التضاد

يمكن التعبير عن قاعدة النقل على شكل متتالية :

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),}$

أين${\displaystyle \vdash }$هو رمز ميتافيزيقي يعني أن${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$هو نتيجة نحوية لـ${\displaystyle (P\to Q)}$في نظام منطقي ما؛ أو كقاعدة للاستدلال:

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},}$

حيث القاعدة هي أنه أينما وُجدت حالة من "${\displaystyle P\to Q}$إذا ظهرت كلمة "" في سطر من البرهان، فيمكن استبدالها بـ "${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$أو كبيان لحقيقة منطقية أو نظرية في منطق القضايا. وقد صاغ راسل ووايتهيد هذا المبدأ كنظرية في منطق القضايا في كتابهما "برينسيبيا ماثيماتيكا " على النحو التالي:

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),}$

أين${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$هي قضايا معبر عنها في نظام رسمي ما .

في منطق الرتبة الأولى ، يُعرَّف الشرط على النحو التالي:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

والتي يمكن جعلها مكافئة لنقيضها، على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$

يترك:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

معطى أنه إذا كانت العبارة أ صحيحة، فإن العبارة ب صحيحة، ومعطى أيضًا أن العبارة ب غير صحيحة. يمكننا إذًا إثبات أن العبارة أ غير صحيحة بالتناقض. فلو كانت العبارة أ صحيحة، لكانت العبارة ب صحيحة أيضًا (بحسب قاعدة القياس المنطقي ). ولكن بما أن العبارة ب غير صحيحة، فهذا تناقض. لذلك، العبارة أ غير صحيحة (بافتراض أننا نتعامل مع عبارات ثنائية القيمة ، أي إما صحيحة أو خاطئة).

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

يمكننا تطبيق نفس العملية بالعكس، بدءًا من الافتراضات التالية:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$

نعلم هنا أيضًا أن العبارة B إما صحيحة أو خاطئة. إذا كانت B خاطئة، فإن A خاطئة أيضًا. ولكن بما أن A صحيحة، فإن افتراض أن B خاطئة يؤدي إلى تناقض، مما يعني أن B ليست خاطئة. لذلك، يجب أن تكون B صحيحة.

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

بدمج العبارتين المثبتتين معًا، نحصل على التكافؤ المنطقي المطلوب بين العبارة الشرطية ونقيضها:

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

التكافؤ المنطقي بين قضيتين يعني أنهما صحيحتان معًا أو خاطئتان معًا. ولإثبات أن النقيضين متكافئان منطقيًا ، نحتاج إلى فهم متى يكون الاستلزام المادي صحيحًا أو خاطئًا.

${\displaystyle P\to Q}$

هذا غير صحيح فقط عندما${\displaystyle P}$صحيح و${\displaystyle Q}$هذا خطأ. لذلك، يمكننا اختزال هذه القضية إلى العبارة التالية: "خطأ عندما${\displaystyle P}$وليس-${\displaystyle Q}$(أي "صحيح عندما لا يكون الأمر كذلك"${\displaystyle P}$وليس-${\displaystyle Q}$"):

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

يمكن عكس عناصر العطف دون أي تأثير (بسبب خاصية التبديل ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

نحن نحدد${\displaystyle R}$مساوياً لـ "${\displaystyle \neg Q}$"، و${\displaystyle S}$مساوياً لـ${\displaystyle \neg P}$(من هذا،${\displaystyle \neg S}$يساوي${\displaystyle \neg \neg P}$وهو ما يعادل فقط${\displaystyle P}$):

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

يُقرأ هذا على النحو التالي: "ليس صحيحًا أن ( R صحيح و S خاطئ)"، وهو تعريف الشرط المادي. يمكننا بعد ذلك إجراء هذا الاستبدال:

${\displaystyle R\to S}$

عن طريق إعادة R و S إلى${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$ثم نحصل على النقيض المطلوب:

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

في أنظمة الاستدلال الاستنتاجي على نمط هيلبرت لمنطق القضايا، يُعتبر جانب واحد فقط من عملية النقل بديهية، بينما يُعتبر الجانب الآخر نظرية. نصف هنا برهان هذه النظرية في نظام البديهيات الثلاث الذي اقترحه يان لوكاسيفيتش :

أ1.${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

أ2.${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

أ3.${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) يوضح بالفعل أحد اتجاهات النقل. الجانب الآخر،${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$، وقد تم إثبات ذلك أدناه، باستخدام الليمات التالية التي تم إثباتها هنا :

(DN1)${\displaystyle \neg \neg p\to p}$- النفي المزدوج (في اتجاه واحد)

(DN2)${\displaystyle p\to \neg \neg p}$- النفي المزدوج (اتجاه آخر)

(HS1)${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$- أحد أشكال القياس الافتراضي

(HS2)${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$- شكل آخر من أشكال القياس المنطقي الافتراضي .

نستخدم أيضًا طريقة نظرية القياس المنطقي الافتراضي كاختصار لعدة خطوات إثبات.

والبرهان كالتالي:

1. ${\displaystyle q\to \neg \neg q}$   (مثال على (DN2))
2. ${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$   (مثال على (HS1)
3. ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$   (من (1) و (2) عن طريق الاستدلال المنطقي)
4. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$   (مثال على (DN1))
5. ${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$   (مثال على (HS2))
6. ${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$   (من (4) و (5) عن طريق الاستدلال المنطقي)
7. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$   (من (3) و (6) باستخدام نظرية القياس المنطقي الافتراضي)
8. ${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$   (مثال على (A3))
9. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$   (من (7) و (8) باستخدام نظرية القياس المنطقي الافتراضي)

لنأخذ العبارة " جميع الأجسام الحمراء لها لون ". يمكن التعبير عن هذه العبارة بشكل مكافئ على النحو التالي: " إذا كان الجسم أحمر اللون، فإنه يمتلك لونًا " .

• والعكس هو : " إذا لم يكن للشيء لون، فهو ليس أحمر ". وهذا يتبع منطقياً من عبارتنا الأولى، ومثلها، من الواضح أنها صحيحة.
• العبارة العكسية هي: " إذا لم يكن الجسم أحمر، فليس له لون ". الجسم الأزرق ليس أحمر، ومع ذلك فهو له لون. لذلك، في هذه الحالة، تكون العبارة العكسية خاطئة.
• والعكس هو : " إذا كان للشيء لون، فهو أحمر ". يمكن أن يكون للأشياء ألوان أخرى، لذا فإن عكس عبارتنا خاطئ.
• النفي هو : " يوجد جسم أحمر ليس له لون ". هذه العبارة خاطئة لأن العبارة الأصلية التي تنفيها صحيحة.

بمعنى آخر، فإن العكس الإيجابي مكافئ منطقياً لعبارة شرطية معينة ، على الرغم من أنه غير كافٍ للعبارة الشرطية الثنائية .

وبالمثل، خذ العبارة " جميع الأشكال الرباعية لها أربعة أضلاع "، أو بصيغة مكافئة " إذا كان المضلع شكلاً رباعياً، فإنه يحتوي على أربعة أضلاع " .

• النقيض الإيجابي هو: " إذا لم يكن للمضلع أربعة أضلاع، فهو ليس شكلاً رباعياً ". وهذا يتبع منطقياً، وكقاعدة عامة، تشترك العبارات العكسية الإيجابية في قيمة الصواب مع عباراتها الشرطية.
• والعكس هو : " إذا لم يكن المضلع رباعي الأضلاع، فإنه لا يملك أربعة أضلاع ". في هذه الحالة، على عكس المثال السابق، يكون عكس العبارة صحيحًا.
• والعكس هو : " إذا كان للمضلع أربعة أضلاع، فهو شكل رباعي ". ومرة ​​أخرى، في هذه الحالة، على عكس المثال السابق، يكون عكس العبارة صحيحًا.
• النفي هو : " يوجد على الأقل شكل رباعي واحد ليس له أربعة أضلاع. " هذه العبارة خاطئة بشكل واضح.

بما أن العبارة وعكسها صحيحان، فإنها تُسمى عبارة ثنائية الشرط ، ويمكن التعبير عنها كالتالي: " المضلع رباعي الأضلاع إذا وفقط إذا كان له أربعة أضلاع. " (يُختصر مصطلح " إذا وفقط إذا" أحيانًا إلى "إذا وفقط إذا "). أي أن وجود أربعة أضلاع شرط ضروري ليكون الشكل رباعي الأضلاع، وهو شرط كافٍ وحده لاعتباره رباعي الأضلاع.

• إذا كانت العبارة صحيحة، فإن نقيضها صحيح (والعكس صحيح).
• إذا كانت العبارة خاطئة، فإن نقيضها يكون خاطئًا (والعكس صحيح).
• إذا كان عكس العبارة صحيحًا، فإن عكسها صحيح (والعكس صحيح).
• إذا كان عكس العبارة خاطئًا، فإن عكسها يكون خاطئًا (والعكس صحيح).
• إذا كان نفي العبارة خاطئًا، فإن العبارة تكون صحيحة (والعكس صحيح).
• إذا كانت العبارة (أو نقيضها) والمعكوس (أو العكس) كلاهما صحيح أو كلاهما خاطئ، فإنها تُعرف باسم العبارة الثنائية الشرطية المنطقية .

في القضية المستنتجة، تكون النتيجة نقيضًا للمقدمة في القضية الأصلية، وتكون مقدمة القضية المستنتجة نقيضًا لنتيجة القضية الأصلية. يرمز إلى الاستلزام المادي بالقضية كقضية افتراضية، أو بصيغة "إذا-إذن"، مثل "إذا كان P ، فإن Q ".

يشير الشرط الثنائي لقاعدة التبديل (↔) إلى العلاقة بين القضايا الافتراضية (→) ، حيث تتضمن كل قضية مقدمة ونتيجة. من الناحية المنطقية، يتطلب تبديل أو تحويل حدود إحدى القضايا تحويل حدود القضايا على جانبي العلاقة الشرطية الثنائية، أي أن تبديل أو تحويل ( P → Q ) إلى ( Q → P ) يستلزم تبديل أو تحويل القضية الأخرى، ( ¬Q → ¬P ) ، إلى ( ¬P → ¬Q ). وإلا، فإن تحويل حدود إحدى القضايا دون الأخرى يجعل القاعدة باطلة، مما يخالف الشرط الكافي والشرط الضروري لحدود القضايا، حيث تكمن المخالفة في أن القضية المُعدّلة تقع في مغالطة إنكار المقدمة أو تأكيد النتيجة عن طريق تحويل غير مشروع .

تعتمد صحة قاعدة التبديل على علاقات الشرط الكافي والشرط الضروري في المنطق.

في القضية "إذا كان P ، فإن Q "، يُعدّ وقوع P سببًا كافيًا لوقوع Q. فـ P ، سواءً كفرد أو كفئة، يستلزم Q بشكلٍ جوهري ، لكن العلاقة بين Q و P تجعل القضية العكسية "إذا كان Q ، فإن P " لا تستلزم بالضرورة شرطًا كافيًا. وقاعدة الاستدلال للشرط الكافي هي قاعدة القياس الشرطي ، وهي حجة للاستلزام الشرطي.

1. الفرضية (1): إذا كان P ، فإن Q
2. الفرضية (2): P
3. الخلاصة: لذلك، Q

بما أن عكس المقدمة (1) غير صحيح، فإن كل ما يمكن قوله عن العلاقة بين P و Q هو أنه في غياب Q ، لا يحدث P ، مما يعني أن Q هو الشرط الضروري لحدوث P. وقاعدة الاستدلال للشرط الضروري هي قاعدة نفي الشرط .

1. الفرضية (1): إذا كان P ، فإن Q
2. الفرضية (2): ليس Q
3. الخلاصة: لذلك، ليس P

من الأمثلة الشائعة التي يستخدمها علماء المنطق للمقارنة بين الشروط الكافية والضرورية، عبارة "إذا وُجدت نار، فإن الأكسجين موجود". فالبيئة المؤكسجة ضرورية لحدوث النار أو الاحتراق، ولكن مجرد وجود بيئة مؤكسجة لا يعني بالضرورة حدوث النار أو الاحتراق. فبينما يمكن استنتاج أن النار تتطلب وجود الأكسجين، إلا أنه لا يمكن استنتاج العكس من وجود الأكسجين، أي "إذا وُجد الأكسجين، فإن النار موجودة". كل ما يمكن استنتاجه من العبارة الأصلية هو: "إذا لم يكن الأكسجين موجودًا، فلا يمكن أن توجد نار".

يشير رمز الشرط الثنائي ("↔") إلى أن العلاقة بين القضايا ضرورية وكافية، ويتم التعبير عنها لفظيًا على أنها " إذا وفقط إذا "، أو وفقًا للمثال "إذا كان P ، فإن Q 'إذا وفقط إذا' إذا لم يكن Q ، فإن P ليس ".

يمكن تفسير الشروط الضرورية والكافية بالقياس من حيث مفاهيم وقواعد الاستدلال المباشر في المنطق التقليدي. في القضية الفئوية "كل S هو P "، يُقال إن العنصر S مُوزّع، أي أن جميع عناصر فئته مُستنفدة في تعبيره. في المقابل، لا يمكن القول إن العنصر P مُوزّع، أو مُستنفد في تعبيره، لأنه من غير المُحدد ما إذا كان كل مثال لعنصر من عناصر P كفئة هو أيضًا عنصر من عناصر S كفئة. كل ما يمكن استنتاجه بشكل صحيح هو أن "بعض P هي S ". وبالتالي، لا يمكن استنتاج القضية من النوع "أ" "كل P هو S " عن طريق التحويل من القضية الأصلية من النوع "أ" "كل S هو P ". كل ما يمكن استنتاجه هو القضية من النوع "أ" "كل ما ليس P ليس S " (لاحظ أن ( P → Q ) و(¬ Q → ¬P ) كلاهما قضيتان من النوع "أ"). من الناحية النحوية، لا يمكن استنتاج عبارة "كل البشر رجال" من عبارة "كل الرجال بشر". لا يمكن استنتاج عبارة من النوع "أ" مباشرةً إلا بالتحويل عندما يكون كل من الموضوع والمسند موزعين، كما في استنتاج عبارة "كل العزاب رجال غير متزوجين" من عبارة "كل الرجال غير المتزوجين عزاب".

البرهان بالتناقض : افترض (على سبيل التناقض) أن${\displaystyle \neg A}$هذا صحيح. استخدم هذا الافتراض لإثبات تناقض . ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \neg A}$هذا غير صحيح،${\displaystyle A}$هذا صحيح.

البرهان بالتناقض : لإثبات${\displaystyle A\to B}$أثبت عكسها الإيجابي، وهو${\displaystyle \neg B\to \neg A}$.

يترك${\displaystyle x}$ليكن عددًا صحيحًا.

لإثبات: إذا${\displaystyle x^{2}}$إذا كان زوجيًا، فإذن${\displaystyle x}$متساوٍ.

على الرغم من إمكانية تقديم برهان مباشر ، إلا أننا نختار إثبات هذه العبارة بالاستدلال العكسي. والعكس الإيجابي للعبارة السابقة هو:

لو${\displaystyle x}$ليس زوجيًا، إذن${\displaystyle x^{2}}$ليس متساوياً.

يمكن إثبات هذه العبارة الأخيرة كما يلي: إذا افترضنا أن x ليس عددًا زوجيًا، فإن x عدد فردي. حاصل ضرب عددين فرديين هو عدد فردي، وبالتالي${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$هذا غريب.${\displaystyle x^{2}}$ليس متساوياً.

بعد إثبات عكس العبارة، يمكننا حينها استنتاج أن العبارة الأصلية صحيحة. ^{[ 16 ]}

في المنطق الحدسي ، العبارة${\displaystyle P\to Q}$لا يمكن إثبات أنها معادلة لـ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$يمكننا إثبات ذلك${\displaystyle P\to Q}$يشير إلى${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$(انظر أدناه) بدون افتراضات إضافية، ولكن بالاستنتاج العكسي، من${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ل${\displaystyle P\to Q}$، يتطلب معرفة${\displaystyle \lnot \lnot Q\to Q}$، وهو ما يترتب على قانون الوسط المرفوع أو بديهية مكافئة.

يفترض${\displaystyle P\to Q}$(الافتراض الأولي)

يفترض${\displaystyle Q\to \bot }$

من${\displaystyle P\to Q}$و${\displaystyle Q\to \bot }$، ختاماً${\displaystyle P\to \bot }$

افتراض الخروج من المستشفى؛ خاتمة${\displaystyle (Q\to \bot )\to (P\to \bot )}$

الانعطاف${\displaystyle (A\to \bot )}$داخل${\displaystyle \lnot A}$، ختاماً${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

افتراض الخروج من المستشفى؛ خاتمة${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$.

يمثل التناقض مثالاً على نظرية بايز الذاتية في المنطق الذاتي، ويتم التعبير عنها على النحو التالي:

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,}$

أين${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$يشير إلى زوج من الآراء الشرطية ذات الحدين المقدمة من المصدر${\displaystyle A}$المعلمة${\displaystyle a_{P}}$يشير إلى المعدل الأساسي (أو الاحتمال المسبق ) لـ${\displaystyle P}$يُرمز إلى زوج الآراء الشرطية المعكوسة المشتقة بـ${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$الرأي المشروط${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$يعمم العبارة المنطقية${\displaystyle P\to Q}$أي بالإضافة إلى تعيين القيمة TRUE أو FALSE للمصدر${\displaystyle A}$يمكن إسناد أي رأي شخصي إلى البيان. الحالة التي${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$الرأي الصحيح المطلق يعادل المصدر${\displaystyle A}$بقول ذلك${\displaystyle P\to Q}$صحيح، والحالة التي يكون فيها${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$هذا رأي خاطئ تمامًا، وهو مكافئ للمصدر.${\displaystyle A}$بقول ذلك${\displaystyle P\to Q}$هذا خطأ. في حالة الرأي المشروط${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$صحيح مطلقًا، عامل نظرية بايز الذاتية${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$ينتج عن المنطق الذاتي رأيًا شرطيًا مشتقًا خاطئًا بشكل مطلق${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$وبالتالي رأي مشتق مشروط صحيح مطلق${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$وهو ما يعادل${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$كونها صحيحة. ومن ثم، فإن نظرية بايز الذاتية تمثل تعميماً لكل من التناقض ونظرية بايز . ^{[ 17 ]}