استبدال البلاط

في الهندسة، يُعدّ استبدال البلاطات طريقةً لإنشاء تبليطات عالية التنظيم . والأهم من ذلك، أن بعض عمليات استبدال البلاطات تُنتج تبليطات غير دورية ، وهي تبليطات لا تقبل بلاطاتها الأولية أي تبليط ذي تناظر انتقالي . وأشهر هذه التبليطات هي تبليطات بنروز . وتُعتبر تبليطات الاستبدال حالات خاصة من قواعد التقسيم الفرعي المحدود ، والتي لا تتطلب أن تكون البلاطات صلبة هندسيًا.

يتم وصف استبدال البلاطة بواسطة مجموعة من البلاطات الأولية (أشكال البلاطات).${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}}$خريطة متنامية${\displaystyle Q}$وقاعدة تشريح توضح كيفية تشريح النماذج الأولية الموسعة.${\displaystyle QT_{i}}$لتكوين نسخ من بعض النماذج الأولية${\displaystyle T_{j}}$بشكل بديهي، ينتج عن تكرارات استبدال البلاطات المتزايدة تبليطًا للمستوى يُسمى تبليط الاستبدال . بعض تبليطات الاستبدال دورية ، أي أنها تتمتع بتناظر انتقالي . يمكن "فرض" كل تبليط استبدال (في ظل شروط معينة) بقواعد مطابقة، أي أنه توجد مجموعة من البلاطات المميزة التي لا يمكنها تشكيل سوى تبليطات الاستبدال التي يُنتجها النظام. وتكون التبليطات الناتجة عن هذه البلاطات المميزة غير دورية بالضرورة . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

مثال بسيط ينتج عنه تبليط دوري يحتوي على بلاطة أولية واحدة فقط، وهي المربع:

بتكرار عملية استبدال البلاطات هذه، تُغطى مساحات متزايدة من السطح بشبكة مربعة. يظهر أدناه مثال أكثر تعقيدًا باستخدام بلاطتين أوليّتين، حيث دُمجت خطوتا التكبير والتقسيم في خطوة واحدة.

يمكن للمرء أن يستنتج بديهيًا كيف تُنتج هذه العملية تبليطًا استبداليًا للمستوى بأكمله . يرد أدناه تعريف رياضي دقيق. تُعدّ التبليطات الاستبدالية مفيدة بشكل خاص في تعريف التبليطات غير الدورية ، والتي تُمثّل موضوعًا ذا أهمية في العديد من فروع الرياضيات ، بما في ذلك نظرية الأوتوماتا ، والتوافقية ، والهندسة المنفصلة ، ​​والأنظمة الديناميكية ، ونظرية الزمر ، والتحليل التوافقي ، ونظرية الأعداد ، بالإضافة إلى علم البلورات والكيمياء . وعلى وجه الخصوص، يُعدّ تبليط بنروز الشهير مثالًا على التبليط الاستبدالي غير الدوري.

في عامي 1973 و1974، اكتشف روجر بنروز عائلة من التبليطات غير الدورية، تُعرف الآن باسم تبليطات بنروز . وُصفت هذه التبليطات لأول مرة باستخدام "قواعد المطابقة"، حيث عُوملت القطع الأولية كقطع أحجية . ويستند برهان إمكانية تجميع نسخ من هذه القطع الأولية لتشكيل تبليط على المستوى، ولكن ليس بشكل دوري، إلى بنية يمكن صياغتها كتبليط استبدالي للقطع الأولية. في عام 1977، اكتشف روبرت أمان عددًا من مجموعات القطع الأولية غير الدورية، أي القطع الأولية ذات قواعد المطابقة التي تُجبر على تكوين تبليطات غير دورية؛ وعلى وجه الخصوص، أعاد اكتشاف المثال الأول لبنروز. كان لهذا العمل أثر كبير على العلماء العاملين في علم البلورات ، مما أدى في النهاية إلى اكتشاف أشباه البلورات . وبدورها، أدى الاهتمام بأشباه البلورات إلى اكتشاف العديد من التبليطات غير الدورية ذات الترتيب الجيد. يمكن وصف العديد منها بسهولة بأنها تبليطات بديلة.

سننظر في المناطق في${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$التي تتسم بالسلوك الجيد ، بمعنى أن المنطقة هي مجموعة فرعية مضغوطة غير فارغة تمثل إغلاقًا لداخلها .

نأخذ مجموعة من المناطق${\displaystyle \mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}}$كبلاطات أولية. وضع بلاطة أولية${\displaystyle T_{i}}$هو زوج${\displaystyle (T_{i},\varphi )}$أين${\displaystyle \varphi }$هو تماثل قياس لـ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$الصورة${\displaystyle \varphi (T_{i})}$تُسمى هذه المنطقة منطقة التوضع. التبليط T هو مجموعة من مواضع البلاطات الأولية التي تكون مناطقها الداخلية منفصلة تمامًا. نقول إن التبليط T هو تبليط لـ W حيث W هو اتحاد مناطق المواضع في T.

غالبًا ما يكون تعريف استبدال البلاط غير دقيق في الأدبيات. وفيما يلي تعريف دقيق له. ^{[ 3 ]}

استبدال البلاطة بالنسبة للبلاطات الأولية P هو زوج${\displaystyle (Q,\sigma )}$، أين ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}}$هي دالة خطية ، جميع قيمها الذاتية أكبر من واحد في القيمة المطلقة، بالإضافة إلى قاعدة استبدال${\displaystyle \sigma }$التي ترسم كل${\displaystyle T_{i}}$إلى تبليط من${\displaystyle QT_{i}}$قاعدة الاستبدال${\displaystyle \sigma }$يُنشئ خريطة من أي تبليط T لمنطقة W إلى تبليط${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )}$ل${\displaystyle Q_{\sigma }(\mathbf {W} )}$، كما هو محدد بواسطة

${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.}$

لاحظ أنه يمكن استنتاج البلاطات الأولية من استبدال البلاطات. لذلك، ليس من الضروري تضمينها في استبدال البلاطات.${\displaystyle (Q,\sigma )}$[ ^{4 ]​}

كل بلاطة من${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$، حيث يكون أي جزء محدود منه متطابقًا مع مجموعة جزئية من بعض${\displaystyle \sigma ^{k}(T_{i})}$يُطلق عليه اسم تبليط الاستبدال (لاستبدال البلاط)${\displaystyle (Q,\sigma )}$).

• التبليط غير الدوري
• تبليط الدومينو
• بلاط على شكل دولاب هوائي
• فسيفساء فوتوغرافية
• مثلث توبنغن

• بيثياس فوج، ن. (2002). Berthé, فاليري ; فيرينزي، سيباستيان؛ مودويت، كريستيان؛ سيجل، أ. (محرران). البدائل في الديناميات والحساب والتوافقيات . ملاحظات محاضرة في الرياضيات. المجلد.  1794. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015 . 

• موسوعة ديرك فريتلوه وإدموند هاريس عن بلاط الاستبدال