}}g^{-1}(\mathbf {a} _{\sigma ^{n-1}i}\,\lrcorner \ldots \mathbf {a} _{\sigma ^{1}i}\,\lrcorner \,\omega )\in V}$

هنا، هو شكل الحجم ، وهو معكوس تماثل فضاء المتجه المحدد بواسطة ويشير إلى الضرب الداخلي . ${\displaystyle \omega \colon V^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle g^{-1}}$${\displaystyle {\hat {g}}\colon V\to V^{*}}$${\displaystyle {\hat {g}}(v)(w)=g(v,w)}$${\displaystyle \lrcorner }$

يمكن التحقق من أن هذه الصيغة تعادل الصيغ المعروفة للحالة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد باستخدام الحقائق التالية: في ثلاثة أبعاد، وفي بعدين ، حيث يكون الدوران بمقدار 90 درجة (تمامًا مثل شكل الحجم، تعتمد الزاوية المخصصة للدوران على اختيار الاتجاه ^[2] ). ${\displaystyle \omega (u,v,w)=g(u\times v,w)}$${\displaystyle \omega (v,w)=g(Rv,w)}$${\displaystyle R\in {\text{SO}}(2)\subset L(V,V)}$

الشبكات المتبادلة لنظام البلورات المكعبة هي كما يلي.

الشبكة المكعبة البسيطة لبرافيس ، ذات الخلية البدائية المكعبة من الجانب ، لها مقلوبها شبكة مكعبة بسيطة ذات خلية بدائية مكعبة من الجانب (أو حسب تعريف عالم البلورات). لذلك يقال إن الشبكة المكعبة ثنائية ذاتيًا، ولها نفس التناظر في الفضاء المتبادل كما هو الحال في الفضاء الحقيقي. ${\displaystyle a}$${\textstyle {\frac {2\pi }{a}}}$${\textstyle {\frac {1}{a}}}$

الشبكة المتبادلة لشبكة FCC هي الشبكة المكعبة ذات مركز الجسم (BCC)، مع جانب مكعب يبلغ . ${\textstyle {\frac {4\pi }{a}}}$

لنفترض وجود خلية وحدة مركبة FCC. حدد خلية وحدة بدائية لـ FCC؛ أي خلية وحدة ذات نقطة شبكية واحدة. الآن خذ إحدى رؤوس خلية الوحدة البدائية كنقطة أصل. أعط متجهات الأساس للشبكة الحقيقية. ثم من الصيغ المعروفة، يمكنك حساب متجهات الأساس للشبكة المعكوسة. تمثل متجهات الشبكة المعكوسة لـ FCC متجهات الأساس لشبكة BCC الحقيقية. تتشابه متجهات الأساس لشبكة BCC الحقيقية والشبكة المعكوسة لـ FCC في الاتجاه ولكن ليس في المقدار.

الشبكة المتبادلة لشبكة BCC هي شبكة FCC ، مع جانب مكعب يبلغ . ${\textstyle 4\pi /a}$

يمكن إثبات أن شبكات برافيس التي تحتوي على 90 درجة بين بعضها البعض (مكعب، رباعي الزوايا، معيني الشكل) فقط لها متجهات ترجمة بدائية للشبكة المتبادلة، ، موازية لمتجهاتها في الفضاء الحقيقي. ${\displaystyle \left(\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {a} _{3}\right)}$${\displaystyle \left(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\mathbf {b} _{3}\right)}$

المعكوس لشبكة برافيس السداسية البسيطة ذات الثوابت الشبكية و هو شبكة سداسية بسيطة أخرى ذات ثوابت شبكية و تدور بزاوية 90 درجة حول المحور c بالنسبة للشبكة المباشرة. لذلك يقال أن الشبكة السداسية البسيطة ثنائية ذاتيًا، ولها نفس التناظر في الفضاء المتبادل كما هو الحال في الفضاء الحقيقي. متجهات الترجمة البدائية لمتجهات شبكة برافيس السداسية البسيطة هذه هي ^[3]${\textstyle a}$${\textstyle c}$${\textstyle 2\pi /c}$${\textstyle 4\pi /(a{\sqrt {3}})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{2}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}a{\hat {x}}+{\frac {1}{2}}a{\hat {y}},\\[8pt]a_{3}&=c{\hat {z}}.\end{aligned}}}$$

يأتي أحد المسارات المؤدية إلى الشبكة المتبادلة لمجموعة عشوائية من الذرات من فكرة الموجات المنتشرة في حد فراونهوفر (المسافة الطويلة أو المستوى البؤري الخلفي للعدسة) كمجموع على غرار هويجنز للسعات من جميع نقاط التشتت (في هذه الحالة من كل ذرة فردية). ^[4] يُشار إلى هذا المجموع بالسعة المركبة في المعادلة أدناه، لأنه أيضًا تحويل فورييه (كدالة للتردد المكاني أو المسافة المتبادلة) لإمكانية التشتت الفعالة في الفضاء المباشر: ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}f_{j}\!\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{j}}.}$

هنا g = q /(2 π ) هو متجه التشتت q بوحدات علم البلورات، N هو عدد الذرات، f _j [ g ] هو عامل التشتت الذري للذرة j ومتجه التشتت g ، بينما r _j هو موضع متجه الذرة j . تعتمد مرحلة فورييه على اختيار الشخص لأصل الإحداثيات.

بالنسبة للحالة الخاصة للبلورة الدورية اللانهائية، فإن سعة التشتت F = M F _h,k,ℓ من M خلية وحدة (كما في الحالات أعلاه) يتبين أنها غير صفرية فقط للقيم الصحيحة لـ ، حيث ${\displaystyle (h,k,\ell )}$

${\displaystyle F_{h,k,\ell }=\sum _{j=1}^{m}f_{j}\left[g_{h,k,\ell }\right]e^{2\pi i\left(hu_{j}+kv_{j}+\ell w_{j}\right)}}$

عندما يكون هناك j  = 1، m ذرة داخل الخلية الوحدوية التي تكون مؤشرات الشبكة الكسرية الخاصة بها على التوالي { u _j ، v _j ، w _j }. للنظر في التأثيرات الناجمة عن حجم البلورة المحدود، بالطبع، يجب استخدام التفاف الشكل لكل نقطة أو المعادلة أعلاه لشبكة محدودة بدلاً من ذلك.

سواء كانت مجموعة الذرات محدودة أو غير محدودة، يمكننا أيضًا أن نتخيل "شبكة متبادلة الشدة" I[ g ]، والتي ترتبط بشبكة السعة F عبر العلاقة المعتادة I = F ^* F حيث F ^* هو المرافق المركب لـ F. نظرًا لأن تحويل فورييه قابل للعكس، فمن الطبيعي أن يؤدي هذا الفعل من التحويل إلى الشدة إلى إخراج "كل المعلومات باستثناء اللحظة الثانية" (أي الطور). في حالة وجود مجموعة عشوائية من الذرات، تكون شبكة متبادلة الشدة هي:

${\displaystyle I[{\vec {g}}]=\sum _{j=1}^{N}\sum _{k=1}^{N}f_{j}\left[{\vec {g}}\right]f_{k}\left[{\vec {g}}\right]e^{2\pi i{\vec {g}}\cdot {\vec {r}}_{\!\!\;jk}}.}$

هنا r _jk هو الفصل المتجهي بين الذرة j والذرة k . يمكن للمرء أيضًا استخدام هذا للتنبؤ بتأثير شكل البلورة النانوية والتغيرات الدقيقة في اتجاه الشعاع على قمم الحيود المكتشفة حتى لو كانت المجموعة في بعض الاتجاهات بسمك ذرة واحدة فقط. على الجانب السلبي، فإن حسابات التشتت باستخدام الشبكة المتبادلة تأخذ في الاعتبار بشكل أساسي موجة مستوية واردة. وبالتالي، بعد إلقاء نظرة أولى على تأثيرات الشبكة المتبادلة (التشتت الحركي)، قد يكون من المهم أيضًا مراعاة توسيع الشعاع وتأثيرات التشتت المتعددة (أي الديناميكية ).

هناك في الواقع نسختان في الرياضيات لمفهوم الشبكة المزدوجة المجردة، لشبكة معينة L في فضاء متجه حقيقي V ، ذو بعد محدود .

الأول، الذي يعمم بشكل مباشر بناء الشبكة المتبادلة، يستخدم تحليل فورييه . ويمكن صياغته ببساطة من حيث ثنائية بونترياجين . المجموعة المزدوجة V ^ إلى V هي مرة أخرى فضاء متجه حقيقي، ومجموعتها الفرعية المغلقة L ^ المزدوجة إلى L تبين أنها شبكة في V ^. وبالتالي، فإن L ^ هو المرشح الطبيعي للشبكة المزدوجة ، في فضاء متجه مختلف (من نفس البعد).

الجانب الآخر يُرى في وجود الشكل التربيعي Q على V ؛ إذا كان غير متحلل فإنه يسمح بتحديد الفضاء المزدوج V ^* لـ V مع V. العلاقة بين V ^* و V ليست جوهرية؛ فهي تعتمد على اختيار مقياس Haar (عنصر الحجم) على V. ولكن بالنظر إلى تحديد الاثنين، والذي يكون في كل الأحوال محددًا جيدًا حتى مقياس قياسي ، فإن وجود Q يسمح للمرء بالتحدث إلى الشبكة المزدوجة إلى L مع البقاء داخل V.

في الرياضيات، الشبكة المزدوجة لشبكة معينة L في المجموعة الطوبولوجية المدمجة محليًا أبيلية G هي المجموعة الفرعية L ^∗ للمجموعة المزدوجة لـ G والتي تتكون من جميع الأحرف المستمرة التي تساوي واحدًا في كل نقطة من L.

في الرياضيات المنفصلة ، ​​الشبكة هي مجموعة من النقاط المنفصلة محليًا والتي يتم وصفها بواسطة جميع التركيبات الخطية المتكاملة لمتجهات مستقلة خطيًا dim = n في R ⁿ . يتم تعريف الشبكة المزدوجة بعد ذلك من خلال جميع النقاط في الامتداد الخطي للشبكة الأصلية (عادةً جميع R ⁿ ) مع الخاصية التي ينتج عنها عدد صحيح من الضرب الداخلي مع جميع عناصر الشبكة الأصلية. ويترتب على ذلك أن الشبكة المزدوجة هي الشبكة الأصلية.

علاوة على ذلك، إذا سمحنا للمصفوفة B أن تحتوي على أعمدة كمتجهات مستقلة خطيًا تصف الشبكة، فإن المصفوفة تحتوي على أعمدة من المتجهات التي تصف الشبكة المزدوجة. ${\displaystyle A=B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}}$

• منطقة بريلوين  – خلية بدائية في الشبكة الفراغية المتبادلة للبلورات
• علم البلورات  – الدراسة العلمية للهياكل البلورية
• الأساس المزدوج  – مفهوم الجبر الخطي
• كرة إيفالد  – الحفاظ على الطاقة أثناء الانعراج بواسطة الذرات
• خط كيكوتشي (فيزياء الحالة الصلبة)  - الأنماط المتكونة من التشتتPages displaying short descriptions of redirect targets
• مؤشر ميلر  – نظام تدوين لمستويات الشبكة البلورية
• حيود المسحوق  – طريقة تجريبية في حيود الأشعة السينية
• محور المنطقة  - اتجاه التناظر العالي للبلورة

• يسمح لك محاكي حيود الإلكترون المستند إلى Jmol باستكشاف التقاطع بين الشبكة المتبادلة وكرة Ewald أثناء الميل.
• حزمة تعليم وتعلم DoITPoMS حول الفضاء المتبادل والشبكة المتبادلة
• تعلم علم البلورات بسهولة وكيف تفسر الشبكة التبادلية ظاهرة الانعراج، كما هو موضح في الفصلين 4 و5