معين ذهبي

في الهندسة ، المعين الذهبي هو معين تكون أقطاره في النسبة الذهبية : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}$

بصورة مكافئة، هو متوازي أضلاع فارينيون المُشكَّل من منتصفات حواف المستطيل الذهبي . ^{[ 1 ]} تُشكِّل المعينات بهذا الشكل أوجه العديد من المجسمات متعددة السطوح البارزة. يجب التمييز بين المعين الذهبي والمعينين في تبليط بنروز ، واللذان يرتبطان بنسبة الذهب بطرق أخرى، لكنهما يختلفان في الشكل عن المعين الذهبي. ^{[ 2 ]}

(انظر إلى خصائص وخصائص المعين العامة لمعرفة خصائص الزاوية. )

الزوايا الداخلية التكميلية للمعين الذهبي هي: ^{[ 3 ]}

• الزاوية الحادة:${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$ ؛

باستخدام صيغة جمع دالة الظل العكسي (انظر الدوال المثلثية العكسية ):

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$

• زاوية منفرجة:${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$

وهي أيضاً الزاوية ثنائية السطوح للمجسم ذي الاثني عشر وجهاً . ^{[ 4 ]}

ملاحظة: مساواة "قصصية":${\displaystyle \pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3~.}$

باستخدام قانون متوازي الأضلاع (انظر الخصائص الأساسية للمعين العام ): ^{[ 5 ]}

طول ضلع المعين الذهبي بدلالة طول قطره${\displaystyle d}$يكون:

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~د\حوالي 0.95106~د~.~}$لذلك:

أطوال أقطار المعين الذهبي بدلالة طول الحافة${\displaystyle a}$هي: ^{[ 3 ]}

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$

• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$

• باستخدام صيغة مساحة المعين العام بدلالة أطوال أقطاره${\displaystyle D}$و${\displaystyle d}$ :

مساحة المعين الذهبي بدلالة طول قطره${\displaystyle d}$هو: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$

• باستخدام صيغة مساحة المعين العام بدلالة طول ضلعه${\displaystyle a}$ :

مساحة المعين الذهبي بدلالة طول ضلعه${\displaystyle a}$هو: ^{[ 3 ] [ 6 ]}

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$

ملحوظة:${\displaystyle \alpha +\beta =\pi }$، لذلك:${\displaystyle \sin \alpha =\sin \beta ~.}$

تتميز العديد من المجسمات متعددة الأوجه البارزة بأوجه معينية ذهبية. تشمل هذه المجسمات: المجسمان المعينيان الذهبيان (بستة أوجه لكل منهما)، ومجسم بيلينسكي ذو الاثني عشر وجهًا (باثني عشر وجهًا)، والمجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا (باثني عشر وجهًا)، والمجسم المعيني ذو العشرين وجهًا (بعشرين وجهًا )، والمجسم المعيني ذو الثلاثة عشر وجهًا (بثلاثين وجهًا)، والمجسم المعيني غير المحدب ذو الست عشرة وجهًا (بستين وجهًا). تُعد المجسمات الخمسة الأولى منها المجسمات المحدبة الوحيدة ذات الأوجه المعينية الذهبية، ولكن يوجد عدد لا نهائي من المجسمات غير المحدبة التي تتخذ هذا الشكل في جميع أوجهها. ^{[ 7 ]}

• 
  معين ذهبي حاد
• 
  معين ذهبي منفرج
• 
  مجسم بيلينسكي ذو الاثني عشر وجهًا
• 
  مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا
• 
  مجسم عشريني الوجوه معيني
• 
  مجسم ثلاثي الأضلاع معيني
• 
  سداسي الأوجه معيني

• المثلث الذهبي