تبليط الدومينو

في الهندسة ، يُعرف تبليط منطقة في المستوى الإقليدي بتبليطها بقطع الدومينو ، وهي أشكال تتكون من اتحاد مربعين متجاورين متجاورين. وبصورة مكافئة، هو تطابق تام في الرسم البياني الشبكي الناتج عن وضع رأس في مركز كل مربع من المنطقة وتوصيل رأسين عندما يتطابقان مع مربعين متجاورين.

بالنسبة لبعض أنواع التبليط على شبكة منتظمة ثنائية الأبعاد، من الممكن تعريف دالة ارتفاع تربط عددًا صحيحًا برؤوس الشبكة . على سبيل المثال، ارسم رقعة شطرنج، وثبت عقدة.${\displaystyle A_{0}}$إذا كان الارتفاع 0، فإنه يوجد مسار لكل عقدة من${\displaystyle A_{0}}$إليه. على هذا المسار، حدد ارتفاع كل عقدة${\displaystyle A_{n+1}}$(أي زوايا المربعات) ليكون ارتفاع العقدة السابقة${\displaystyle A_{n}}$بالإضافة إلى واحد إذا كان المربع الموجود على يمين الطريق من${\displaystyle A_{n}}$ل${\displaystyle A_{n+1}}$أسود، وناقص واحد فيما عدا ذلك.

يمكن الاطلاع على المزيد من التفاصيل في Kenyon & Okounkov (2005) .

يصف ويليام ثورستون ( 1990 ) اختبارًا لتحديد ما إذا كانت المنطقة المتصلة ببساطة، والتي تشكلت كاتحاد مربعات الوحدة في المستوى، تحتوي على تبليط الدومينو. يشكل رسمًا بيانيًا غير موجه، رؤوسه هي النقاط ( س ، ص ، ع ) في شبكة الأعداد الصحيحة ثلاثية الأبعاد ، حيث ترتبط كل نقطة من هذه النقاط بأربعة جيران: إذا كان س + ص زوجيًا، فإن ( س ، ص ، ع ) ترتبط بـ ( س + ١، ص ، ع + ١)، ( س - ١، ص ، ع + ١)، ( س ، ص + ١، ع - ١)، و( س ، ص - ١، ع - ١)، بينما إذا كان س + ص فرديًا، فإن ( س ، ص ، ع ) ترتبط بـ ( س + ١، ص ، ع - ١)، ( س - ١، ص ، ع - ١)، ( س ، ص + ١، ع + ١)، و( س ، ص - (1، z + 1). يرتفع حد المنطقة، الذي يُنظر إليه كسلسلة من النقاط الصحيحة في المستوى ( x ، y )، بشكل فريد (بمجرد اختيار ارتفاع ابتدائي) إلى مسار في هذا الرسم البياني ثلاثي الأبعاد . الشرط الضروري لكي تكون هذه المنطقة قابلة للتكرار هو أن ينغلق هذا المسار ليشكل منحنى مغلقًا بسيطًا في ثلاثة أبعاد، إلا أن هذا الشرط غير كافٍ. باستخدام تحليل أكثر دقة لمسار الحد، قدم ثورستون معيارًا لتكرار المنطقة يكون كافيًا وضروريًا في آن واحد.                                     

عدد الطرق لتغطية${\displaystyle m\times n}$مستطيل مع${\displaystyle {\frac {mn}{2}}}$يتم حساب عدد قطع الدومينو بشكل مستقل بواسطة تمبرلي وفيشر (1961) وكاستلين (1961) ، وذلك من خلال $${\displaystyle \prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right)}$$(التسلسل A099390 في OEIS ) .

عندما يكون كل من m و n فرديين، فإن الصيغة تختزل بشكل صحيح إلى صفر من احتمالات تبليط الدومينو.

تحدث حالة خاصة عند تبليط${\displaystyle 2\times n}$مستطيل يحتوي على n من قطع الدومينو: تتلخص المتتالية في متتالية فيبوناتشي . ^{[ 1 ]}

وتحدث حالة خاصة أخرى للمربعات التي يكون فيها m = n = 0، 2، 4، 6، 8، 10، 12، ... وهي

يمكن إيجاد هذه الأرقام عن طريق كتابتها على شكل بفافيان لـ${\displaystyle mn\times mn}$مصفوفة متناظرة معكوسة يمكن إيجاد قيمها الذاتية بشكل صريح. يمكن تطبيق هذه التقنية في العديد من المواضيع المتعلقة بالرياضيات، على سبيل المثال، في الحساب الكلاسيكي ثنائي الأبعاد لدالة الارتباط بين ثنائيات الوحدات في الميكانيكا الإحصائية .

يتأثر عدد تبليطات منطقة ما بشدة بالشروط الحدية، وقد يتغير بشكل كبير مع تغيرات تبدو طفيفة في شكل المنطقة. ويتضح ذلك من خلال عدد تبليطات معين أزتيكي من الرتبة n ، حيث يبلغ عدد التبليطات 2 ^{( n  +  1) n /2} . إذا استُبدل هذا المعين بـ "معين أزتيكي مُوسَّع" من الرتبة n بثلاثة صفوف طويلة في المنتصف بدلًا من صفين، فإن عدد التبليطات ينخفض ​​إلى العدد الأصغر بكثير D( n , n )، وهو عدد ديلانوي ، الذي ينمو نموًا أُسِّيًا فقط بدلًا من النمو فوق الأُسِّي في n . أما بالنسبة لـ "معين أزتيكي مُختزل" من الرتبة n بصف أوسط طويل واحد فقط، فلا يوجد سوى تبليط واحد.

• 
  ماسة أزتيكية من الرتبة الرابعة، تحتوي على 1024 قطعة من بلاط الدومينو
• 
  أحد أنواع التبليط الممكنة

التاتامي هي سجادات أرضية يابانية على شكل مستطيل (1×2) تشبه قطع الدومينو. تُستخدم لتبليط الغرف، ولكن مع قواعد إضافية تتعلق بكيفية وضعها. على وجه الخصوص، تُعتبر نقاط التقاء ثلاث قطع تاتامي فألًا حسنًا، بينما تُعتبر نقاط التقاء أربع قطع فألًا سيئًا، لذا فإن التبليط الصحيح بالتاتامي هو الذي تلتقي فيه ثلاث قطع فقط في أي زاوية. ^{[ 2 ]} تُصنف مسألة تبليط غرفة غير منتظمة الشكل باستخدام قطع تاتامي تلتقي ثلاث منها في كل زاوية ضمن فئة المسائل NP-complete . ^{[ 3 ]}

توجد علاقة تناظرية بين تبليط الدومينو الدوري وتكوين الحالة الأرضية لنموذج إيزينغ المُحبط تمامًا على شبكة دورية ثنائية الأبعاد. ^{[ 4 ]} في الحالة الأرضية، يجب أن تحتوي كل لوحة من نموذج الدوران على تفاعل مُحبط واحد فقط . لذلك، عند النظر من الشبكة المزدوجة ، يجب أن يكون كل حافة مُحبطة "مغطاة" بمستطيل 1×2 ، بحيث تغطي المستطيلات الشبكة بأكملها ولا تتداخل، أو بتبليط الدومينو للشبكة المزدوجة.

• المجال الحر الغاوسي ، الحد الأقصى لحجم دالة الارتفاع في الحالة العامة (على سبيل المثال، داخل القرص المحاط بماسة أزتيكية كبيرة).
• مسألة رقعة الشطرنج المشوهة ، وهي لغز يتعلق بتغطية مساحة 62 مربعًا من رقعة الشطرنج القياسية 8×8 (أو رقعة الشطرنج ) بقطع الدومينو.
• الميكانيكا الإحصائية