المصفوفة القابلة للعكس

الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، المصفوفة القابلة للعكس ( غير المنفردة ، وغير المنحلة، والمنتظمة ) هي مصفوفة مربعة لها معكوس . بعبارة أخرى، إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس، فيمكن ضربها بمصفوفة معكوسها للحصول على مصفوفة الوحدة . المصفوفات القابلة للعكس لها نفس حجم معكوسها.

يمثل معكوس المصفوفة العملية العكسية، بمعنى أنه إذا تم تطبيق مصفوفة على متجه معين، متبوعًا بتطبيق معكوس المصفوفة، فإن النتيجة هي المتجه الأصلي.

تعريف

تُسمى المصفوفة المربعة A من الرتبة n × n قابلة للعكس إذا وُجدت مصفوفة مربعة B من الرتبة n × n بحيثأب=بأ=أنان،{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},}حيث يرمز I <sub> n</sub> إلى مصفوفة الوحدة من الرتبة n× n ، والضرب المستخدم هو ضرب المصفوفات العادي . [ 1 ] في هذه الحالة، تُحدد المصفوفة B بشكل فريد بواسطة A ، وتُسمى معكوس A ، ويُرمز لها بـ A <sup> -1 </sup> . معكوس المصفوفة هو عملية إيجاد المصفوفة التي عند ضربها بالمصفوفة الأصلية تُعطي مصفوفة الوحدة. [ 2 ]

الفكرة الأساسية

يمكن اعتبار المصفوفة بمثابة قاعدة لتحويل المتجهات. على سبيل المثال، عدد حقيقي ن×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفةأ{\displaystyle A}يُعرّف التحويل الخطي

x↦أx{\displaystyle x\mapsto Ax}

من المجموعةRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}لن{\displaystyle n}تُحوّل المصفوفة إلى نفسها باستخدام تحويل خطي. تكون المصفوفة قابلة للعكس عندما يمكن عكس هذا التحويل بتحويل خطي آخر. في هذه الحالة، توجد مصفوفةأ-1{\displaystyle A^{-1}}بحيث يتم تطبيقأ{\displaystyle A}وثمأ-1{\displaystyle A^{-1}}أو تطبيقأ-1{\displaystyle A^{-1}}وثمأ{\displaystyle A}، يعيد كل متجه إلى نقطة بدايته.

هندسيًا، لا تُختزل المصفوفة القابلة للعكس الفضاء إلى مجموعة ذات أبعاد أقل. فهي تُرسل متجهات مختلفة إلى متجهات مختلفة، وتصل إلى كل متجه في الفضاء المستهدف. بالنسبة للمصفوفة الحقيقية، ينعكس هذا في مُحدِّدها: فالمصفوفة القابلة للعكس لها مُحدِّد غير صفري، بينما المصفوفة ذات المُحدِّد الصفري تُختزل الحجم إلى الصفر، وبالتالي فهي غير قابلة للعكس.

جبرياً، تعني قابلية الانعكاس أن النظام الخطي

أx=ب{\displaystyle Ax=b}

لديه حل فريدx{\displaystyle x}لكل متجهب{\displaystyle b}أو بعبارة أخرى، أعمدةأ{\displaystyle A}تشكل هذه الخصائص، بالإضافة إلى العديد من الخصائص المكافئة الأخرى، أساسًا للفضاء المتجهي. وتلخص نظرية المصفوفة القابلة للعكس هذه الخصائص والعديد من الخصائص المكافئة الأخرى .

أمثلة

لنفترض المصفوفة التالية ذات الأبعاد 2×2:

أ=(-1321-1){\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}

المصفوفةأ{\displaystyle \mathbf {A} }هي قابلة للعكس، لأن لها معكوسًاب=(2322)،{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}},}ويمكن تأكيد ذلك عن طريق الحساب

أب=(-1321-1)(2322)=((-1)×2+32×2(-1)×3+32×21×2+(-1)×21×3+(-1)×2)=(1001)=أنا2{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-1)\times 2+{\tfrac {3}{2}}\times 2&(-1)\times 3+{\tfrac {3}{2}}\times 2\\1\times 2+(-1)\times 2&1\times 3+(-1)\times 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {I} _{2}}

للتأكد من قابلية العملية للعكس دون إيجاد معكوسها،المحققأ=-12{\textstyle \det \mathbf {A} =-{\frac {1}{2}}}يمكن حسابها، وهي قيمة غير صفرية.

من ناحية أخرى، هذه مصفوفة غير قابلة للعكس:

ج=(2424){\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}}

هذه المصفوفة غير قابلة للعكس، لأن المتجهات المختلفةx{\displaystyle x}وx′{\displaystyle x'}لها نفس القيمةجx{\displaystyle \mathbf {C} x}، على سبيل المثال،x=[2-1]{\displaystyle x={\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}}وx′=[00]{\displaystyle x'={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}كلاهما يعطيجx=[00]{\displaystyle \mathbf {C} x={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}لذلك يستحيل عكس هذا التحولx↦جx{\displaystyle x\mapsto \mathbf {C} x}لأن المدخلات المختلفة تنتج نفس المخرجات. محددج{\displaystyle \mathbf {C} }وهي 0، وهو شرط ضروري وكافٍ لكي تكون المصفوفة غير قابلة للعكس.

معايير قابلية الانعكاس

مصفوفةأ{\displaystyle \mathbf {A} }تكون الدالة (على حقل مثل الأعداد الحقيقية) قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان الحل الوحيد للمعادلةأx=0{\displaystyle \mathbf {A} x=0}هو المتجه الصفري. أي أن انعدامأ{\displaystyle \mathbf {A} }يساوي صفرًا: يتكون فضاءه الصفري من المتجه الصفري فقط. أو بعبارة أخرى،ن×ن{\displaystyle n\times n}تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا كانت رتبتهان{\displaystyle n}، وفقًا لنظرية الرتبة والفراغ . يُقال إن هذه المصفوفة ذات رتبة كاملة. هندسيًا، هذا يعني أن فضاء الأعمدة لـأ{\displaystyle \mathbf {A} }هو كل شيءRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}ترتبط خصائص الرتبة والفراغ بالطريقة التالية: تعني الرتبة الكاملة أن المصفوفة تُسقط على جميع عناصرها.Rن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(بشكل شامل)، وكونها صفرية يعني أن المصفوفة أحادية . أي أنها تقابل ، وبالتالي قابلة للعكس.

يُستمد معيار حسابي أكثر دقة لتحديد قابلية عكس المصفوفة من الطريقة القياسية لتحديد رتبة المصفوفة وفراغها. بالنسبة للمصفوفة المربعة، تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان شكلها المختزل صفياً هو مصفوفة الوحدة. والسبب هو أن هذه هي مصفوفة الصفوف المختزلة الوحيدة ذات الرتبة الكاملة: جميع عناصر القطر الرئيسي تساوي واحدًا، وباقي العناصر أصفار.

ومن المعايير الأخرى أن المصفوفة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها غير صفري.

طرق عكس المصفوفة

توجد طرق عديدة لحساب المصفوفة العكسية، إن وُجدت. إحدى الطرق الأساسية هي استخدام طريقة الحذف الغاوسي ، على سبيل المثال. وتعتمد هذه الطريقة على النظر في المصفوفة العكسية.أ-1{\displaystyle A^{-1}}كحاصل ضرب المصفوفات الأولية ،أ-1=هـكهـك-1...هـ1{\displaystyle A^{-1}=E_{k}E_{k-1}\dots E_{1}}حيثهـأنا{\displaystyle E_{i}}هي المصفوفات الأولية المقابلة لعمليات الصف الأولية اللازمة لوضعأ{\displaystyle A}إن تحويل المصفوفة إلى شكل إيشلوني ​​مختزل الصفوف هو طريقة فعّالة. تتميز هذه الطريقة بأنها تُنتج شكل إيشلوني ​​مختزل الصفوف بغض النظر عن قابلية الانعكاس، وبالتالي تُعطي معيارًا لتحديد ما إذا كانت المصفوفة قابلة للانعكاس، وهو غالبًا ما يكون أكثر كفاءة من حساب المحدد: تكون المصفوفة قابلة للانعكاس إذا وفقط إذا كان شكلها الإيكلوني في نهاية العملية هو مصفوفة الوحدة وليس مصفوفة ذات رتبة أقل.

لتحويل هذه الطريقة إلى طريقة عملية لتحديد المصفوفة، تُستخدم مصفوفة مُوسَّعة يكون جانبها الأيسر هو المصفوفة المراد عكسها، وجانبها الأيمن هو مصفوفة الوحدة . ثم تُستخدم طريقة الحذف الغاوسي لتحويل الجانب الأيسر إلى مصفوفة الوحدة، مما يجعل الجانب الأيمن معكوس مصفوفة الإدخال.

على سبيل المثال، خذ المصفوفة التالية:أ=(-1321-1){\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}}

تتمثل الخطوة الأولى لحساب معكوسها في إنشاء المصفوفة الموسعة(-132101-101){\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\!\!\right)}

لنسمي الصف الأول من هذه المصفوفةR1{\displaystyle R_{1}}والصف الثانيR2{\displaystyle R_{2}}ثم أضف الصف 1 إلى الصف 2(R1+R2→R2).{\displaystyle (R_{1}+R_{2}\to R_{2}).}وهذا ينتج عنه(-1321001211){\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}

بعد ذلك، اطرح الصف الثاني مضروبًا في 3 من الصف الأول(R1-3R2→R1)،{\displaystyle (R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),}مما ينتج عنه(-10-2-301211){\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\!\!\right)}

وأخيرًا، اضرب الصف الأول في -1(-R1→R1){\displaystyle (-R_{1}\to R_{1})}والصف الثاني في الصف الثاني(2R2→R2).{\displaystyle (2\,R_{2}\to R_{2}).}ينتج عن ذلك مصفوفة الوحدة على الجانب الأيسر والمصفوفة العكسية على الجانب الأيمن:(10230122){\displaystyle \left(\!\!{\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\!\!\right)}

هكذا،أ-1=(2322){\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}} تنجح هذه الطريقة لأن عملية الحذف الغاوسي يمكن اعتبارها سلسلة من عمليات ضرب المصفوفات من اليسار باستخدام عمليات الصفوف الأولية باستخدام المصفوفات الأولية (هـن{\displaystyle \mathbf {E} _{n}})، مثلهـنهـن-1⋯هـ2هـ1أ=أنا{\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }

تطبيق الضرب من اليمين باستخدامأ-1،{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1},}نحصلهـنهـن-1⋯هـ2هـ1أنا=أناأ-1.{\displaystyle \mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.}والجانب الأيمنأناأ-1=أ-1،{\displaystyle \mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},}وهذا هو العكس الذي نريده.

ملكيات

التفرد

في حقل ما ، تُسمى المصفوفة المربعة غير القابلة للعكس مصفوفة شاذة أو متدهورة . وتكون المصفوفة المربعة التي عناصرها تنتمي إلى حقل ما شاذة إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفرًا.

نظرية المصفوفة القابلة للعكس

لتكن A مصفوفة مربعة من الرتبة n × n على حقل K (على سبيل المثال، الحقل ⁠R{\displaystyle \mathbb {R} }( من الأعداد الحقيقية). العبارات التالية متكافئة، أي أنها إما كلها صحيحة أو كلها خاطئة لأي مصفوفة معطاة: [ 3 ]

  • المصفوفة A قابلة للعكس، أي أن لها معكوسًا تحت عملية ضرب المصفوفات، أي أنه يوجد عنصر B بحيث يكون AB = I n = BA . (في هذه العبارة، يمكن استبدال كلمة "قابلة للعكس" بـ "قابلة للعكس من اليسار" أو "قابلة للعكس من اليمين" حيث يتم النظر في المعكوسات أحادية الجانب).
  • التحويل الخطي الذي يربط x بـ Ax قابل للعكس، أي أن له معكوسًا تحت تركيب الدوال. (ويمكن استبدال كلمة "قابل للعكس" هنا أيضًا بـ "قابل للعكس من اليسار" أو "قابل للعكس من اليمين").
  • المصفوفة المنقولة A T هي مصفوفة قابلة للعكس.
  • A مكافئ صفياً لمصفوفة الوحدة I n من الرتبة n × n .
  • A مكافئ عمودياً لمصفوفة الوحدة I n .​​​
  • يحتوي A على n من مواقع الارتكاز .
  • A لها رتبة كاملة : رتبة A = n .
  • A لها نواة تافهة : ker( A ) = { 0 }.
  • التحويل الخطي الذي يربط x بـ Ax هو تحويل تقابلي؛ أي أن المعادلة Ax = b لها حل واحد فقط لكل b في K n . (هنا، يمكن استبدال "التقابلي" بـ " الحقني " أو " الشمولي " بشكل مكافئ).
  • تشكل أعمدة المصفوفة A أساسًا للمجموعة K n . (في هذه العبارة، يمكن استبدال كلمة "أساس" بـ "مجموعة مستقلة خطيًا" أو "مجموعة مولدة").
  • تشكل صفوف المصفوفة A أساسًا للمجموعة K n . (وبالمثل، يمكن استبدال كلمة "أساس" هنا بـ "مجموعة مستقلة خطيًا" أو "مجموعة مولدة").
  • محدد المصفوفة A غير صفري: det A ≠ 0. بشكل عام، تكون المصفوفة المربعة فوق حلقة تبديلية قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان محددها عنصرًا محايدًا (أي عنصرًا قابلًا للعكس ضربيًا ) لتلك الحلقة.
  • العدد صفر ليس قيمة ذاتية للمصفوفة A. (بشكل أعم، عددλ{\displaystyle \lambda }تكون قيمة ذاتية للمصفوفة A إذا كانت المصفوفةأ-λأنا{\displaystyle \mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} }(مفردة، حيث I هي مصفوفة الوحدة.)
  • يمكن التعبير عن المصفوفة A كحاصل ضرب محدود للمصفوفات الأولية .

خصائص أخرى

علاوة على ذلك، تنطبق الخصائص التالية على المصفوفة القابلة للعكس A :

  • (أ-1)-1=أ{\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A} }
  • (كأ)-1=ك-1أ-1{\displaystyle (k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}بالنسبة للعدد القياسي غير الصفري k
  • (أx)+=x+أ-1{\displaystyle (\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}}إذا كانت المصفوفة A تحتوي على أعمدة متعامدة، حيث يرمز + إلى معكوس مور-بنروز و x متجه
  • (أتي)-1=(أ-1)تي{\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }}
  • لأي مصفوفتين قابلتين للعكس من الرتبة n × n، A و B ،(أب)-1=ب-1أ-1.{\displaystyle (\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.}وبشكل أعم، إذاأ1،...،أك{\displaystyle \mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}}إذا كانت المصفوفات قابلة للعكس من الرتبة n × n ، فإن(أ1أ2⋯أك-1أك)-1=أك-1أك-1-1⋯أ2-1أ1-1.{\displaystyle (\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.}
  • المحققأ-1=(المحققأ)-1.{\displaystyle \det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.}
  • المعكوسان الأيسر والأيمن متساويان. أي، إذالأ=أنا{\displaystyle \mathbf {LA} =\mathbf {I} }وأR=أنا{\displaystyle \mathbf {AR} =\mathbf {I} }ثمل=ل(أR)=(لأ)R=R{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} (\mathbf {AR} )=(\mathbf {LA} )\mathbf {R} =\mathbf {R} }.

صفوف المصفوفة العكسية V للمصفوفة U متعامدة مع أعمدة U (والعكس صحيح، حيث يتم تبديل الصفوف بالأعمدة). لتوضيح ذلك، لنفترض أن UV = VU = I حيث يُرمز إلى صفوف V بـvأناتي{\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }}وأعمدة U كماuج{\displaystyle u_{j}}ل1≤أنا،ج≤ن.{\displaystyle 1\leq i,j\leq n.}ومن الواضح إذن أن الجداء الداخلي الإقليدي لأي اثنينvأناتيuج=دلتاأنا،ج.{\displaystyle v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.}يمكن أن تكون هذه الخاصية مفيدة أيضًا في بناء معكوس المصفوفة المربعة في بعض الحالات، حيث تكون مجموعة من المتجهات المتعامدة ( ولكن ليس بالضرورة المتجهات المتعامدة المعيارية) لأعمدة المصفوفة U معروفة. في هذه الحالة، يمكن تطبيق عملية غرام-شميدت التكرارية على هذه المجموعة الأولية لتحديد صفوف المعكوس V.

المصفوفة التي هي معكوسها الخاص (أي المصفوفة A بحيث A = A −1 وبالتالي A 2 = I ) تسمى مصفوفة انعكاسية .

فيما يتعلق بمرافقه

المصفوفة المرافقة للمصفوفة A هي مصفوفةصفة⁡(أ){\displaystyle \operatorname {adj} (A)}وهي موجودة بشكل مستقل عن قابلية عكس A. وهي تحقق المتطابقة صفة⁡(أ)أ=أصفة⁡(أ)=المحقق(أ)أنا.{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )I.} على وجه الخصوص، إذا كانت المصفوفة A قابلة للعكس، فإن

أ-1=1المحقق(أ)صفة⁡(أ){\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}

فيما يتعلق بمصفوفة الوحدة

يترتب على خاصية التجميع في ضرب المصفوفات أنه إذا

أب=أنا {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {I} \ }

بالنسبة للمصفوفات المربعة المحدودة A و B ، فإن

بأ=أنا {\displaystyle \mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }[ 4 ]

لا تنطبق هذه المتطابقة على المصفوفات المستطيلة غير المربعة، ولا يلزم أن تكون صحيحة بالنسبة للمؤثرات الخطية في الأبعاد اللانهائية.

كثافة

في حقل الأعداد الحقيقية، تُعتبر مجموعة المصفوفات المفردة من الرتبة n × n مجموعة جزئية منRن×ن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n},}هي مجموعة فارغة ، أي أن قياسها في ليبيغ يساوي صفرًا. وهذا صحيح لأن المصفوفات المنفردة هي جذور دالة المحدد . وهي دالة متصلة لأنها متعددة حدود في عناصر المصفوفة. وبالتالي، بلغة نظرية القياس ، فإن جميع المصفوفات تقريبًا من الرتبة n × n قابلة للعكس.

علاوة على ذلك، فإن مجموعة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n مفتوحة وكثيفة في الفضاء الطوبولوجي لجميع المصفوفات من الرتبة n × n . وبالمثل، فإن مجموعة المصفوفات الشاذة مغلقة وغير كثيفة في أي مكان في فضاء المصفوفات من الرتبة n × n .

لكن عملياً، قد تُصادف مصفوفات غير قابلة للعكس. في الحسابات العددية ، قد تظل المصفوفات القابلة للعكس ولكنها قريبة من مصفوفة غير قابلة للعكس إشكالية، ويُقال إنها سيئة التكييف .

مشتقة معكوس المصفوفة

لنفترض أن المصفوفة القابلة للعكس A تعتمد على المعامل t . عندئذٍ، تُعطى مشتقة معكوس A بالنسبة إلى t بواسطة [ 5 ].

ددتأ-1=-أ-1دأدتأ-1{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}}

لاستنتاج التعبير أعلاه لمشتقة معكوس المصفوفة A ، يمكن اشتقاق تعريف معكوس المصفوفةأ-1أ=أنا{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I} }باستخدام قاعدة الضرب ، ثم قم بحل مشتقة معكوس A :

0=دأنادت=د(أ-1أ)دت=د(أ-1)دتأ+أ-1دأدت{\displaystyle \mathbf {0} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1})}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}

الطرحأ-1دأدت{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}}من كلا طرفي هذه الصيغة، والضرب في الطرف الأيمن بـأ-1{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}ينهي عملية الاشتقاق.

لوε{\displaystyle \varepsilon }إذا كان العدد صغيرًا، فإن صيغة المشتقة تعطي:

(أ+εX)-1=أ-1-εأ-1Xأ-1+يا(ε2){\displaystyle \left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,}

بافتراض عدد صحيح موجبن{\displaystyle n}،

ددتأن=∑أنا=1نأأنا-1دأدتأن-أنا،ددتأ-ن=-∑أنا=1نأ-أنادأدتأ-(ن+1-أنا){\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-n}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}\end{aligned}}}

بخاصة،

(أ+εX)ن=أن+ε∑أنا=1نأأنا-1Xأن-أنا+يا(ε2)،(أ+εX)-ن=أ-ن-ε∑أنا=1نأ-أناXأ-(ن+1-أنا)+يا(ε2){\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right)\end{aligned}}}

التعميمات

المصفوفات غير المربعة

المصفوفات غير المربعة، أي المصفوفات من الرتبة m × n حيث m ≠ n ، ليس لها معكوس. مع ذلك، في بعض الحالات، قد يكون لهذه المصفوفة معكوس أيسر أو معكوس أيمن . إذا كانت A من الرتبة m × n ورتبتها تساوي n (حيث n ≤ m )، فإن A لها معكوس أيسر، وهو مصفوفة B من الرتبة n × m بحيث يكون BA = I<sub> n </sub> . أما إذا كانت رتبة A تساوي m ( حيث m ≤ n )، فإن لها معكوس أيمن، وهو مصفوفة B من الرتبة n × m بحيث يكون AB = I<sub> m</sub> .

تتشابه بعض خصائص المصفوفات العكسية مع خصائص المعكوسات المعممة (مثل معكوس مور-بنروز )، والتي يمكن تعريفها لأي مصفوفة من الرتبة m × n . [ 6 ]

في الجبر المجرد

على الرغم من أن الحالة الأكثر شيوعًا هي حالة المصفوفات على الأعداد الحقيقية أو المركبة ، إلا أنه يمكن تطبيق جميع هذه التعريفات على المصفوفات على أي بنية جبرية مزودة بعمليتي الجمع والضرب ( أي الحلقات ) . مع ذلك، في حالة كون الحلقة تبديلية ، فإن شرط قابلية عكس المصفوفة المربعة هو أن يكون محددها قابلاً للعكس في الحلقة، وهو شرط أكثر صرامة بشكل عام من كونه غير صفري. أما بالنسبة للحلقات غير التبديلية ، فإن المحدد المعتاد غير مُعرَّف. وتكون شروط وجود المعكوس الأيسر أو المعكوس الأيمن أكثر تعقيدًا، نظرًا لعدم وجود مفهوم للرتبة في الحلقات.

تشكل مجموعة المصفوفات القابلة للعكس من الدرجة n × n مع عملية ضرب المصفوفات والعناصر من الحلقة R مجموعة ، وهي المجموعة الخطية العامة من الدرجة n ، ويرمز لها بـ GL n ( R ) .

التطبيقات

بالنسبة لمعظم التطبيقات العملية، ليس من الضروري عكس المصفوفة لحل نظام المعادلات الخطية ؛ ومع ذلك، من أجل الحصول على حل فريد، من الضروري أن تكون المصفوفة المعنية قابلة للعكس.

تُعد تقنيات التفكيك مثل تفكيك LU أسرع بكثير من الانعكاس، كما تم تطوير العديد من الخوارزميات السريعة لفئات خاصة من الأنظمة الخطية.

الانحدار/المربعات الصغرى

على الرغم من أن المعكوس الصريح ليس ضروريًا لتقدير متجه المجاهيل، إلا أنه أسهل طريقة لتقدير دقتها، ويُوجد في قطر معكوس المصفوفة (مصفوفة التغاير اللاحقة لمتجه المجاهيل). مع ذلك، توجد في كثير من الحالات خوارزميات أسرع لحساب عناصر القطر فقط لمعكوس المصفوفة. [ 7 ]

معكوسات المصفوفات في عمليات المحاكاة في الوقت الحقيقي

يلعب عكس المصفوفة دورًا هامًا في رسومات الحاسوب ، وخاصة في عرض الرسومات ثلاثية الأبعاد والمحاكاة ثلاثية الأبعاد . وتشمل الأمثلة إسقاط الأشعة من الشاشة إلى العالم ، وتحويلات الأجسام من العالم إلى الفضاء الفرعي ثم العودة إلى العالم، والمحاكاة الفيزيائية.

معكوسات المصفوفة في الاتصالات اللاسلكية MIMO

يلعب عكس المصفوفة دورًا هامًا في تقنية MIMO (متعددة المدخلات والمخرجات) في الاتصالات اللاسلكية . يتكون نظام MIMO من N هوائي إرسال و M هوائي استقبال. تُرسل إشارات فريدة، تشغل نفس نطاق التردد ، عبر N هوائي إرسال وتُستقبل عبر M هوائي استقبال. ستكون الإشارة الواصلة إلى كل هوائي استقبال عبارة عن توليفة خطية من الإشارات المرسلة N، مُشكلةً مصفوفة إرسال H بحجم N  × M. من الضروري أن تكون المصفوفة H قابلة للعكس حتى يتمكن جهاز الاستقبال من استخلاص المعلومات المرسلة. [ 8 ] 

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أكسلر، شيلدون (18 ديسمبر 2014). الجبر الخطي بأسلوب صحيح . نصوص جامعية في الرياضيات (  الطبعة الثالثة). دار نشر سبرينغر (نُشرت عام 2015). ص  296. ISBN 978-3-319-11079-0.
  2. ↑ جيه-إس روجر جانغ (مارس 2001). "معكوس المصفوفة في شكل كتلة" .
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "نظرية المصفوفة القابلة للعكس" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-09-08 .
  4. ↑ هورن، روجر أ.؛ جونسون، تشارلز ر. (1985). تحليل المصفوفات . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 14. ISBN  978-0-521-38632-6..
  5. ↑ ماغنوس، جان ر.؛ نيوديكر، هاينز (1999). حساب التفاضل والتكامل المصفوفي : مع تطبيقات في الإحصاء والاقتصاد القياسي ( طبعة منقحة). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص 151-152 . ISBN    0-471-98633-X.
  6. ↑ رومان، ستيفن (2008)، الجبر الخطي المتقدم ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ( الطبعة الثالثة)، سبرينغر، ص 446، ISBN   978-0-387-72828-5.
  7. ↑ لين، لين؛ لو، جيانفينغ؛ يينغ، ليكسينغ؛ كار، روبرتو؛ إي، وينان (2009). "خوارزمية سريعة لاستخراج قطر المصفوفة العكسية مع تطبيق على تحليل البنية الإلكترونية للأنظمة المعدنية" . مجلة الاتصالات في العلوم الرياضية . 7 (3): 755-777 . doi : 10.4310/CMS.2009.v7.n3.a12 .
  8. ↑ ألبريم، م.؛ جونتي، م.؛ شهاب الدين، س. (يناير 2020). "تهيئة فعّالة لكاشفات MIMO الضخمة الخطية التكرارية باستخدام مصفوفة متدرجة". رسائل الإلكترونيات . 56 (1): 50-52 . Bibcode : 2020ElL....56...50A . doi : 10.1049/el.2019.2938 .

للمزيد من القراءة