المستطيل

في الهندسة الإقليدية المستوية ، المستطيل هو مضلع محدب مستقيم أو شكل رباعي ذو أربع زوايا قائمة . ويمكن تعريفه أيضًا بأنه: شكل رباعي متساوي الزوايا، حيث أن تساوي الزوايا يعني أن جميع زواياه متساوية (360°/4 = 90°)؛ أو متوازي أضلاع يحتوي على زاوية قائمة. المستطيل ذو الأضلاع الأربعة المتساوية في الطول يُسمى مربعًا . يُستخدم مصطلح " مستطيل " للإشارة إلى المستطيل غير المربع . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} يُرمز إلى المستطيل ذي الرؤوس ABCD بالرمز ABCD . 

كلمة مستطيل تأتي من الكلمة اللاتينية rectangulus ، وهي عبارة عن مزيج من rectus (كصفة، صحيح، مناسب) و angulus ( زاوية ).

المستطيل المتقاطع هو شكل رباعي متقاطع (يتقاطع مع نفسه) يتكون من ضلعين متقابلين من مستطيل بالإضافة إلى قطريه ^{[ 4 ]} (وبالتالي، ضلعان فقط متوازيان). وهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع العكسي ، وزواياه ليست قائمة وليست جميعها متساوية، مع أن الزوايا المتقابلة متساوية. أما الأشكال الهندسية الأخرى، مثل الكروية والقطع الناقص والزائدية ، فلها ما يُسمى بالمستطيلات ذات الأضلاع المتقابلة المتساوية في الطول والزوايا المتساوية غير القائمة.

تُستخدم المستطيلات في العديد من مسائل التبليط ، مثل تبليط المستوى بالمستطيلات أو تبليط مستطيل بالمضلعات .

يكون الشكل الرباعي المحدب مستطيلاً إذا وفقط إذا كان أيًا مما يلي: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• متوازي أضلاع يحتوي على زاوية قائمة واحدة على الأقل
• متوازي أضلاع قطراه متساويان في الطول
• متوازي أضلاع ABCD حيث المثلثان ABD و DCA متطابقان
• شكل رباعي متساوي الزوايا
• شكل رباعي ذو أربع زوايا قائمة
• شكل رباعي الأضلاع حيث يكون قطراه متساويين في الطول وينصف كل منهما الآخر ^{[ 7 ]}
• شكل رباعي محدب ذو أضلاع متتالية a و b و c و d ومساحته هي${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$[ ^{8 ] : حاشية 1}
• شكل رباعي محدب ذو أضلاع متتالية a و b و c و d ومساحته هي${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$^{[ 8 ]}

إذا كان طول المستطيل${\displaystyle \ell }$والعرض${\displaystyle w}$ثم: ^{[ 11 ]}

• تبلغ مساحتها${\displaystyle A=\ell w\,}$؛
• له محيط${\displaystyle P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,}$؛
• يبلغ طول كل قطر${\displaystyle d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}}$؛ و
• متى${\displaystyle \ell =w\,}$المستطيل مربع . ^{[ 1 ]}

تنص نظرية المحيط المتساوي للمستطيلات على أنه من بين جميع المستطيلات ذات محيط معين ، فإن المربع له أكبر مساحة .

تشكل نقاط منتصف أضلاع أي شكل رباعي الأضلاع ذي أقطار متعامدة مستطيلاً.

متوازي الأضلاع ذو الأقطار المتساوية هو مستطيل.

تنص النظرية اليابانية للأشكال الرباعية الدائرية ^{[ 12 ]} على أن مراكز المثلثات الأربعة المحددة بواسطة رؤوس الشكل الرباعي الدائري المأخوذة ثلاثة في كل مرة تشكل مستطيلاً.

تنص نظرية العلم البريطاني على أنه مع الرؤوس المشار إليها بـ A و B و C و D ، لأي نقطة P على نفس مستوى المستطيل: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.}$

لكل جسم محدب C في المستوى، يمكننا رسم مستطيل r داخل C بحيث تكون نسخة متماثلة R من r محاطة بـ C ، ونسبة التماثل الموجبة لا تتجاوز 2.${\displaystyle 0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)}$[ ^{14 ]​}

يوجد مستطيل فريد ذو جوانب${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، أين${\displaystyle a}$أقل من${\displaystyle b}$، مع طريقتين للطي على طول خط يمر بمركزها بحيث يتم تقليل مساحة التداخل إلى الحد الأدنى، وتنتج كل مساحة شكلاً مختلفاً - مثلث وخماسي. النسبة الفريدة لأطوال الأضلاع هي ${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...}$[ ^{15 ]​}

يتكون الشكل الرباعي المتقاطع (الذي يتقاطع مع نفسه) من ضلعين متقابلين من شكل رباعي غير متقاطع مع نفسه، بالإضافة إلى قطريه. وبالمثل، فإن المستطيل المتقاطع هو شكل رباعي متقاطع يتكون من ضلعين متقابلين من مستطيل، بالإضافة إلى قطريه. وله نفس ترتيب رؤوس المستطيل. يظهر المستطيل المتقاطع على شكل مثلثين متطابقين لهما رأس مشترك، ولكن التقاطع الهندسي بينهما لا يُعتبر رأسًا.

يُشبه الشكل الرباعي المتقاطع أحيانًا ربطة العنق أو الفراشة ، ويُطلق عليه أحيانًا اسم "الثمانية الزاوية". ويمكن لإطار سلكي مستطيل ثلاثي الأبعاد ملتوي أن يتخذ شكل ربطة العنق.

يمكن أن يكون للجزء الداخلي من المستطيل المتقاطع كثافة مضلعات تبلغ ±1 في كل مثلث، اعتمادًا على اتجاه اللف سواء كان في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة.

يمكن اعتبار المستطيل المتقاطع متساوي الزوايا إذا سُمح بالانعطافات يمينًا ويسارًا. وكما هو الحال مع أي شكل رباعي متقاطع ، فإن مجموع زواياه الداخلية يساوي 720 درجة، مما يسمح بظهور زوايا داخلية في الخارج تتجاوز 180 درجة. ^{[ 16 ]}

المستطيل والمستطيل المتقاطع هما شكلان رباعيان يشتركان في الخصائص التالية:

• الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول.
• القطران متساويان في الطول.
• يحتوي على خطين من التناظر الانعكاسي والتناظر الدوراني من الدرجة 2 (حتى 180 درجة).

في الهندسة الكروية ، المستطيل الكروي هو شكلٌ أضلاعه الأربعة عبارة عن أقواس دوائر عظمى تلتقي بزوايا متساوية أكبر من 90 درجة. الأقواس المتقابلة متساوية في الطول. سطح الكرة في الهندسة الإقليدية المجسمة هو سطح غير إقليدي بمعنى الهندسة الإهليلجية. الهندسة الكروية هي أبسط أشكال الهندسة الإهليلجية.

في الهندسة الإهليلجية ، المستطيل الإهليلجي هو شكل في المستوى الإهليلجي تكون حوافه الأربعة عبارة عن أقواس إهليلجية تلتقي بزوايا متساوية أكبر من 90 درجة. الأقواس المتقابلة متساوية في الطول.

في الهندسة الزائدية ، المستطيل الزائدي هو شكل في المستوى الزائدي تكون أضلاعه الأربعة عبارة عن أقواس زائدية تلتقي بزوايا متساوية أقل من 90 درجة. الأقواس المتقابلة متساوية في الطول.

يُستخدم المستطيل في العديد من أنماط التبليط الدوري ، في أعمال البناء بالطوب ، على سبيل المثال، هذه التبليطات:

رابطة مكدسة

سند متداول

نسيج السلة

نسيج السلة

نمط متعرج

يُطلق على المستطيل المُقسّم إلى مربعات أو مستطيلات أو مثلثات اسم "مستطيل مُربّع" أو "مستطيل مُقسّم إلى مثلثات" أو "مستطيل مُقسّم إلى مثلثات" على التوالي. يكون المستطيل المُقسّم إلى مثلثات مثاليًا ^{[ 17 ] [ 18 ]} إذا كانت المربعات متشابهة ومحدودة العدد، ولا يوجد مربعان متطابقان في الحجم. أما إذا كان هناك مربعان متطابقان في الحجم، فإن التبليط يكون غير مثالي . في المستطيل المُقسّم إلى مثلثات مثالي (أو غير مثالي)، يجب أن تكون المثلثات قائمة الزاوية . يمكن العثور على قاعدة بيانات لجميع المستطيلات والمربعات المثالية المعروفة والأشكال ذات الصلة على موقع squaring.net . أقل عدد من المربعات اللازمة لتبليط مستطيل مثالي هو 9 ^{[ 19 ]} ، وأقل عدد من المربعات اللازمة لتبليط مربع مثالي هو 21، وقد تم التوصل إلى هذه النتائج عام 1978 من خلال البحث الحاسوبي. ^{[ 20 ]}

يكون للمستطيل أضلاع متناسبة إذا وفقط إذا كان قابلاً للتبليط بعدد محدود من المربعات غير المتساوية. ^{[ 17 ] [ 21 ]} وينطبق الأمر نفسه إذا كانت البلاطات مثلثات قائمة الزاوية متساوية الساقين غير متساوية .

أكثر أنواع تبليط المستطيلات باستخدام أنواع أخرى من البلاط حظيت بالاهتمام هي تلك التي تتم باستخدام أشكال متعددة غير مستطيلة متطابقة ، والتي تسمح بجميع عمليات الدوران والانعكاس. وهناك أيضاً تبليط باستخدام أشكال متعددة غير متطابقة .

تمثل نقاط ترميز يونيكود التالية المستطيلات:

 U+25AC ▬ مستطيل أسود U+25AD ▭ مستطيل أبيض U+25AE ▮ مستطيل عمودي أسود U+25AF ▯ مستطيل أبيض عمودي

• متوازي المستطيلات
• المستطيل الذهبي
• فرط الاستطالة
• شكل بيضاوي فائق (يتضمن مستطيلاً بزوايا مستديرة)

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مستطيل" . عالم الرياضيات .
• تعريف وخصائص المستطيل مع رسوم متحركة تفاعلية.
• مساحة مستطيل مع رسوم متحركة تفاعلية.