تبليط بنروز

يُطلق على تغطية سطح مستوٍ ("المستوى") بنمط من الأشكال الهندسية ("البلاطات")، دون تداخل أو فراغات، اسم التبليط . ومن أشهر أنواع التبليط، تغطية الأرضية بمربعات متلاصقة الحواف، وهي أمثلة على التبليط الدوري . إذا تم تحريك تبليط مربع بمقدار عرض بلاطة واحدة، موازية لأضلاعها، فستكون النتيجة هي نفس نمط البلاطات كما كان قبل التحريك. يُطلق على التحريك (أو الإزاحة ) الذي يحافظ على التبليط بهذه الطريقة اسم دورة التبليط. ويُسمى التبليط دوريًا عندما تكون دوراته مُحركة في اتجاهين مختلفين. ^{[ 5 ]}

تتكون البلاطات في التبليط المربع من شكل واحد فقط، ومن الشائع أن تحتوي أنواع التبليط الأخرى على عدد محدود من الأشكال. تُسمى هذه الأشكال بالبلاطات الأولية ، ويُقال إن مجموعة من البلاطات الأولية تُتيح تبليطًا أو تُبلط المستوى إذا كان هناك تبليط للمستوى باستخدام هذه الأشكال فقط. أي أن كل بلاطة في التبليط يجب أن تكون متطابقة مع إحدى هذه البلاطات الأولية. ^{[ 6 ]}

التبليط الذي لا يحتوي على دورات يُسمى غير دوري . ويُقال إن مجموعة من البلاطات الأولية غير دورية إذا كانت جميع تبليطاتها غير دورية، وفي هذه الحالة تُسمى تبليطاتها أيضًا بالتبليطات غير الدورية . ^{[ 7 ]} تُعد تبليطات بنروز من أبسط الأمثلة المعروفة للتبليطات غير الدورية للمستوى بواسطة مجموعات منتهية من البلاطات الأولية. ^{[ 5 ]}

حظي موضوع التبليط غير الدوري باهتمام متجدد في ستينيات القرن العشرين عندما لاحظ عالم المنطق هاو وانغ وجود صلة بين مسائل القرار والتبليط. ^{[ 9 ]} وعلى وجه الخصوص، قدّم وانغ التبليط باستخدام ألواح مربعة ذات حواف ملونة، تُعرف الآن باسم دومينو وانغ أو بلاطات وانغ ، وطرح " مسألة الدومينو ": وهي تحديد ما إذا كان بإمكان مجموعة معينة من دومينو وانغ تبليط المستوى بألوان متطابقة على حواف الدومينو المتجاورة. ولاحظ أنه إذا كانت هذه المسألة غير قابلة للحل ، فلا بد من وجود مجموعة غير دورية من دومينو وانغ. في ذلك الوقت، بدا هذا الأمر غير معقول، لذا افترض وانغ أنه لا يمكن أن توجد مثل هذه المجموعة.

أثبت روبرت بيرغر، تلميذ وانغ، في أطروحته عام 1964، أن مسألة الدومينو غير قابلة للحل (وبالتالي كان تخمين وانغ خاطئًا)، ^{[ 10 ]} وحصل على مجموعة غير دورية من 20426 قطعة دومينو من نوع وانغ. ^{[ 11 ]} كما وصف اختزالًا لهذه المجموعة إلى 104 قطع أولية؛ لم يظهر هذا الأخير في دراسته المنشورة، ^{[ 12 ]} ولكن في عام 1968، فصّل دونالد كنوث تعديلًا لمجموعة بيرغر يتطلب 92 قطعة دومينو فقط. ^{[ 13 ]}

يمكن تحقيق مطابقة الألوان المطلوبة في تبليط قطع الدومينو من نوع وانغ بسهولة عن طريق تعديل حواف القطع كما لو كانت قطع أحجية، بحيث تتلاءم معًا فقط وفقًا لتلوين الحواف. ^{[ 14 ]} استخدم رافائيل روبنسون ، في ورقة بحثية نُشرت عام 1971 ^{[ 15 ]} والتي بسّطت تقنيات بيرغر وبرهان عدم الحسم، هذه التقنية للحصول على مجموعة غير دورية مكونة من ست قطع أولية فقط. ^{[ 16 ]}

يُعدّ تبليط بنروز الأول (التبليط P1 أدناه) مجموعةً غير دورية من ستة أشكال أولية، قدّمها روجر بنروز في بحثٍ نُشر عام 1974، ^{[ 18 ]} وهي قائمة على الخماسيات بدلًا من المربعات. أي محاولة لتبليط السطح بخماسيات منتظمة تُخلّف بالضرورة فجوات، لكن يوهانس كيبلر بيّن، في كتابه "هارمونيسيس موندي" عام 1619 ، أنه يُمكن ملء هذه الفجوات باستخدام النجوم الخماسية ( المضلعات النجمية )، والأشكال العشرية، والأشكال المشابهة. ^{[ 19 ]} قام كيبلر بتوسيع هذا التبليط بخمسة مضلعات ولم يجد أي أنماط دورية، وكان قد افترض أن كل توسيع سيُضيف ميزة جديدة ^{[ 20 ]،} وبالتالي إنشاء تبليط غير دوري. يمكن أيضًا العثور على آثار لهذه الأفكار في أعمال ألبريشت دورر . ^{[ 21 ]} وباعترافه بإلهامه من كيبلر، وجد بنروز قواعد مطابقة لهذه الأشكال، وحصل على مجموعة غير دورية. يمكن فرض قواعد المطابقة هذه من خلال زخارف الحواف، كما هو الحال مع بلاطات وانغ. ويمكن اعتبار تبليط بنروز استكمالاً لنمط كيبلر المحدود Aa . ^{[ 22 ]}

قام بنروز لاحقًا بتقليص عدد البلاطات الأولية إلى اثنتين، مكتشفًا تبليط الطائرة الورقية والسهام (التبليط P2 أدناه) وتبليط المعين (التبليط P3 أدناه). ^{[ 23 ]} اكتشف روبرت أمان تبليط المعين بشكل مستقل عام 1976. ^{[ 24 ]} درس بنروز وجون إتش. كونواي خصائص تبليطات بنروز، واكتشفا أن خاصية الاستبدال تفسر طبيعتها الهرمية؛ وقد نشر مارتن غاردنر نتائج بحثهما في عموده " الألعاب الرياضية " في مجلة ساينتفك أمريكان في يناير 1977. ^{[ 25 ]}

في عام ١٩٨١، قدّم إن جي دي بروين طريقتين مختلفتين لإنشاء تبليطات بنروز. تعتمد طريقة دي بروين "الشبكة المتعددة" على الحصول على تبليطات بنروز كرسوم بيانية ثنائية لترتيبات خمس مجموعات من الخطوط المتوازية. أما في "طريقة القطع والإسقاط"، فتُستخرج تبليطات بنروز كإسقاطات ثنائية الأبعاد من بنية مكعبة خماسية الأبعاد . في هاتين الطريقتين، يُنظر إلى تبليط بنروز على أنه مجموعة من النقاط، تُسمى رؤوسه، بينما تُمثل البلاطات أشكالًا هندسية ناتجة عن توصيل الرؤوس بالحواف. ^{[ ٢٦ ]} وفي عام ١٩٩٠، استنتج باكه، وكريمر، وشلوتمان، وزايدلر تبليط بنروز وتبليط مثلث توبنغن المرتبط به بطريقة مماثلة من خلية النحل رباعية الأبعاد ذات الخمس خلايا . ^{[ ٢٧ ]}

تبليط من النوع P1 باستخدام مجموعة بنروز الأصلية المكونة من ستة بلاطات أولية

بلاطات Penrose P1 مع أقواس دائرية وعقد متراكبة لفرض قواعد التبليط

يستخدم بنروز في أول تبليط له أشكالًا خماسية وثلاثة أشكال أخرى: "نجمة" خماسية (خماسي الأضلاع)، و"قارب" (يُعرف أيضًا باسم "قبعة العدالة"، ^{[ 30 ]} وهو تقريبًا 3/5 من نجمة)، و"معين" (معين رفيع). ^{[ 31 ]} ولضمان أن جميع التبليطات غير دورية، هناكقواعد المطابقة التي تحدد كيفية التقاء البلاطات، وهناك ثلاثة أنواع مختلفة من قواعد المطابقة للبلاطات الخماسية. وباعتبار هذه الأنواع الثلاثة بلاطات أولية مختلفة، نحصل على مجموعة من ست بلاطات أولية إجمالاً. ومن الشائع تمييز الأنواع الثلاثة المختلفة للبلاطات الخماسية باستخدام ثلاثة ألوان مختلفة، كما هو موضح في الشكل أعلاه على اليمين. ^{[ 32 ]}

يستخدم بنروز في تبليطه الثاني أشكالًا رباعية تُسمى "الطائرة الورقية" و"السهم"، والتي يمكن دمجها لتكوين معين. إلا أن قواعد المطابقة تمنع هذا الدمج. ^{[ 33 ]} يتكون كل من الطائرة الورقية والسهم من مثلثين، يُطلق عليهما مثلثات روبنسون ، نسبةً إلى ملاحظات روبنسون عام 1975. ^{[ 34 ]}

بلاطات الطائرة الورقية والسهام (أعلى) والأشكال السبعة الممكنة للرؤوس في تبليط P2، والتي يُطلق على كل منها أسماء مستعارة كما يلي  : الصف الأول: نجمة، آس، شمس. الصف الثاني: ملك، ولد، ملكة، اثنان

• الطائرة الورقية شكل رباعي الأضلاع، زواياه الداخلية الأربع هي 72، 72، 72، و144 درجة. يمكن تنصيف الطائرة الورقية على طول محور تناظرها لتكوين زوج من مثلثات روبنسون الحادة (بزوايا 36، 72، و72 درجة).
• الشكل السهمي هو شكل رباعي غير محدب، زواياه الداخلية الأربع هي 36 و72 و36 و216 درجة. يمكن تنصيف هذا الشكل على طول محور تناظره لتكوين زوج من مثلثات روبنسون المنفرجة (بزوايا 36 و36 و108 درجة)، وهي أصغر من المثلثات الحادة.

يمكن وصف قواعد المطابقة بعدة طرق. إحدى هذه الطرق هي تلوين الرؤوس (بلونين، مثلاً الأسود والأبيض) واشتراط تطابق رؤوس البلاطات المتجاورة. ^{[ 35 ]} طريقة أخرى هي استخدام نمط من الأقواس الدائرية (كما هو موضح أعلاه على اليسار باللونين الأخضر والأحمر) لتقييد وضع البلاطات: عندما تشترك بلاطتان في حافة واحدة في التبليط، يجب أن تتطابق الأنماط عند هذه الحواف. ^{[ 23 ]}

غالبًا ما تفرض هذه القواعد وضع قطع معينة: على سبيل المثال، يجب ملء الرأس المقعر لأي قطعة على شكل سهم بقطعتين على شكل طائرة ورقية. يُطلق كونواي على الشكل المقابل (وسط الصف العلوي في الصورة السفلية على اليسار) اسم "الآس"؛ على الرغم من أنه يبدو كطائرة ورقية مكبرة، إلا أنه لا يُرصّف بنفس الطريقة. ^{[ 36 ]} وبالمثل، يجب ملء الرأس المقعر المتكون عند التقاء طائرتين ورقيتين على طول حافة قصيرة بقطعتين على شكل سهم (أسفل اليمين). في الواقع، هناك سبع طرق ممكنة فقط لتقاء القطع عند رأس ما؛ اثنان من هذه الأشكال - وهما "النجمة" (أعلى اليسار) و"الشمس" (أعلى اليمين) - لهما تناظر ثنائي السطوح خماسي (عن طريق الدوران والانعكاس)، بينما للباقي محور انعكاس واحد (عمودي في الصورة). ^{[ 37 ]} باستثناء الآس (أعلى المنتصف) والشمس، تفرض جميع أشكال الرؤوس هذه وضع قطع إضافية. ^{[ 38 ]}

قاعدة مطابقة معينات بنروز باستخدام أقواس دائرية أو تعديلات على الحواف لفرض قواعد التبليط

قاعدة مطابقة معينات بنروز باستخدام الحواف المكافئة لفرض قواعد التبليط

تبليط بنروز من النوع P3 باستخدام معينات بنروز ذات حواف مكافئة

يستخدم التبليط الثالث زوجًا من المعينات (يُشار إليها غالبًا باسم " المعينات " في هذا السياق) ذات أضلاع متساوية ولكن بزوايا مختلفة. ^{[ 11 ]} يمكن استخدام بلاطات عادية على شكل معينات لتبليط السطح بشكل دوري، لذا يجب وضع قيود على كيفية تجميع البلاطات: لا يجوز أن تُشكّل بلاطتان متوازي أضلاع، لأن ذلك سيسمح بالتبليط الدوري، ولكن هذا القيد ليس كافيًا لفرض عدم الدورية، كما هو موضح في الشكل 1 أعلاه .

يوجد نوعان من البلاط، وكلاهما يمكن تحليله إلى مثلثات روبنسون. ^{[ 34 ]}

• للمعين الرقيق t أربعة أركان بزوايا قياسها 36 و144 و36 و144 درجة. يمكن تنصيف المعين t على طول قطره القصير لتكوين زوج من مثلثات روبنسون الحادة.
• يحتوي المعين السميك T على زوايا قياسها 72 و108 و72 و108 درجة. يمكن تنصيف المعين T على طول قطره الطويل لتشكيل زوج من مثلثات روبنسون المنفرجة؛ وعلى عكس تبليط P2، فإن هذه المثلثات أكبر من المثلثات الحادة.

تُميّز قواعد التطابق بين جوانب البلاطات، وتستلزم إمكانية وضع البلاطات جنبًا إلى جنب بطرق معينة دون غيرها. يوضح الشكل على اليمين طريقتين لوصف هذه القواعد. في إحداهما، يجب تجميع البلاطات بحيث تتطابق المنحنيات على أوجهها في اللون والموضع على طول الحافة. ​​وفي الأخرى، يجب تجميع البلاطات بحيث تتلاءم النتوءات على حوافها معًا. ^{[ 11 ]}

يوجد 54 تركيبة مرتبة دوريًا من هذه الزوايا التي يصل مجموعها إلى 360 درجة عند رأس معين، لكن قواعد التبليط تسمح بظهور سبع تركيبات فقط من هذه التركيبات (على الرغم من أن إحداها تنشأ بطريقتين). ^{[ 39 ]}

تسمح التركيبات المختلفة للزوايا وانحناءات الوجه ببناء بلاطات معقدة بشكل تعسفي، مثل دجاجات بنروز . ^{[ 40 ]}

تتضمن العديد من خصائص وميزات بلاطات بنروز النسبة الذهبية${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$(حوالي 1.618). ^{[ 34 ] [ 35 ]} هذه هي نسبة أطوال الأوتار إلى أطوال الأضلاع في خماسي منتظم ، وهي تحقق φ = 1 + 1/ φ .

وبالتالي، فإن نسبة أطوال الأضلاع الطويلة إلى الأضلاع القصيرة في مثلثات روبنسون ( متساوية الساقين ) هي φ : 1. ويترتب على ذلك أن نسبة أطوال الأضلاع الطويلة إلى الأضلاع القصيرة في كل من بلاطات الطائرة الورقية وبلاطات السهم هي أيضًا φ : 1 ، وكذلك نسب أطوال الأضلاع إلى القطر القصير في المعين الرقيق t ، ونسب القطر الطويل إلى الأضلاع في المعين السميك T. في كل من تبليطات P2 وP3، فإن نسبة مساحة مثلث روبنسون الأكبر إلى مساحة المثلث الأصغر هي φ : 1 ، وبالتالي فإن نسب مساحات الطائرة الورقية إلى السهم، والمعين السميك إلى المعين الرقيق هي أيضًا φ : 1. (يمكن العثور على مثلثات روبنسون المنفرجة الأكبر والأصغر في الشكل الخماسي على اليسار: المثلثات الأكبر في الأعلى - أنصاف المعين السميك - لها أبعاد خطية مكبرة بمقدار φ مقارنة بالمثلث المظلل الصغير في القاعدة، وبالتالي فإن نسبة المساحات هي φ ² :1 .)

أي تبليط بنروز يتمتع بتناظر خماسي محلي، بمعنى أن هناك نقاطًا في التبليط محاطة بتكوين متناظر من البلاطات: تتمتع هذه التكوينات بتناظر دوراني خماسي حول النقطة المركزية، بالإضافة إلى خمسة خطوط تناظر انعكاسي تمر عبر النقطة، وهي مجموعة تناظر ثنائية السطوح . ^{[ 11 ]} يحافظ هذا التناظر عمومًا على رقعة من البلاطات حول النقطة المركزية فقط، ولكن يمكن أن تكون هذه الرقعة كبيرة جدًا: أثبت كونواي وبنروز أنه كلما انغلقت المنحنيات الملونة على تبليط P2 أو P3 في حلقة، فإن المنطقة داخل الحلقة تتمتع بتناظر خماسي، وعلاوة على ذلك، في أي تبليط، يوجد على الأكثر منحنيان من كل لون لا ينغلقان. ^{[ 41 ]}

لا يمكن أن يكون هناك أكثر من مركز واحد للتناظر الخماسي العالمي: فلو كان هناك أكثر من مركز، فإن تدوير كل مركز حول الآخر سينتج عنه مركزان أقرب للتناظر الخماسي، مما يؤدي إلى تناقض رياضي. ^{[ 42 ]} يوجد نوعان فقط من تبليط بنروز (من كل نوع) بتناظر خماسي عالمي: بالنسبة لتبليط P2 باستخدام الطائرات الورقية والسهام، يكون المركز إما رأس "شمس" أو رأس "نجمة". ^{[ 43 ]}

تستمد العديد من السمات المشتركة لتبليطات بنروز من بنية خماسية هرمية تُحددها قواعد الاستبدال : ويُشار إلى ذلك غالبًا باسم التضخيم والانكماش ، أو التركيب والتفكيك ، للتبليطات أو (مجموعات) البلاطات. ^{[ 11 ] [ 25 ] [ 44 ]} تعمل قواعد الاستبدال على تفكيك كل بلاطة إلى بلاطات أصغر بنفس شكل البلاطات المستخدمة في التبليط (وبالتالي تسمح بتركيب بلاطات أكبر من بلاطات أصغر). يُظهر هذا أن تبليط بنروز يتمتع بتشابه ذاتي في الحجم، وبالتالي يمكن اعتباره شكلًا كسريًا ، باستخدام نفس عملية الرقاقة الخماسية . ^{[ 45 ]}

اكتشف بنروز تبليط P1 بهذه الطريقة، وذلك بتقسيم خماسي إلى ستة خماسيات أصغر (نصف شبكة مجسم ذي اثني عشر وجهًا ) وخمسة أنصاف معينات؛ ثم لاحظ أنه عند تكرار هذه العملية، يمكن ملء الفراغات بين الخماسيات بنجوم ومعينات وقوارب (أو "قبعات العدالة"، كما وصفها) وخماسيات أخرى. ^{[ 31 ] وبتكرار هذه العملية إلى ما لا نهاية ،} حصل على أحد تبليطي P1 ذوي التناظر ^{الخماسي . [ 11 ] [ 22 ]}

تحليلات مثلث روبنسون

يمكن وصف طريقة الاستبدال لكل من تبليط P2 وP3 باستخدام مثلثات روبنسون ذات الأحجام المختلفة. تُسمى مثلثات روبنسون الناتجة عن تبليط P2 (عن طريق تنصيف أشكال الطائرات الورقية والسهام) بالبلاطات A، بينما تُسمى تلك الناتجة عن تبليط P3 (عن طريق تنصيف المعينات) بالبلاطات B. ^{[ 34 ]} البلاطة A الأصغر، ويرمز لها _{بـ AS} ، هي مثلث روبنسون منفرج الزاوية ، بينما البلاطة A الأكبر، ويرمز لها بـ _L ، هي مثلث حاد الزاوية ؛ في المقابل، البلاطة B الأصغر، ويرمز لها بـ _BS ، هي مثلث روبنسون حاد الزاوية، بينما البلاطة B الأكبر، ويرمز لها بـ _L ، هي مثلث منفرج الزاوية.

بصورةٍ أدق، إذا كان طول ضلع المربع A _S هو (1، 1، φ ) ، فإن طول ضلع المربع A _L هو ( φ ، φ ، 1) . ويمكن ربط البلاطات B بالبلاطات A بطريقتين:

• إذا ^كان _{لـ BS} نفس حجم AL فإن BL هو نسخة مكبرة φAS من AS _{، بأطوال} أضلاع ( φ ، φ ، φ2 ₌ 1 + _φ ) - وهذا ينقسم إلى بلاطة AL وبلاطة AS متصلتين _على طول _ضلع مشترك طوله 1.
• إذا تم تعريف BL بدلاً من ذلك مع A _{S ، فإن BS هو نسخة مصغرة (1/ φ )AL من A L بأطوال} أضلاع ₍ 1 / φ ، 1 / _φ ، 1 ₎ - إن ضم بلاطة BS وبلاطة BL _على طول ضلع مشترك _بطول 1 ينتج عنه (تفكيك) بلاطة A _L.

في هذه التحليلات، يبدو أن هناك غموضًا: يمكن تحليل مثلثات روبنسون بطريقتين، وهما صورتان معكوسة لبعضهما البعض حول محور التناظر (متساوي الساقين) للمثلث. في تبليط بنروز، يُحدد هذا الاختيار بقواعد المطابقة. علاوة على ذلك، تحدد قواعد المطابقة أيضًا كيفية تركيب المثلثات الأصغر في التبليط لتكوين مثلثات أكبر. ^{[ 34 ]}

تضخيم جزئي للنجمة لإنتاج معينات، وتضخيم مجموعة من المعينات لإنتاج ورقة الآس.

يستنتج من ذلك أن تبليطي P2 وP3 قابلتان للاشتقاق المحلي المتبادل : إذ يمكن استخدام تبليط بمجموعة من البلاطات لتوليد تبليط بمجموعة أخرى. على سبيل المثال، يمكن تقسيم تبليط باستخدام أشكال الطائرات الورقية والسهام إلى بلاطات A، ويمكن تركيب هذه البلاطات بطريقة قياسية لتشكيل بلاطات B، ومن ثم المعينات. ^{[ 17 ]} كما أن تبليطي P2 وP3 قابلتان للاشتقاق المحلي المتبادل مع تبليط P1 (انظر الشكل 2 أعلاه ). ^{[ 46 ]}

يمكن كتابة تفكيك البلاطات من النوع B إلى البلاطات من النوع A على النحو التالي $${\displaystyle {\rm {B_{S}=A_{L},\quad B_{L}=A_{L}+A_{S}}}}$$ (بافتراض اتفاقية الحجم الأكبر للبلاطات B)، والتي يمكن تلخيصها في معادلة مصفوفة الاستبدال : ^{[ 47 ]}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$$ يؤدي الجمع بين هذا وتفكيك بلاطات φ A الموسعة إلى بلاطات B إلى الاستبدال $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,,}$$ بحيث تتفكك البلاطة المكبرة φAL إلى _{بلاطتين} AL وبلاطة _{AS واحدة} . تفرض قواعد المطابقة استبدالًا محددًا: يجب أن تُشكّل البلاطتان AL في _بلاطة φAL شكلًا يشبه الطائرة الورقية ^{، وبالتالي تتفكك الطائرة الورقية إلى طائرتين ورقيتين ونصف سهمين، ويتفكك السهم إلى طائرة ورقية ونصف سهمين. [48]} _[ 49 ] ^{تتفكك بلاطات φB المكبرة إلى} بلاطات B بطريقة مماثلة (عبر بلاطات φA ).

يمكن تكرار عملية التركيب والتفكيك، بحيث، على سبيل المثال $${\displaystyle \varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$$يتم تحديد عدد الطائرات الورقية والسهام في التكرار رقم n من عملية البناء بواسطة القوة رقم n لمصفوفة الاستبدال: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}\,,}$$ حيث F _{_n} هو العدد النوني في متتالية فيبوناتشي . وبالتالي، فإن نسبة عدد الأشكال الهندسية (الطائرات الورقية) إلى عدد الأشكال الهندسية (السهام) في أي نمط تبليط بنروز P2 كبير بما فيه الكفاية تقترب من النسبة الذهبية φ . ^{[ 50 ]} وينطبق الأمر نفسه على نسبة عدد المعينات السميكة إلى عدد المعينات الرقيقة في تبليط بنروز P3. ^{[ 48 ]}

تفريغ الهواء لبلاطات P2 و P3

انكماشات متتالية لرأس "الشمس" في تبليط بنروز من النوع P2

انكماشات متتالية لمجموعة بلاطات في تبليط بنروز من النوع P3

الانكماش الثامن لرأس "الشمس" في تبليط بنروز من النوع P2

تبدأ عملية الانكماش بمجموعة من البلاطات من تبليط معين (قد تكون بلاطة واحدة، أو تبليطًا للسطح المستوي، أو أي مجموعة أخرى)، وتتم عبر سلسلة من الخطوات تُسمى الأجيال. في كل جيل من الانكماش، تُستبدل كل بلاطة ببلاطتين جديدتين أو أكثر، وهما نسخ مصغرة من البلاطات المستخدمة في التبليط الأصلي. تضمن قواعد الاستبدال ترتيب البلاطات الجديدة وفقًا لقواعد المطابقة. ^{[ 48 ]} ينتج عن تكرار أجيال الانكماش تبليطٌ للشكل الأصلي للبديهية ببلاطات أصغر فأصغر.

هذه القاعدة لتقسيم البلاطات هي قاعدة تقسيم فرعي .

إحدى خطوات قواعد الاستبدال لبلاطات بنروز الخاصة بالطائرة الورقية والسهام.

أربع نسخ من استبدال الطائرة الورقية والسهام.

اسم	البلاطات الأولية	الجيل الأول	الجيل الثاني	الجيل الثالث
نصف طائرة ورقية
نصف سهم
شمس
نجم

يجب استخدام الجدول أعلاه بحذر. إن تفريغ نصف الطائرة الورقية ونصف السهم مفيد فقط عند تفريغ نمط أكبر كما هو موضح في تفريغ الشمس والنجمة. ويعطي نتائج غير صحيحة عند تطبيقه على طائرات ورقية وسهام منفردة.

بالإضافة إلى ذلك، تُنتج قاعدة التقسيم البسيطة ثقوبًا بالقرب من حواف التبليط، وهي ظاهرة بالكاد في الرسمين التوضيحيين العلوي والسفلي على اليمين. لذا، فإن قواعد الإجبار الإضافية مفيدة.

في عام ١٩٩٦، برهنت عالمة الرياضيات الألمانية بيترا غوميلت على إمكانية إنشاء تغطية (تُسمى كذلك لتمييزها عن التبليط غير المتداخل) تُكافئ تبليط بنروز باستخدام بلاطة عشرية واحدة، شريطة السماح بنوعين من مناطق التداخل. ^{[ ٥٣ ]} تُزيّن البلاطة العشرية ببقع ملونة، ولا تسمح قاعدة التغطية إلا بالتداخلات المتوافقة مع التلوين. ويؤدي تقسيم البلاطة العشرية إلى أشكال طائرة ورقية وسهام إلى تحويل هذه التغطية إلى تبليط بنروز (P2). وبالمثل، يمكن الحصول على تبليط P3 برسم معين سميك داخل كل عشري؛ وتُملأ المساحة المتبقية بمعينات رقيقة.

تُعتبر هذه الأغطية نموذجًا واقعيًا لنمو أشباه البلورات : فالأشكال العشرية المتداخلة تُشكل "خلايا شبه وحدة" تُشابه خلايا الوحدة التي تُبنى منها البلورات، وتعمل قواعد المطابقة على زيادة كثافة بعض التجمعات الذرية إلى أقصى حد. ^{[ 52 ] [ 54 ]} قد تُصعّب الطبيعة غير الدورية لهذه الأغطية الدراسات النظرية للخصائص الفيزيائية، مثل البنية الإلكترونية، نظرًا لغياب نظرية بلوخ . ومع ذلك، لا يزال من الممكن حساب أطياف أشباه البلورات مع التحكم في الخطأ. ^{[ 55 ]}

يمكن اشتقاق الأنواع الثلاثة المختلفة لتبليط بنروز محليًا بشكل متبادل. يسمح اختيار بعض المجموعات الفرعية من رؤوس تبليط P1 بإنتاج تبليطات أخرى غير دورية. إذا تم ترقيم زوايا أحد الخماسيات في P1 بالتتابع بالأرقام 1، 3، 5، 2، 4، فسيتم تحديد ترقيم واضح لجميع الخماسيات، ويكون الترتيب إما باتجاه عقارب الساعة أو عكسها. تحدد النقاط التي تحمل نفس الترقيم تبليطًا باستخدام مثلثات روبنسون، بينما تحدد النقاط التي تحمل الرقمين 3 و4 رؤوس تبليط تاي آند نافيت. ^{[ 56 ]}

توجد أيضًا تبليطات أخرى غير متكافئة ذات صلة، مثل تبليط السداسي-القارب-النجمة وتبليط ميكولا - روث. على سبيل المثال، إذا اختُزلت قواعد المطابقة لتبليط المعين إلى قيد محدد على الزوايا المسموح بها عند كل رأس، نحصل على تبليط ثنائي. ^{[ 57 ]} يتميز هذا التبليط بتناظر خماسي، ولكنه ليس شبه بلورة. يمكن الحصول عليه إما بتزيين معينات التبليط الأصلي بمعينات أصغر، أو بتطبيق قواعد الاستبدال، ولكن ليس باستخدام طريقة دي بروين للقطع والإسقاط. ^{[ 58 ]}

• بيرغر، ر. (1966). عدم قابلية حل مسألة الدومينو . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية. المجلد  66. ISBN 978-0-8218-1266-2..
• دي بروين، إن جي (1981). “النظرية الجبرية لبلاطات بنروز غير الدورية للمستوى، I، II” (PDF) . Indagationes Mathematicae . 43 (1): 39-66 . دوى : 10.1016 / 1385-7258(81)90017-2 ..
• جوميلت، البتراء (1996). "بلاطات بنروز كأغطية لأشكال عشرية متطابقة" . Geometriae Dedicata . 62 (1): 1– 17. دوى : 10.1007/BF00239998 . السيد 1400977 . زبل 0893.52011 .  
• بينروز، روجر (1974). "دور علم الجمال في البحث الرياضي البحت والتطبيقي". نشرة معهد الرياضيات وتطبيقاتها . 10 : 266 وما بعدها..
• US 4133152 ، بينروز ، روجر ، "مجموعة من البلاط لتغطية سطح ما"، نُشر في 9 يناير 1979  .
• روبنسون، ر.م. (1971). "عدم الحسم وعدم الدورية لتبليطات المستوى". Inventiones Mathematicae . 12 (3): 177–190 . Bibcode : 1971InMat..12..177R . doi : 10.1007/BF01418780 . S2CID 14259496 . .
• شيختمان، د.؛ بليخ، إ.؛ غراتياس، د.؛ كاهن، ج. و. (1984). "طور معدني ذو ترتيب اتجاهي بعيد المدى وبدون تناظر انتقالي" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 53 (20): 1951-1953 . رمز Bibcode : 1984PhRvL..53.1951S . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 .
• وانغ، هـ. (1961). "إثبات النظريات عن طريق التعرف على الأنماط II". مجلة بيل سيستم التقنية . 40 : 1-42 . doi : 10.1002/j.1538-7305.1961.tb03975.x ..

• أوستن، ديفيد (2005أ). "بلاطات بنروز تتحدث عبر الأميال" . بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية..
• أوستن، ديفيد (2005ب). "بلاطات بنروز المربوطة بشرائط" . بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكية..
• كولبروك، ماثيو؛ رومان، بوغدان؛ هانسن، أندرس (2019). "كيفية حساب الأطياف مع التحكم في الخطأ" . رسائل المراجعة الفيزيائية . 122 (25) 250201. رمز Bibcode : 2019PhRvL.122y0201C . doi : 10.1103/PhysRevLett.122.250201 . PMID 31347861. S2CID 198463498 .  
• كوليك، كاريل؛ كاري، جاركو (1997). "حول المجموعات غير الدورية لبلاطات وانغ". أسس علوم الحاسوب . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  1337. الصفحات 153-162 . doi : 10.1007/BFb0052084 . ISBN  978-3-540-63746-2.
• غاردنر، مارتن (1997). من بلاطات بنروز إلى شفرات الباب الخلفي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-88385-521-8.(نُشر لأول مرة بواسطة دبليو إتش فريمان، نيويورك (1989)، رقم ISBN) 978-0-7167-1986-1.)
  • الفصل الأول (الصفحات  ١-١٨ ) هو إعادة طبع لمقال غاردنر، مارتن (يناير ١٩٧٧). "تبليط غير دوري استثنائي يُثري نظرية البلاط". مجلة ساينتفك أمريكان . المجلد ٢٣٦، العدد ١ ، الصفحات ١١٠-١٢١ . رمز Bibcode : 1977SciAm.236a.110G . doi : 10.1038/scientificamerican0177-110 .   .
• جودريش، سي؛ لانكون، إف. (1992). "مثال بسيط على تبليط غير بيزو ذي تناظر خماسي" . مجلة الفيزياء 1. 2 ( 2): 207-220 . Bibcode : 1992JPhy1...2..207G . doi : 10.1051/jp1:1992134 . S2CID 120168483 . .
• غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جي سي (1987). التبليط والأنماط . نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 978-0-7167-1193-3..
• كيمب، مارتن (2005). "العلم في الثقافة: خدعة البلاط" . مجلة نيتشر . 436 (7049): 332. رمز Bibcode : 2005Natur.436..332K . doi : 10.1038/436332a ..
• لانكون، فريدريك؛ بيلارد، لوك (1988). "نظام ثنائي الأبعاد ذو حالة أساسية شبه بلورية" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء . 49 (2): 249-256 . CiteSeerX 10.1.1.700.3611 . doi : 10.1051/jphys:01988004902024900 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 20 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه في 28 نوفمبر 2009 . .
• لورد، إي. أ.؛ رانغاناثان، س. (2001). "المضلع العشري غوميلت باعتباره "خلية وحدة شبه"( ملف PDF) . Acta Crystallographica . A57 (5): 531–539 . CiteSeerX 10.1.1.614.3786 . doi : 10.1107/S0108767301007504 . PMID 11526302. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 21 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 ديسمبر 2009 .  
• لو، بيتر جيه؛ شتاينهارت، بول جيه (2007). "البلاط ذو الشكل العشري وشبه البلوري في العمارة الإسلامية في العصور الوسطى" ( ملف PDF) . مجلة ساينس . 315 (5815): 1106-1110 . رمز Bibcode : 2007Sci...315.1106L . doi : 10.1126/science.1135491 . PMID 17322056. S2CID 10374218 .  .
• لوك، ر. (2000). "دورر-كبلر-بنروز: تطور التبليط الخماسي". علم وهندسة المواد . 294 (6): 263-267 . doi : 10.1016/S0921-5093(00)01302-2 ..
• ماكوفيكي، إي. (1992). "التبليط الخماسي الذي يعود تاريخه إلى 800 عام من مراغة، إيران، والأنواع الجديدة من التبليط غير الدوري التي استوحى منها" . في: إي. هارغيتاي (محرر). التناظر الخماسي . سنغافورة - لندن: وورلد ساينتيفيك. ص 67-86 . ISBN  978-981-02-0600-0..
• بينروز، روجر (1978). "الخماسي" (ملف PDF) . يوريكا . المجلد  39. الصفحات 16-22 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 9 أغسطس 2022. تم الاطلاع عليه في 2 فبراير 2021 . (أرقام الصفحات المذكورة هنا مأخوذة من النسخة المنشورة تحت عنوان: Penrose, R. (1979–80). "Pentaplexity: A class of non-periodic pilings of the plane". The Mathematical Intelligencer . 2 : 32–37 . doi : 10.1007/BF03024384 . S2CID 120305260 . .)
• رادين، تشارلز (أبريل 1996). "مراجعة كتاب: البلورات شبه الدورية والهندسة" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 43 (4): 416-421 .
• سينشال، مارجوري (1996). البلورات شبه الدورية والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-57541-6..
• ستاينهارت، بول جيه؛ جيونغ، هيونغ تشاي (1996). "نهج أبسط لتبليط بنروز مع آثار على تكوين أشباه البلورات". مجلة نيتشر . 382 (1 أغسطس): 431-433 . Bibcode : 1996Natur.382..431S . doi : 10.1038/382431a0 . S2CID 4354819 . .
• زاسلافسكي، جي إم؛ ساجدييف، روالد زد؛ أوسيكوف، دي إيه؛ تشيرنيكوف، إيه إيه (1988). "الفوضى الدنيا، والشبكة العشوائية، وبنى تناظر شبه البلورات". الفيزياء السوفيتية أوسبيخي . 31 (10): 887-915 . Bibcode : 1988SvPhU..31..887Z . doi : 10.1070/PU1988v031n10ABEH005632 ..