دالة الحقن

في الرياضيات ، الدالة أحادية التقابل (وتُعرف أيضًا بالدالة الحقنية أو الدالة أحادية التقابل ^{[ 1 ]} ) هي دالة f تربط عناصر مختلفة من مجالها بعناصر مختلفة من مجالها المقابل؛ أي أن x₁ ≠ x₂ يستلزم f ( _{x₁ )} ≠ f ( _{x₂ )} ( وبالتالي ، f ( x₁ ) = f ( x₂ ) يستلزم _x₁ = x₂ ). بعبارة أخرى، كل عنصر في المجال المقابل للدالة هو صورة لعنصر واحد _على الأكثر من مجالها . ^[ 2 ^] _{يجب عدم} الخلط بين مصطلح الدالة أحادية التقابل ومصطلح التناظر الأحادي الذي يشير إلى الدوال التقابلية _{، وهي الدوال التي} ^يكون كل عنصر في المجال المقابل فيها صورة لعنصر واحد فقط في المجال.

التشاكل بين البنى الجبرية هو دالة متوافقة مع عمليات تلك البنى. بالنسبة لجميع البنى الجبرية الشائعة، وخاصةً في الفضاءات المتجهة ، يُطلق على التشاكل الحقني أيضًا اسم أحادي التشاكل . مع ذلك، في سياق نظرية الفئات الأكثر عمومية ، يختلف تعريف أحادي التشاكل عن تعريف التشاكل الحقني. ^{[ 3 ]} وبالتالي، تُعدّ هذه نظرية تُثبت تكافؤهما بالنسبة للبنى الجبرية؛ انظر قسم التشاكل § أحادي التشاكل لمزيد من التفاصيل. 

وظيفة${\displaystyle f}$يُطلق على ما ليس حقنيًا أحيانًا اسم متعدد إلى واحد. ^{[ 2 ]}

يترك${\displaystyle f}$لتكن دالة مجالها مجموعة${\displaystyle X}$الوظيفة​${\displaystyle f}$يقال إنها حقنية بشرط أن يكون ذلك لجميع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في${\displaystyle X,}$إذا​${\displaystyle f(a)=f(b)}$ثم​​${\displaystyle a=b}$أي​${\displaystyle f(a)=f(b)}$يشير إلى${\displaystyle a=b}$. وبالمثل، إذا${\displaystyle a\neq b}$ثم​${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$في العبارة المضادة .

رمزياً،$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$ وهو ما يعادل منطقياً النقيض الإيجابي ، ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$يُشار عادةً إلى الدالة الحقنية (أو، بشكل أعم، أحادية الشكل) باستخدام الأسهم المتخصصة ↣ أو ↪ (على سبيل المثال،${\displaystyle f:A\rightarrowtail B}$أو​${\displaystyle f:A\hookrightarrow B}$) ، على الرغم من أن بعض المؤلفين يخصصون ↪ تحديدًا لخريطة التضمين . ^{[ 5 ]}

للاطلاع على أمثلة مرئية، يُرجى من القراء زيارة قسم المعرض.

• لأي مجموعة${\displaystyle X}$وأي مجموعة فرعية${\displaystyle S\subseteq X}$خريطة الإدراج​${\displaystyle S\to X}$(الذي يرسل أي عنصر)${\displaystyle s\in S}$الدالة (لنفسها) أحادية. على وجه الخصوص، دالة التطابق${\displaystyle X\to X}$دائماً ما تكون دالة حقنية (وفي الواقع دالة تقابلية).
• إذا كان مجال الدالة هو المجموعة الفارغة ، فإن الدالة هي الدالة الفارغة ، وهي دالة أحادية.
• إذا كان مجال الدالة يحتوي على عنصر واحد (أي أنها مجموعة أحادية )، فإن الدالة تكون دائمًا أحادية.
• الوظيفة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle f(x)=2x+1}$هو حقني.
• الوظيفة${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ليست حقنية ، لأن (على سبيل المثال)${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$لكن إذا${\displaystyle g}$إذا أُعيد تعريفها بحيث يكون مجالها هو الأعداد الحقيقية غير السالبة [0, +∞) ، فإن${\displaystyle g}$هو حقني.
• الدالة الأسية${\displaystyle \exp$ :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } معرفة بواسطة${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$هي دالة أحادية (ولكنها ليست دالة شاملة ، حيث لا توجد قيمة حقيقية ترتبط بعدد سالب).
• دالة اللوغاريتم الطبيعي${\displaystyle \ln$ :(0,\infty )\to \mathbb {R} } معرفة بواسطة${\displaystyle x\mapsto \ln x}$هو حقني.
• الوظيفة${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ليست دالة حقنية، لأنه على سبيل المثال ،${\displaystyle g(0)=g(1)=0}$⁠ .

وبشكل أعم، عندما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$كلاهما الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم دالة أحادية${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$هو منحنى لا يتقاطع مع أي خط أفقي أكثر من مرة. ويُشار إلى هذا المبدأ باسم اختبار الخط الأفقي . ^{[ 2 ]}

الدوال ذات المعكوسات اليسرى هي دائمًا دوال حقن. أي، إذا كان ⁠${\displaystyle f:X\to Y}$، إذا كانت هناك دالة${\displaystyle g:Y\to X}$بحيث يكون لكل${\displaystyle x\in X}$،​​${\displaystyle g(f(x))=x}$ثم​${\displaystyle f}$دالة أحادية. والدليل على ذلك هو أن $${\displaystyle f(a)=f(b)\rightarrow g(f(a))=g(f(b))\rightarrow a=b.}$$

في هذه الحالة،${\displaystyle g}$يُطلق عليه تراجع عن${\displaystyle f}$. على العكس من ذلك،${\displaystyle f}$يُطلق عليه قسم من${\displaystyle g}$على سبيل المثال :${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2},x\mapsto (1,m)^{\intercal }x}$تم سحبها بواسطة${\displaystyle g:y\mapsto {\frac {(1,m)}{1+m^{2}}}y}$⁠ .

وعلى العكس من ذلك، كل حقنة${\displaystyle f}$لها مجال غير فارغ معكوس يساري${\displaystyle g}$يمكن تعريفه باختيار عنصر${\displaystyle a}$في مجال${\displaystyle f}$والضبط${\displaystyle g(y)}$إلى العنصر الفريد للصورة السابقة${\displaystyle f^{-1}[y]}$(إذا لم يكن فارغًا) أو إلى${\displaystyle a}$(وإلا). ^{[ 6 ]}

المعكوس الأيسر${\displaystyle g}$ليس بالضرورة عكس${\displaystyle f,}$لأن التركيب بالترتيب الآخر ،${\displaystyle f\circ g}$قد يختلف عن الهوية الموجودة في${\displaystyle Y}$. بعبارة أخرى، يمكن "عكس" الدالة الحقنية بواسطة معكوس يساري، ولكنها ليست بالضرورة قابلة للعكس ، الأمر الذي يتطلب أن تكون الدالة تقابلية.

في الواقع، لتحويل دالة أحادية${\displaystyle f:X\to Y}$لتحويلها إلى دالة تقابلية (وبالتالي قابلة للعكس)، يكفي استبدال مجالها المقابل.${\displaystyle Y}$بصورتها الفعلية${\displaystyle J=f(X).}$أي، دع${\displaystyle g:X\to J}$بحيث${\displaystyle g(x)=f(x)}$للجميع​${\displaystyle x\in X}$ثم​${\displaystyle g}$هي دالة تقابلية. في الواقع،${\displaystyle f}$يمكن تحليلها على النحو التالي :${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g}$، حيث${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$هي دالة التضمين من${\displaystyle J}$إلى​${\displaystyle Y}$⁠ .

وبشكل عام، تسمى الدوال الجزئية الحقنية بالتقابلات الجزئية .

• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$كلاهما حقني إذن${\displaystyle f\circ g}$هو حقني.
• لو${\displaystyle g\circ f}$إذا كانت حقنية،${\displaystyle f}$هو حقني (لكن${\displaystyle g}$ليس بالضرورة).
• ${\displaystyle f:X\to Y}$تكون الدالة أحادية إذا وفقط إذا، بالنظر إلى أي دوال${\displaystyle g}$،​${\displaystyle h:W\to X}$كلما​${\displaystyle f\circ g=f\circ h}$ثم​​${\displaystyle g=h}$⁠ . بعبارة أخرى، الدوال الحقنية هي تحديداً التشاكلات الأحادية في فئة مجموعة المجموعات.
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$هو حقني و${\displaystyle A}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle X}$ثم​​${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$وهكذا ،${\displaystyle A}$يمكن استعادتها من صورتها${\displaystyle f(A)}$⁠ .
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$هو حقني و${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$كلاهما مجموعتان جزئيتان من${\displaystyle X}$ثم​​${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)}$⁠ .
• كل وظيفة${\displaystyle h:W\to Y}$يمكن تحليلها إلى${\displaystyle h=f\circ g}$للحصول على حقنة مناسبة${\displaystyle f}$والشمولية​${\displaystyle g}$هذا التفكيك فريد حتى التماثل ، و${\displaystyle f}$يمكن اعتبارها دالة احتواء النطاق${\displaystyle h(W)}$ل${\displaystyle h}$كمجموعة فرعية من المجال المقابل${\displaystyle Y}$من​${\displaystyle h}$⁠ .
• لو${\displaystyle f:X\to Y}$إذا كانت دالة أحادية، فإن${\displaystyle Y}$يحتوي على عدد من العناصر لا يقل عن${\displaystyle X,}$بمعنى الأعداد الأصلية . على وجه الخصوص، إذا كان هناك، بالإضافة إلى ذلك، حقن من${\displaystyle Y}$إلى​​${\displaystyle X}$ثم​${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لها نفس العدد الأصلي. (وهذا ما يُعرف بنظرية كانتور-بيرنشتاين-شرودر .)
• إذا كان كلاهما${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت المجموعات منتهية ولها نفس عدد العناصر، فإن${\displaystyle f:X\to Y}$تكون دالة حقنية إذا وفقط إذا${\displaystyle f}$هي شاملة (وفي هذه الحالة${\displaystyle f}$(دالة تقابلية).
• الدالة الحقنية التي تمثل تماثلاً بين بنيتين جبريتين هي عبارة عن تضمين .
• بخلاف الشمولية، التي هي علاقة بين رسم الدالة ومجالها المقابل، فإن التباين هو خاصية لرسم الدالة فقط؛ أي ما إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$يمكن تحديد ما إذا كانت الدالة أحادية من خلال النظر فقط إلى الرسم البياني (وليس المجال المقابل) لـ${\displaystyle f}$⁠ .

برهان على أن الدالة${\displaystyle f}$تعتمد خاصية التباين على كيفية تمثيل الدالة وخصائصها. بالنسبة للدوال المعطاة بصيغة معينة، هناك فكرة أساسية. نستخدم تعريف التباين، وهو أنه إذا كان${\displaystyle f(x)=f(y)}$ثم​​${\displaystyle x=y}$. ^{[ 7 ]}​

إليك مثال: $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

البرهان: ليكن${\displaystyle f:X\to Y}$لنفترض​​${\displaystyle f(x)=f(y)}$. لذا${\displaystyle 2x+3=2y+3}$يشير إلى${\displaystyle 2x=2y}$، مما يعني${\displaystyle x=y}$لذلك ، يترتب على التعريف أن${\displaystyle f}$هو حقني.

توجد طرق أخرى متعددة لإثبات أن الدالة أحادية. على سبيل المثال، في حساب التفاضل والتكامل إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة قابلة للتفاضل معرفة على فترة ما، فإنه يكفي إثبات أن مشتقتها موجبة دائمًا أو سالبة دائمًا على تلك الفترة. في الجبر الخطي، إذا${\displaystyle f}$إذا كان تحويلاً خطياً، يكفي أن نبين أن نواة${\displaystyle f}$يحتوي فقط على المتجه الصفري. إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة ذات مجال محدود، يكفي النظر في قائمة صور كل عنصر من عناصر المجال والتحقق من عدم ظهور أي صورة مرتين في القائمة.

نهج بياني لدالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle f}$لمتغير حقيقي${\displaystyle x}$اختبار الخط الأفقي . إذا تقاطع كل خط أفقي مع منحنى${\displaystyle f(x)}$في نقطة واحدة على الأكثر، إذن${\displaystyle f}$هو حقني أو واحد لواحد.

• التقابل، والحقن، والشمول - خصائص الدوال الرياضية 
• الفضاء المتري الحقني – نوع من أنواع الفضاء المتري 
• الدالة الرتيبة – دالة رياضية تحافظ على الترتيب 
• الدالة أحادية القيمة – مفهوم رياضي 

• بارتل، روبرت ج. (1976)، عناصر التحليل الحقيقي (  الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 978-0-471-05464-1، ص  17 وما بعدها .
• هالموس ، بول ر. (1974)، نظرية المجموعة الساذجة ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-0-387-90092-6، ص  38 وما بعدها .

• أقدم استخدامات بعض مصطلحات الرياضيات: يحتوي المدخل الخاص بالحقن والشمول والتقابل على تاريخ الحقن والمصطلحات ذات الصلة.
• أكاديمية خان - الدوال الشاملة (الكاملة) والدوال الأحادية (التقابلية): مقدمة في الدوال الشاملة والأحادية