البنتاغون

في الهندسة ، الخماسي ( من اليونانية πέντε (pente) بمعنى " خمسة " و γωνία (gonia) بمعنى " زاوية " ^{[ 1 ]} ) هو أي مضلع خماسي الأضلاع. مجموع الزوايا الداخلية في الخماسي البسيط يساوي 540 درجة.  

قد يكون الشكل الخماسي بسيطًا أو متقاطعًا ذاتيًا . يُطلق على الشكل الخماسي المنتظم المتقاطع ذاتيًا (أو الشكل الخماسي النجمي ) اسم النجمة الخماسية .

الخماسي المنتظم له رمز شلافلي {5} وزوايا داخلية قياسها 108°. كما أنه يمتلك خمسة محاور تناظر انعكاسي ، وتناظر دوراني من الرتبة 5 (عبر الزوايا 72°، 144°، 216°، و288°). قطرا الخماسي المنتظم المحدب يتناسبان مع أضلاعه بنسبة ذهبية . بمعلومية طول ضلعه${\displaystyle t,}$ارتفاعه${\displaystyle H}$(المسافة من جانب إلى الرأس المقابل)، العرض${\displaystyle W}$(المسافة بين نقطتين متباعدتين، والتي تساوي طول القطر)${\displaystyle D}$) ونصف القطر المحيط${\displaystyle R}$يتم الحصول عليها من خلال:

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}~t\approx 1.539~t,\\W=D&={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}~t\approx 1.618~t,\\W&={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot H\approx 1.051~H,\\R&={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}}t\approx 0.8507~t,\\D&=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902~R.\end{aligned}}}$

مساحة خماسي منتظم محدب طول ضلعه${\displaystyle t}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan 54^{\circ }}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}\;t^{2}}{4}}={\frac {t^{2}{\sqrt {4\varphi ^{5}+3}}}{4}}\approx 1.720~t^{2}\end{aligned}}}$

إذا كان نصف القطر المحيط${\displaystyle R}$إذا تم إعطاء طول ضلع لخماسي منتظم،${\displaystyle t}$يتم إيجادها من خلال التعبير

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176~R,}$

ومساحتها هي

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

بما أن مساحة الدائرة المحيطة هي${\displaystyle \pi R^{2},}$يملأ الشكل الخماسي المنتظم ما يقرب من 0.7568 من دائرته المحيطة.

Geometrical constructions

The regular pentagon is constructible with compass and straightedge, as 5 is a Fermat prime. A variety of methods are known for constructing a regular pentagon. Some are discussed below.

Richmond's method

One method to construct a regular pentagon in a given circle is described by Richmond^[3] and further discussed in Cromwell's Polyhedra.^[4]

The top panel shows the construction used in Richmond's method to create the side of the inscribed pentagon. The circle defining the pentagon has unit radius. Its center is located at point C and a midpoint M is marked halfway along its radius. This point is joined to the periphery vertically above the center at point D. Angle CMD is bisected, and the bisector intersects the vertical axis at point Q. A horizontal line through Q intersects the circle at point P, and chord PD is the required side of the inscribed pentagon.

To determine the length of this side, the two right triangles DCM and QCM are depicted below the circle. Using Pythagoras' theorem and two sides, the hypotenuse of the larger triangle is found as ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$. Side h of the smaller triangle then is found using the half-angle formula:

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

where cosine and sine of ϕ are known from the larger triangle. The result is:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

If DP is truly the side of a regular pentagon, ${\displaystyle m\angle \mathrm {CDP} =54^{\circ }}$, so DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos²(54°), and CQ = 1 − 2cos²(54°), which equals −cos(108°) by the cosine double angle formula. This is the cosine of 72°, which equals${\displaystyle \left({\sqrt {5}}-1\right)/4}$ as desired.

Carlyle circles

ابتُكرت دائرة كارلايل كطريقة هندسية لإيجاد جذور المعادلة التربيعية . ^{[ 5 ]} تؤدي هذه المنهجية إلى إجراء لإنشاء خماسي منتظم. الخطوات هي كما يلي: ^{[ 6 ]}

1. ارسم دائرة لرسم الشكل الخماسي داخلها وحدد نقطة المركز O.
2. ارسم خطًا أفقيًا يمر بمركز الدائرة. حدد نقطة التقاطع اليسرى مع الدائرة كنقطة B.
3. ارسم خطاً عمودياً يمر عبر المركز. حدد نقطة تقاطع واحدة مع الدائرة كنقطة أ .
4. قم بإنشاء النقطة M كنقطة منتصف المسافة بين O و B.
5. ارسم دائرة مركزها النقطة M تمر بالنقطة A. حدد نقطة تقاطعها مع الخط الأفقي (داخل الدائرة الأصلية) كنقطة W ونقطة تقاطعها خارج الدائرة كنقطة V.
6. ارسم دائرة نصف قطرها OA ومركزها W. تتقاطع هذه الدائرة مع الدائرة الأصلية عند اثنين من رؤوس الشكل الخماسي.
7. ارسم دائرة نصف قطرها OA ومركزها V. تتقاطع هذه الدائرة مع الدائرة الأصلية عند رأسين من رؤوس الشكل الخماسي.
8. الرأس الخامس هو أقصى نقطة تقاطع للخط الأفقي مع الدائرة الأصلية من جهة اليمين.

الخطوات من 6 إلى 8 تعادل النسخة التالية، الموضحة في الرسوم المتحركة:

6أ. قم بإنشاء النقطة F كنقطة منتصف O و W.

7أ. ارسم خطًا رأسيًا يمر بالنقطة F. يتقاطع هذا الخط مع الدائرة الأصلية عند رأسين من رؤوس الشكل الخماسي. أما الرأس الثالث فهو أقصى نقطة تقاطع للخط الأفقي مع الدائرة الأصلية من جهة اليمين.

8أ. قم بإنشاء الرأسين الآخرين باستخدام البوصلة وطول الرأس الذي تم إيجاده في الخطوة 7أ.

باستخدام علم المثلثات

منذ${\displaystyle \cos(36^{\circ })={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$يمكننا إنشاء شكل خماسي منتظم عن طريق إنشاء مثلث قائم الزاوية محدد وتكراره، كما يلي:

• نلاحظ أولاً أن الشكل الخماسي المنتظم يمكن تقسيمه إلى 10 مثلثات متطابقة كما هو موضح في الملاحظة .
• في الخطوة 1 ، نستخدم أربع وحدات (موضحة باللون الأزرق) وزاوية قائمة لإنشاء قطعة طولها${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$- تحديدًا عن طريق إنشاء${\displaystyle 1-2-{\sqrt {5}}}$المثلث القائم الزاوية، ثم تمديد الوتر${\displaystyle {\sqrt {5}}}$بطول 1. ثم نقسم هذا الجزء إلى نصفين - ثم نقسمه مرة أخرى - لإنشاء جزء طوله${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$(موضح باللون الأحمر.)
• في الخطوة الثانية ، نقوم بإنشاء دائرتين متحدتي المركز مركزهما عند${\displaystyle O}$بنصف قطر طوله 1 وطوله${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$ثم نضع${\displaystyle P}$بشكل عشوائي على الدائرة الأصغر، كما هو موضح. إنشاء خط عمودي على${\displaystyle {\overline {OP}}}$المرور عبر${\displaystyle P}$نقوم بإنشاء ضلع بالطول المناسب باستخدام النقاط المتكونة عند تقاطع المماس مع دائرة الوحدة. بتكرار هذا الطول أربع مرات نحصل على شكل خماسي منتظم.

طريقة إقليدس

يمكن إنشاء شكل خماسي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة ، إما برسمه داخل دائرة معينة أو بإنشائه على أحد أضلاعها. وقد وصف إقليدس هذه العملية في كتابه "الأصول" حوالي عام 300 قبل الميلاد. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

أساليب البناء المادية

• يمكن صنع شكل خماسي منتظم من شريط ورقي فقط عن طريق ربط عقدة بسيطة في الشريط ثم فرد العقدة بحرص عن طريق سحب طرفي الشريط الورقي. عند طي أحد الطرفين للخلف فوق الشكل الخماسي، سيظهر شكل نجمة خماسية عند إضاءته من الخلف. ^{[ 9 ]}
• ارسم شكلاً سداسياً منتظماً على ورق مقوى سميك. اطوِ الورقة على طول الأقطار الثلاثة بين الرؤوس المتقابلة. قص من أحد الرؤوس إلى المركز لتشكيل قطعة مثلثة متساوية الأضلاع. ثبت هذه القطعة أسفل القطعة المجاورة لها لتشكيل هرم خماسي . قاعدة الهرم عبارة عن شكل خماسي منتظم.

التناظر

يتمتع الخماسي المنتظم بتناظر Dih ₅ ، من الرتبة 10. وبما أن 5 عدد أولي ، فهناك مجموعة فرعية واحدة ذات تناظر ثنائي السطوح: Dih ₁ ، وتناظران دوريان للمجموعة : Z ₅ و Z ₁ .

يمكن ملاحظة هذه التناظرات الأربعة في أربعة تناظرات مميزة على الخماسي. وقد صنّفها جون كونواي بحرف وترتيب المجموعة. ^{[ 10 ]} التناظر الكامل للشكل المنتظم هو r10 ، وعدم وجود تناظر يُرمز له بـ a1 . تُقسّم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطر) أو الحواف ( p للعمودي)، و i عندما تمر خطوط الانعكاس عبر كل من الحواف والرؤوس. أما التناظرات الدورية في العمود الأوسط فتُرمز لها بـ g نسبةً إلى رتب دورانها المركزية.

تسمح كل مجموعة فرعية متناظرة بدرجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g5 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

الخماسي متساوي الأضلاع هو مضلع ذو خمسة أضلاع متساوية الطول. مع ذلك، يمكن أن تأخذ زواياه الداخلية الخمس نطاقًا واسعًا من القيم، مما يسمح بتكوين مجموعة من الخماسيات. في المقابل، يتميز الخماسي المنتظم بتفرده حتى التشابه، لأنه متساوي الأضلاع ومتساوي الزوايا (زواياه الخمس متساوية).

الخماسي الدائري هو شكل هندسي يمر فيه دائرة محيطة بجميع رؤوسه الخمسة. الخماسي المنتظم مثال على الخماسي الدائري. يمكن التعبير عن مساحة الخماسي الدائري، سواء كان منتظمًا أم لا، بربع الجذر التربيعي لأحد جذور معادلة من الدرجة السابعة، حيث معاملات هذه المعادلة هي دوال لأطوال أضلاع الخماسي. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

توجد أشكال خماسية دورية ذات أضلاع ومساحة نسبية؛ تُسمى هذه الأشكال خماسية روبنز . وقد ثبت أن أقطار خماسي روبنز إما أن تكون جميعها نسبية أو جميعها غير نسبية، ويُفترض أن جميع الأقطار نسبية. ^{[ 14 ]} انظر أيضًا: المضلع الدوري §  المساحة الصحيحة وأطوال الأضلاع .

لجميع الأشكال الخماسية المحدبة ذات الأضلاع${\displaystyle a,b,c,d,e}$والأقطار${\displaystyle d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}}$، تتحقق المتباينة التالية: ^{[ 15 ] : ص 75، #1854}

${\displaystyle 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2})>d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}+d_{5}^{2}}$.

لا يمكن أن يظهر شكل خماسي منتظم في أي تبليط من المضلعات المنتظمة. أولًا، لإثبات أن الشكل الخماسي لا يمكن أن يشكل تبليطًا منتظمًا (أي تبليطًا تكون فيه جميع الأوجه متطابقة، مما يستلزم أن تكون جميع المضلعات أشكالًا خماسية)، نلاحظ أن 360° / 108° = 3 1/3 ( حيث 108° هي الزاوية الداخلية)، وهو ليس عددًا صحيحًا؛ وبالتالي لا يوجد عدد صحيح من الأشكال الخماسية التي تشترك في رأس واحد ولا تترك فراغات بينها. والأكثر صعوبة هو إثبات أن الشكل الخماسي لا يمكن أن يظهر في أي تبليط من حافة إلى حافة مكون من مضلعات منتظمة.

أقصى كثافة تعبئة معروفة لخماسي منتظم هي${\displaystyle (5-{\sqrt {5}})/3\approx 0.921}$وقد تحقق ذلك من خلال التعبئة الشبكية المزدوجة الموضحة. في ورقة بحثية أولية نُشرت عام 2016، أعلن توماس هيلز وودن كوسنر عن برهان على أن هذه التعبئة الشبكية المزدوجة للخماسي المنتظم (المعروفة باسم تصميم الشبكة الصينية "شعاع الجليد الخماسي"، والذي يعود تاريخه إلى حوالي عام 1900) تتمتع بالكثافة المثلى بين جميع تعبئات الخماسيات المنتظمة في المستوى. ^{[ 16 ]}

لا توجد أي تركيبة من المضلعات المنتظمة التي تحتوي على 4 أضلاع أو أكثر، والتي تلتقي عند رأس واحد، تحتوي على شكل خماسي. أما في حالة التركيبات التي تحتوي على  3 أضلاع، فإذا التقت 3 مضلعات عند رأس واحد وكان أحدها ذا عدد فردي من الأضلاع، فلا بد أن يكون المضلعان الآخران متطابقين. والسبب في ذلك هو أن المضلعات التي تلامس حواف الشكل الخماسي يجب أن تتناوب حوله، وهو أمر مستحيل نظرًا لعدد أضلاعه الفردي. بالنسبة للشكل الخماسي، ينتج عن ذلك مضلع جميع زواياه تساوي (360 - 108) / 2 = 126 درجة . ولإيجاد عدد أضلاع هذا المضلع، تكون النتيجة 360 / (180 - 126) = 6 2/3 ، وهو ليس عددًا صحيحًا. لذلك ، لا يمكن أن يظهر شكل خماسي في أي تبليط مصنوع من المضلعات المنتظمة.

توجد 15 فئة من الأشكال الخماسية التي يمكنها تغطية المستوى بشكل أحادي الوجه . لا تتمتع أي من الأشكال الخماسية بأي تناظر بشكل عام، على الرغم من أن بعضها له حالات خاصة ذات تناظر انعكاسي.

15 بلاطة خماسية الشكل أحادية السطوح

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15

• 
  البنتاغون ، مقر وزارة الدفاع الأمريكية .
• 
  قاعدة ملعب البيسبول

• المجسم التجميعي ؛ الخماسي هو مجسم تجميعي من الرتبة الرابعة
• المجسم ذو الاثني عشر وجهًا ، وهو مجسم متعدد الأوجه يتكون شكله المنتظم من 12 وجهًا خماسيًا
• النسبة الذهبية
• قائمة الأشكال الهندسية
• الأعداد الخماسية
• نجمة خماسية
• خريطة النجمة الخماسية
• بنتاستار ، شعار كرايسلر
• نظرية فيثاغورس
• الثوابت المثلثية للخماسي

• وايسشتاين، إريك دبليو. "البنتاغون" . عالم الرياضيات .
• عرض توضيحي متحرك لرسم شكل خماسي داخلي باستخدام الفرجار والمسطرة.
• كيفية رسم شكل خماسي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.
• كيفية طي شكل خماسي منتظم باستخدام شريط من الورق فقط
• تعريف وخصائص الشكل الخماسي ، مع رسوم متحركة تفاعلية
• رسومات تقريبية لمضلعات خماسية منتظمة من إبداع فناني عصر النهضة. مؤرشفة بتاريخ ١٣ أبريل ٢٠٢١ في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• الخماسي. كيفية حساب الأبعاد المختلفة للخماسي المنتظم.