نظرية الرتبة والعدم

يترك${\displaystyle T:V\to W}$ليكن تحويلاً خطياً بين فضاءين متجهين حيث${\displaystyle T}$نطاق${\displaystyle V}$إذا كانت ذات أبعاد محدودة. $${\displaystyle \operatorname {rank} (T)~+~\operatorname {nullity} (T)~=~\dim V,}$$ أين${\textstyle \operatorname {rank} (T)}$هي رتبة​${\displaystyle T}$( أبعاد صورتها ) و${\displaystyle \operatorname {nullity} (T)}$هو العدم​${\displaystyle T}$(بعد نواتها ) . بعبارة أخرى، $${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} T)+\dim(\operatorname {Ker} T)=\dim(\operatorname {Domain} (T)).}$$ يمكن تحسين هذه النظرية عبر مبرهنة التقسيم لتصبح بيانًا حول تماثل الفضاءات، وليس الأبعاد فقط. على وجه التحديد، بما أن${\displaystyle T}$يُحدث تماثلاً من${\displaystyle V/\operatorname {Ker} (T)}$ل${\displaystyle \operatorname {Im} (T),}$وجود أساس لـ${\displaystyle V}$ذلك الذي يوسع أي أساس معين لـ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)}$ويترتب على ذلك، من خلال نظرية الانقسام، أن${\displaystyle \operatorname {Im} (T)\oplus \operatorname {Ker} (T)\cong V.}$وبأخذ الأبعاد، تترتب على ذلك نظرية الرتبة والعدمية.

يمكن تمثيل التحويلات الخطية باستخدام المصفوفات . وبشكل أدق، فإن${\displaystyle m\times n}$تمثل المصفوفة M تحويلاً خطياً${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m},}$أين${\displaystyle F}$هو الحقل الأساسي . ^{[ 5 ]} لذا، فإن بُعد مجال${\displaystyle f}$يمثل n عدد أعمدة المصفوفة M ، ونظرية الرتبة والفراغ لـ${\displaystyle m\times n}$المصفوفة M هي $${\displaystyle \operatorname {rank} (M)+\operatorname {nullity} (M)=n.}$$

يترك${\displaystyle V,W}$لتكن فضاءات متجهة على حقل ما${\displaystyle F,}$و${\displaystyle T}$كما هو مُعرَّف في نص النظرية مع${\displaystyle \dim V=n}$.

مثل${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$إذا كان فضاءً جزئياً ، فإنه يوجد له أساس. لنفترض${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$ودع $${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$$ أن يكون هذا أساساً.

بحسب نظرية تبادل ستينيتز ، توجد مجموعة مستقلة خطيًا${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{w_{1},\ldots ,w_{nk}\}}$ل${\displaystyle nk}$متجهات بحيث يكون الاتحاد${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{nk}\}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle V}$ومن هذا يترتب عليه $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Im} T&=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}\\&=\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}}).\end{aligned}}}$$ ندعي الآن أن${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$تُشير المساواة المذكورة أعلاه بالفعل إلى أن${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$هي مجموعة مولدة لـ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$; يبقى أن نثبت أنها مستقلة خطيًا أيضًا لنستنتج أنها أساس.

ولتحقيق هذه الغاية، ضع في اعتبارك توليفة خطية $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}}$$ بالنسبة للبعض${\displaystyle \alpha _{j}\in F}$يجب أن نبين أن جميع المعاملات${\displaystyle \alpha _{j}}$يساوي${\displaystyle 0}$بسبب خطية${\displaystyle T}$وبناءً على ذلك $${\displaystyle T\left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W},}$$ وبالتالي فإن $${\displaystyle \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}.}$$ لذلك، توجد معاملات${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$بحيث${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}=\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}v_{i}}$وبالتالي${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}-\sum _{i=1}^{k}\beta _{i}v_{i}=0_{V}}$وتعبر هذه العلاقة الأخيرة عن${\displaystyle 0_{V}}$كتركيبة خطية من الأساس${\displaystyle {\mathcal {B}}}$؛ منذ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو أساس، جميع المعاملات${\displaystyle \alpha _{j}}$تساويان صفرًا. وهذا يدل على أن${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$مستقل خطيًا، وبشكل أكثر تحديدًا أنه أساس لـ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$.

باختصار، لدينا${\displaystyle {\mathcal {K}}}$، أساس لـ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$، و${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$، أساس لـ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$.

وأخيراً، يمكننا القول أن $${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim \operatorname {Im} T+\dim \operatorname {Ker} T}$$

${\displaystyle =|T({\mathcal {S}})|+|{\mathcal {K}}|=(n-k)+k=n=\dim V.}$

وبهذا نختتم برهاننا.

يترك${\displaystyle \mathbf {A} }$كن${\displaystyle m\times n}$مصفوفة مع${\displaystyle r}$أعمدة مستقلة خطيًا (أي${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )=r}$سنبين ما يلي:

وللقيام بذلك، سنقوم بإنتاج${\displaystyle n\times (n-r)}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {X} }$التي تشكل أعمدتها أساسًا للفضاء الصفري لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

دون الإخلال بعمومية المسألة ، افترض أن الأول${\displaystyle r}$أعمدة من${\displaystyle \mathbf {A} }$مستقلة خطيًا. لذا يمكننا كتابة $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{2}\end{pmatrix}},}$$ أين

• ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$هو${\displaystyle m\times r}$مصفوفة مع${\displaystyle r}$متجهات عمودية مستقلة خطيًا، و
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$هو${\displaystyle m\times (n-r)}$مصفوفة بحيث يكون كل عنصر منها${\displaystyle n-r}$الأعمدة هي تركيبات خطية لأعمدة${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$.

هذا يعني أن${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} }$بالنسبة للبعض${\displaystyle r\times (n-r)}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {B} }$(انظر تحليل الرتب ) وبالتالي، $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.}$$

يترك $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},}$$ أين${\displaystyle \mathbf {I} _{n-r}}$هو${\displaystyle (n-r)\times (n-r)}$مصفوفة الوحدة . إذن،${\displaystyle \mathbf {X} }$هو${\displaystyle n\times (n-r)}$مصفوفة بحيث $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} =\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.}$$

لذلك، كل واحد من${\displaystyle n-r}$أعمدة من${\displaystyle \mathbf {X} }$هي حلول خاصة لـ${\displaystyle \mathbf {Ax} ={0}_{{F}^{m}}}$.

علاوة على ذلك، فإن${\displaystyle n-r}$أعمدة من${\displaystyle \mathbf {X} }$مستقلة خطيًا لأن${\displaystyle \mathbf {Xu} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}}$سوف يعني${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}}$ل${\displaystyle \mathbf {u} \in {F}^{n-r}}$: $${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \mathbf {u} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}\end{pmatrix}}\implies \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}.}$$ لذلك، فإن متجهات الأعمدة لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$تشكل مجموعة من${\displaystyle n-r}$حلول مستقلة خطيًا لـ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}}$.

ثم نثبت أن أي حل لـ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$يجب أن يكون مزيجًا خطيًا من أعمدة${\displaystyle \mathbf {X} }$.

لذا، دع $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}}$$

ليكن أي متجه بحيث${\displaystyle \mathbf {Au} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$بما أن أعمدة${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$مستقلة خطيًا،${\displaystyle \mathbf {A} _{1}\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$يشير إلى${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{r}}}$.

لذلك، $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}}$$$${\displaystyle \implies \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {X} \mathbf {u} _{2}.}$$

يثبت هذا أن أي متجه${\displaystyle \mathbf {u} }$هذا حل لـ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$يجب أن يكون مزيجًا خطيًا من${\displaystyle n-r}$الحلول الخاصة التي تقدمها أعمدة${\displaystyle \mathbf {X} }$وقد رأينا بالفعل أن أعمدة${\displaystyle \mathbf {X} }$مستقلة خطيًا. وبالتالي، فإن أعمدة${\displaystyle \mathbf {X} }$تشكل أساسًا للفضاء الصفري لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$لذلك، فإن عدم صحة${\displaystyle \mathbf {A} }$يكون${\displaystyle n-r}$. منذ${\displaystyle r}$يساوي رتبة${\displaystyle \mathbf {A} }$وبناءً على ذلك${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )+\operatorname {Nullity} (\mathbf {A} )=n}$وبهذا نختتم برهاننا.