دليل مباشر

الموسوعة الحرة

في الرياضيات والمنطق ، يُعدّ البرهان المباشر طريقةً لإثبات صحة أو خطأ عبارة معينة من خلال دمج مباشر للحقائق الثابتة، وعادةً ما تكون بديهيات ، أو لمّات ، أو نظريات موجودة ، دون افتراضات إضافية. [ 1 ] ولإثبات عبارة شرطية من الشكل "إذا كان p ، فإن q "، يكفي النظر في الحالات التي تكون فيها العبارة p صحيحة. ويُستخدم الاستدلال المنطقي للانتقال من الافتراضات إلى النتيجة. ويكون نوع المنطق المستخدم في الغالب منطق الرتبة الأولى ، الذي يستخدم أدوات التحديد الكمي " لكل" و "يوجد" . ومن قواعد البرهان الشائعة المستخدمة: قاعدة القياس المنطقي (modus ponens) وقاعدة التجسيد الكلي . [ 2 ]

على النقيض من ذلك، قد يبدأ البرهان غير المباشر ببعض السيناريوهات الافتراضية، ثم ينتقل إلى إزالة الشكوك في كل سيناريو منها حتى الوصول إلى نتيجة حتمية. على سبيل المثال، بدلاً من إثبات p ⇒ q مباشرةً ، يُثبت عكسه ~ q ⇒ ~ p (بافتراض ~ q وإثبات أنه يؤدي إلى ~ p ). وبما أن p ⇒ q و ~ q ⇒ ~ p متكافئان وفقًا لمبدأ النقل (انظر قانون الوسط المرفوع )، فإن p ⇒ q يُثبت بشكل غير مباشر. تشمل طرق البرهان غير المباشرة البرهان بالتناقض ، بما في ذلك البرهان بالانحدار اللانهائي . أما طرق البرهان المباشرة فتشمل البرهان بالاستنفاد والبرهان بالاستقراء .

التاريخ وأصل الكلمات

البرهان المباشر هو أبسط أنواع البراهين. كلمة "برهان" مشتقة من الكلمة اللاتينية probare، [ 3 ] والتي تعني "الاختبار". كان استخدام البراهين بارزًا في الإجراءات القانونية. كان يُقال عن الشخص ذي السلطة، كالنبيل مثلاً، أنه يتمتع بالنزاهة، مما يعني أن الدليل كان يستند إلى سلطته النسبية، والتي كانت تفوق الشهادة التجريبية. في الماضي، كانت الرياضيات والبرهان متداخلين بشكل كبير مع المسائل العملية، حيث أبدت شعوب كالمصريين واليونانيين اهتمامًا بمسح الأراضي. [ 4 ] أدى ذلك إلى فضول طبيعي تجاه الهندسة وعلم المثلثات ، وخاصة المثلثات والمستطيلات . كانت هذه الأشكال هي التي أثارت معظم التساؤلات فيما يتعلق بالأمور العملية، لذلك ركزت المفاهيم الهندسية المبكرة على هذه الأشكال، فعلى سبيل المثال، استخدمت المباني والأهرامات هذه الأشكال بكثرة. شكل آخر بالغ الأهمية في تاريخ البرهان المباشر هو الدائرة ، التي كانت أساسية في تصميم الساحات وخزانات المياه. هذا يعني أن الهندسة القديمة ( والهندسة الإقليدية ) ناقشت الدوائر.

كان الشكل الأول للرياضيات شكلاً ظاهرياً . فعلى سبيل المثال، إذا استطاع شخص ما رسم صورة معقولة، أو تقديم وصف مقنع، فإن ذلك يستوفي جميع معايير وصف شيء ما بأنه "حقيقة" رياضية. وفي بعض الأحيان، كانت تُستخدم الحجج القياسية ، أو حتى الاستدلال بالآلهة. لم تكن فكرة إمكانية إثبات العبارات الرياضية قد تبلورت بعد، لذا كانت هذه هي الأشكال الأولى لمفهوم الإثبات، على الرغم من أنها لم تكن إثباتاً فعلياً على الإطلاق.

نشأ مفهوم البرهان كما نعرفه اليوم من سؤال محدد: "ما هو البرهان؟" تقليديًا، البرهان هو أساس يُقنع شخصًا ما، بما لا يدع مجالًا للشك، بصحة عبارة رياضية. وبطبيعة الحال، يُفترض أن أفضل طريقة لإثبات صحة أمر كهذا (ب) هي مقارنته بشيء قديم (أ) سبق إثبات صحته. ومن هنا نشأ مفهوم استنباط نتيجة جديدة من نتيجة قديمة.

أمثلة

مجموع عددين زوجيين يساوي عددًا زوجيًا

لنفترض وجود عددين زوجيين x و y . بما أنهما زوجيان، فيمكن كتابتهما على النحو التالي:

x=2أ{\displaystyle x=2a}
y=2ب{\displaystyle y=2b}

بالنسبة للأعداد الصحيحة a و b على التوالي . عندئذٍ يمكن كتابة المجموع على النحو التالي:

x+y=2أ+2ب=2(أ+ب)=2ص{\displaystyle x+y=2a+2b=2(a+b)=2p}أينص=أ+ب{\displaystyle p=a+b}، a و b جميعها أعداد صحيحة.

وبالتالي فإن x  + y  له 2 كعامل وبالتالي فهو عدد زوجي، لذا فإن مجموع أي عددين زوجيين هو عدد زوجي.

نظرية فيثاغورس

رسم توضيحي لنظرية فيثاغورس
رسم توضيحي لنظرية فيثاغورس

لاحظ أن لدينا أربعة مثلثات قائمة الزاوية ومربعًا مُكدسة داخل مربع أكبر. لكل مثلث ضلعان طولهما a و b ووتر طوله c . تُعرَّف مساحة المربع بأنها مربع طول ضلعيه. في هذه الحالة، مساحة المربع الكبير هي (a + b) ² . مع ذلك، يمكن أيضًا التعبير عن مساحة المربع الكبير كمجموع مساحات مكوناته. في هذه الحالة، سيكون المجموع هو مساحات المثلثات الأربعة والمربع الصغير في المنتصف. [ 5 ]

نعلم أن مساحة المربع الكبير تساوي (أ + ب) 2 .

مساحة المثلث القائم الزاوية تساوي12أب.{\displaystyle {\frac {1}{2}}ab.}

نعلم أن مساحة المربع الكبير تساوي أيضًا مجموع مساحات المثلثات، بالإضافة إلى مساحة المربع الصغير، وبالتالي فإن مساحة المربع الكبير تساوي4(12أب)+ج2.{\displaystyle 4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.}

هذه متساوية، وهكذا

(أ+ب)2=4(12أب)+ج2.{\displaystyle (a+b)^{2}=4({\frac {1}{2}}ab)+c^{2}.}

بعد بعض التبسيط،

أ2+2أب+ب2=2أب+ج2.{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}.}

إزالة 2ab التي تظهر على كلا الجانبين تعطي

أ2+ب2=ج2،{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}

وهذا يثبت نظرية فيثاغورس. ∎

مربع العدد الفردي هو عدد فردي أيضًا

بحسب التعريف، إذا كان n عددًا فرديًا، فيمكن التعبير عنه على النحو التالي:

ن=2ك+1{\displaystyle n=2k+1}

لبعض الأعداد الصحيحة k . وبالتالي

ن2=(2ك+1)2=(2ك+1)(2ك+1)=4ك2+2ك+2ك+1=4ك2+4ك+1=2(2ك2+2ك)+1.{\displaystyle {\begin{aligned}n^{2}&=(2k+1)^{2}\\&=(2k+1)(2k+1)\\&=4k^{2}+2k+2k+1\\&=4k^{2}+4k+1\\&=2(2k^{2}+2k)+1.\end{aligned}}}

بما أن 2k² + 2k عدد صحيح ، فإن n² عدد فردي أيضاً. ∎

مراجع

  1. ↑ كوبيلاري، أنطونيلا . أساسيات البراهين . دار النشر الأكاديمية، 2001. الصفحة 3.
  2. ↑ سي. غوبتا، إس. سينغ، إس. كومار، البنية المنفصلة المتقدمة . دار النشر الدولية IK المحدودة، 2010. الصفحة 127.
  3. ↑ قاموس أكسفورد الإنجليزي المختصر الجديد
  4. ↑ كرانز، ستيفن ج. تاريخ ومفهوم البرهان الرياضي . 5 فبراير 2007.
  5. ↑ كرانز، ستيفن ج. الدليل هو الحلوى . سبرينغر، 2010. الصفحة 43.

مصادر