المستطيل الذهبي

في الهندسة ، المستطيل الذهبي هو مستطيل تكون أطوال أضلاعه بنسبة ذهبية.${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1,}$أو​${\displaystyle \varphi :1,}$مع​​${\displaystyle \varphi }$يساوي تقريبًا 1.618 أو 89/55 .

تُظهر المستطيلات الذهبية شكلاً خاصاً من التشابه الذاتي : إذا تمت إضافة مربع إلى الجانب الطويل، أو إزالته من الجانب القصير، فإن النتيجة تكون مستطيلاً ذهبياً أيضاً.

إنشاء مستطيل ذهبي. ^{[ أ ]}

حلزون ذهبي وخطوط قطرية متقاطعة.

بفضل نظرية فيثاغورس ، فإن القطر الذي يقسم نصف مربع يساوي نصف قطر دائرة تقع أبعد نقطة فيها عند زاوية مستطيل ذهبي مضافًا إليها المربع. ^{[ 1 ]} وبالتالي، يمكن إنشاء مستطيل ذهبي باستخدام مسطرة وفرجار فقط في أربع خطوات:

1. ارسم مربعًا
2. ارسم خطًا من منتصف أحد أضلاع المربع إلى الزاوية المقابلة.
3. استخدم هذا الخط كنصف قطر لرسم قوس يحدد ارتفاع المستطيل
4. أكمل المستطيل الذهبي

من السمات المميزة لهذا الشكل أنه عند إضافة أو إزالة جزء مربع ، ينتج مستطيل ذهبي آخر بنفس نسبة أبعاد المستطيل الأول. ويمكن تكرار إضافة أو إزالة المربعات إلى ما لا نهاية، وفي هذه الحالة، تشكل الزوايا المتناظرة للمربعات سلسلة لانهائية من النقاط على اللولب الذهبي ، وهو اللولب اللوغاريتمي الفريد الذي يتمتع بهذه الخاصية. وتحدد الخطوط القطرية المرسومة بين أول رتبتين من المستطيلات الذهبية المضمنة نقطة تقاطع أقطار جميع المستطيلات الذهبية المضمنة؛ وقد أشار كليفورد أ. بيكوفر إلى هذه النقطة باسم "عين الله". ^{[ 2 ]}

دوامة ذهبية

قسّم مربعًا إلى أربعة مثلثات قائمة الزاوية متطابقة بنسبة طول ضلعين 1 :2 ، ورتّبها على شكل مستطيل ذهبي، بحيث يحيط كل مثلث بمستطيل مماثل مُكبّر بمعامل ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$وتدور حول المركز بمقدار${\displaystyle \arctan({\tfrac {1}{2}}).}$يؤدي تكرار عملية البناء على نطاقات أصغر تدريجياً إلى أربع متواليات لانهائية من المثلثات القائمة المتجاورة، والتي ترسم دوامة من المستطيلات الذهبية المتقاربة. ^{[ 3 ]}

المنحنى اللوغاريتمي الذي يمر برؤوس المثلثات المتجاورة له ميل قطبي${\displaystyle k={\frac {\ln(\varphi )}{\arctan({\tfrac {1}{2}})}}.}$متوازي الأضلاع الواقع بين المثلثين الرماديين القائمين له أقطار متعامدة بنسبة ⁠${\displaystyle \varphi }$وبالتالي فهو معين ذهبي .

إذا كان للمثلث ضلعان بطول 1 و 2 ، فإن طول كل لولب منفصل يكون${\displaystyle \varphi ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-n}.}$مجموع مساحات المثلثات في كل منطقة حلزونية يساوي${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n};}$المحيطات تساوي ⁠${\displaystyle 5+{\sqrt {5}}}$( رمادي) و${\displaystyle 4\varphi }$( المناطق الصفراء).

نُسبت نسب المستطيل الذهبي إلى لوح شمش البابلي (حوالي 888-855 قبل الميلاد) . ^{[ 4 ]} ومع ذلك، يصف ماريو ليفيو أي معرفة بالنسبة الذهبية في بابل القديمة أو مصر القديمة بأنها "مستبعدة للغاية". ^{[ 5 ]}

وفقًا لليفيو، منذ نشر كتاب لوكا باتشولي " النسبة الإلهية " في عام 1509، "بدأت النسبة الذهبية في أن تصبح متاحة للفنانين في أطروحات نظرية لم تكن رياضية بشكل مفرط، والتي يمكنهم استخدامها بالفعل." ^{[ 6 ]}

تتميز فيلا شتاين التي صممها لو كوربوزييه عام 1927 ، والتي تستخدم بعض عناصرها المعمارية النسبة الذهبية ، بأبعاد تقارب المستطيلات الذهبية. ^{[ 7 ]}

إنشاء نصف مستطيل ذهبي (مثلث مركزي قائم) من المضلعات.

ثلاثة مستطيلات ذهبية في مجسم عشريني الوجوه .

يقدم إقليدس طريقة بديلة لإنشاء المستطيل الذهبي باستخدام ثلاثة مضلعات محاطة بدوائر متطابقة: مضلع عشاري منتظم ، ومضلع سداسي منتظم ، ومضلع خماسي منتظم . أطوال أضلاع هذه المضلعات الثلاثة ، a و b و c على التوالي ^{، تحقق المعادلة} a² + b² = ^{c² ،} لذا فإن القطع المستقيمة التي لها هذه الأطوال تُشكل مثلثًا قائم الزاوية (بحسب عكس نظرية فيثاغورس ). نسبة طول ضلع المضلع السداسي إلى طول ضلع المضلع العشاري هي النسبة الذهبية، لذا فإن هذا المثلث يُشكل نصف المستطيل الذهبي. ^{[ 8 ]}    

يشكل الغلاف المحدب لحافتين متقابلتين من مجسم عشريني الوجوه منتظم مستطيلاً ذهبياً. ويمكن تقسيم رؤوس المجسم العشريني الوجوه الاثني عشر بهذه الطريقة إلى ثلاثة مستطيلات ذهبية متعامدة، ترتبط حدودها بنمط حلقات بوروميان . ^{[ 9 ]}

لنفترض أنه تم إنشاء مستطيل ذهبي كما هو موضح أعلاه، بارتفاع 1 وطول ⁠${\displaystyle \varphi }$والطول القطري​​${\displaystyle {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}$المثلثات الموجودة على القطر لها ارتفاعات${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}\,;}$يقسم كل قدم عمودي القطر بنسبة${\displaystyle \varphi ^{2}.}$⁠

إذا رُسم خط أفقي يمر بنقطة تقاطع القطر مع الحافة الداخلية للمربع، فإن المستطيل الذهبي الأصلي والنسختين المصغرتين على طول القطر لهما أحجام خطية بنسب متناسبة.${\displaystyle \varphi ^{2}:\varphi :1\,,}$مساحة المربع والمستطيل المقابلين للقطر تساوي ⁠${\displaystyle \varphi ^{-2}.}$[ ^{10 ]​}

بالنسبة للرأس A ، تكون إحداثيات أقدام الارتفاعين U و V هي${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sqrt {5}}},{\tfrac {1}{\varphi {\sqrt {5}}}}\right)}$و${\displaystyle \left({\tfrac {\varphi ^{2}}{\sqrt {5}}},{\tfrac {\varphi }{\sqrt {5}}}\right)}$طول القطعة المستقيمة${\displaystyle {\overline {UV}}}$يساوي الارتفاع​${\displaystyle h.}$⁠

إذا تم تقسيم الرسم البياني بشكل أكبر بواسطة خطوط عمودية تمر عبر U و V ، فيمكن التعبير عن أطوال القطر وأجزائه الفرعية كدوال مثلثية ذات وسيطين 72 و 36 درجة، وهما زاويتا المثلث الذهبي :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}+{\overline {AS}}&=\tan(72)\\{\overline {AB}}={\sqrt {\varphi ^{2}+1}}&=2\sin(72)\\{\overline {AV}}=\varphi /{\overline {AS}}&=\cot(36)\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}&=2\sin(36)\\{\overline {UV}}=1/{\overline {AS}}&=\cot(36)/\varphi \\{\overline {SB}}={\overline {AS}}/\varphi &=\tan(36)\\{\overline {US}}=2/(\varphi {\overline {AB}})&=2\cot(72)\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\varphi \cot(72)\\{\overline {UV}}-{\overline {AU}}&=\cot(72)\\{\overline {SV}}=(2-\varphi )/{\overline {AB}}&=\cot(72)/\varphi ,\end{aligned}}}$

مع​${\displaystyle \varphi =2\cos(36).}$⁠

كل من أطوال الأجزاء القطرية والقيم المثلثية هي عناصر من حقل الأعداد الرباعي${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\right).}$

المعين الذهبي ذو الحافة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$له أطوال قطرية تساوي${\displaystyle {\overline {UV}}}$و​​${\displaystyle {\overline {AU}}.}$الخماسي المنتظم ذو طول الضلع${\displaystyle {\tfrac {2}{\varphi }}=\sec(36)}$له مساحة ⁠${\displaystyle 5{\overline {AU}}.}$تقسم أقطاره الخمسة الخماسي إلى مثلثات ذهبية وعلامات، ونسخة مقلوبة ومُصغّرة في المركز. وبما أن الخماسي المنتظم يُحدد بطول ضلعه وزوايا المثلث الذهبي، فإنه يترتب على ذلك أن جميع القياسات يمكن التعبير عنها بقوى العدد ⁠${\displaystyle \varphi }$والقطاعات القطرية للمستطيل الذهبي، كما هو موضح أعلاه. ^{[ 11 ]}

يؤدي تفسير المقاطع القطرية على أنها أطوال أوتار موسيقية إلى مجموعة من عشر نغمات متقابلة ،إحداها تتضاعف عند الأوكتاف . يتم رسم الفواصل على مقياس لوغاريتمي مع كون "الأوكتاف الذهبي" مساويًا لـ${\displaystyle \varphi ^{4}}$— يُظهر أنصاف نغمات متساوية ، وأثلاث صغيرة ، وثانية كبيرة واحدةفي نطاق الحادي عشر . ويؤكد التحليل الموسيقي وجود نغمة استثنائية واحدة تتناسب مع${\displaystyle {\overline {US}}}$، وهو ما يقارب التوافقي السابع بدقة ملحوظة تبلغ سنتًا واحدًا. ^{[ ب ]}

يمكن تقسيم هذه المجموعة المكونة من عشر نغمات إلى نمطين من السلم الخماسي : النمط المتناظر "المصري" (النقاط الحمراء، الصينية)روي بن دياو^ⓘ ضبط آلة الغوتشين) والوضع المهيب "البلوز الصغير" (نقاط زرقاء، صينيةرجل غونغ دياو^ⓘ ضبط).

• المثلث الذهبي – مثلث أضلاعه بنسبة ذهبية
• القطع الناقص الذهبي – قطع ناقص تكون نسبة أبعاد نصفي محوريه مطابقة للنسبة الذهبية
• مثلث كبلر – مثلث قائم الزاوية مرتبط بالنسبة الذهبية 
• المعين الذهبي – معين بأقطار بنسبة ذهبية 
• الجذر التربيعي للعدد 5 – العلاقة الجبرية بين √5 و φ
• تقليص المستطيل – قطع مربع من مستطيل 

• وايسستين، إريك دبليو. “المستطيل الذهبي” . عالم الرياضيات .
• الوسط الذهبي وفيزياء الجماليات
• من المستطيل الذهبي إلى الأشكال الرباعية الذهبية
• مقياس هاينز بولين φ بـ 833 سنتًا
• مقاييس التسلسل المتكرر لإرفين ويلسون
• شرح النسبة الذهبية من كارل سيمز