مضلع قابل للإنشاء

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة
بناء شكل خماسي منتظم

في الرياضيات ، المضلع القابل للإنشاء هو مضلع منتظم يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة . على سبيل المثال، يمكن إنشاء الخماسي المنتظم باستخدام الفرجار والمسطرة، بينما لا يمكن إنشاء السباعي المنتظم . يوجد عدد لا نهائي من المضلعات القابلة للإنشاء، ولكن لا يُعرف منها سوى 31 مضلعًا بعدد فردي من الأضلاع.

شروط قابلية التنفيذ

عدد أضلاع المضلعات القابلة للإنشاء المعروفة التي يصل عدد أضلاعها إلى 1000 ضلع (بالخط العريض) أو عدد الأضلاع الفردية (باللون الأحمر)
بناء المضلع المنتظم ذي 17 ضلعًا

بعض المضلعات المنتظمة يسهل رسمها باستخدام الفرجار والمسطرة، بينما يصعب رسم البعض الآخر. عرف علماء الرياضيات اليونانيون القدماء كيفية رسم مضلع منتظم بثلاثة أو أربعة أو خمسة أضلاع، [ 1 ] : ص. 11، كما عرفوا كيفية رسم مضلع منتظم بضعف عدد أضلاع مضلع منتظم مُعطى. [ 1 ] : ص. 49-50. أدى هذا إلى طرح السؤال التالي: هل من الممكن رسم جميع المضلعات المنتظمة باستخدام الفرجار والمسطرة؟ إذا لم يكن ذلك ممكنًا، فأي المضلعات ذات n ضلعًا (أي المضلعات التي لها n ضلعًا) يمكن رسمها وأيها لا يمكن؟

أثبت كارل فريدريش غاوس إمكانية إنشاء المضلع المنتظم ذي 17 ضلعًا عام 1796. وبعد خمس سنوات، طوّر نظرية الدورات الغاوسية في كتابه "Disquisitiones Arithmeticae" . وقد مكّنته هذه النظرية من صياغة شرط كافٍ لإمكانية إنشاء المضلعات المنتظمة. وذكر غاوس، دون برهان، أن هذا الشرط ضروري أيضًا ، [ 2 ] لكنه لم ينشر برهانه قط.

قدّم بيير وانتزل برهانًا كاملاً على ضرورة هذه النظرية عام 1837. تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية غاوس-وانتزل : يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كان n هو حاصل ضرب قوة للعدد 2 في أي عدد من أعداد فيرما الأولية المختلفة (غير المتساوية) . هنا، قوة العدد 2 هي عدد من الشكل التالي:2م{\displaystyle 2^{m}}حيث m ≥ 0 عدد صحيح. العدد الأولي لفيرما هو عدد أولي على الصورة2(2م)+1{\displaystyle 2^{(2^{m})}+1}حيث m ≥ 0 عدد صحيح. يمكن أن يكون عدد أعداد فيرما الأولية صفرًا، وفي هذه الحالة يكون n قوة للعدد 2.

من أجل اختزال مسألة هندسية إلى مسألة نظرية أعداد بحتة ، يستخدم البرهان حقيقة أن المضلع المنتظم ذو n ضلعًا قابل للإنشاء إذا وفقط إذا كان جيب تمام الزاويةكوس⁡(2π/ن){\displaystyle \cos(2\pi /n)}هو عدد قابل للإنشاء ، أي يمكن كتابته بدلالة العمليات الحسابية الأربع الأساسية واستخراج الجذور التربيعية . وبالمثل، يكون المضلع المنتظم ذو n ضلعًا قابلاً للإنشاء إذا كان أي جذر لكثير الحدود الدائري ذي الرتبة n قابلاً للإنشاء.

نتائج تفصيلية من نظرية جاوس

إعادة صياغة نظرية جاوس-وانتزل:

يمكن إنشاء مضلع منتظم ذو n ضلع باستخدام المسطرة والفرجار إذا وفقط إذا كان n = 2 k p 1 p 2 ... p t حيث k و t أعداد صحيحة غير سالبة ، و p i (عندما t > 0) هي أعداد فيرما الأولية المتميزة.

الأعداد الأولية الخمسة المعروفة لفيرما هي:

F 0 = 3، F 1 = 5، F 2 = 17، F 3 = 257، و F 4 = 65537 (التسلسل A019434 في OEIS ) .

بما أن هناك 31 مجموعة فرعية غير فارغة من الأعداد الأولية الخمسة المعروفة لفرما، فهناك 31 مضلعًا معروفًا قابلًا للإنشاء بعدد فردي من الأضلاع.

من المعروف أن أعداد فيرما الثمانية والعشرين التالية، من F 5 إلى F 32 ، هي أعداد مركبة . [ 3 ]

وبالتالي، يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا إذا

n = 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 15 ، 16 ، 17 ، 20 ، 24 ، 30 ، 32، 34، 40، 48، 51، 60، 64، 68، 80، 85، 96، 102، 120، 128، 136، 160، 170، 192، 204، 240، 255، 256، 257 ، 272، 320، 340، 384، 408، 480، 510، 512، 514، 544، 640، 680، 768، 771، 816 960، 1020، 1024، 1028، 1088، 1280، 1285، 1360، 1536، 1542، 1632، 1920، 2040، 2048، ... (التسلسل A003401 في OEIS ) ،

بينما لا يمكن إنشاء شكل منتظم ذي n ضلع باستخدام الفرجار والمسطرة إذا

n = 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 14 ، 18 ، 19، 21، 22 ، 23 ، 25، 26، 27، 28، 29، 31، 33، 35، 36، 37، 38، 39، 41، 42، 43، 44، 45، 46، 47، 49، 50، 52، 53، 54، 55، 56، 57، 58، 59، 61، 62، 63، 65، 66، 67، 69، 70، 71، 72، 73، 74، 75، 76، 77، 78، 79، 81، 82، 83 84، 86، 87، 88، 89، 90، 91، 92، 93، 94، 95، 97، 98، 99، 100، 101، 103، 104، 105، 106، 107، 108، 109، 110، 111، 112، 113، 114، 115، 116، 117، 118، 119، 121، 122، 123، 124، 125، 126، 127، ... (التسلسل A004169 في OEIS ) .

العلاقة بمثلث باسكال

بما أن هناك خمسة أعداد أولية معروفة من نوع فيرما، فإننا نعرف 31 عددًا هي نواتج لأعداد أولية مختلفة من نوع فيرما، وبالتالي نعرف 31 مضلعًا منتظمًا فردي الأضلاع قابلًا للإنشاء. هذه هي الأرقام: 3، 5، 15، 17، 51، 85، 255، 257، 771، 1285، 3855، 4369، 13107، 21845، 65535، 65537 ، 196611، 327685، 983055، 1114129، 3342387، 5570645، 16711935، 16843009، 50529027، 84215045، 252645135، 286331153، 858993459، 1431655765، 4294967295 (التسلسل A045544 في كما علّق جون كونواي في كتابه "كتاب الأعداد" ، فإن هذه الأعداد، عند كتابتها بالنظام الثنائي ، تساوي الصفوف الـ 32 الأولى من مثلث باسكال (باقي القسمة على -2) ، مطروحًا منها الصف العلوي الذي يُقابل شكلًا أحاديًا . (لهذا السبب، تُشكّل الآحاد في هذه القائمة تقريبًا لمثلث سيربينسكي ). ينقطع هذا النمط بعد ذلك، لأن عدد فيرما التالي عدد مركب (4294967297 = 641 × 6700417)، لذا فإن الصفوف التالية لا تُقابل مضلعات قابلة للإنشاء. من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد أولية أخرى لفيرما، وبالتالي من غير المعروف عدد المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء ذات الأضلاع الفردية. بشكل عام، إذا كان هناك q عددًا أوليًا لفيرما، فسيكون هناك 2q - 1 مضلعًا منتظمًا قابلًا للإنشاء ذو ​​أضلاع فردية . 

النظرية العامة

في ضوء الدراسات اللاحقة لنظرية غالوا ، تم توضيح مبادئ هذه البراهين. من السهل إثبات، باستخدام الهندسة التحليلية، أن الأطوال القابلة للإنشاء يجب أن تُستنتج من أطوال الأساس عن طريق حل متتالية من المعادلات التربيعية . [ 4 ] من منظور نظرية الحقول ، يجب أن تكون هذه الأطوال مُضمنة في امتداد حقل مُوَلَّد بواسطة سلسلة من الامتدادات التربيعية . ويترتب على ذلك أن الحقل المُوَلَّد بواسطة الإنشاءات سيكون دائمًا ذا درجة على حقل الأساس تُساوي قوة العدد اثنين.

في الحالة الخاصة لمضلع منتظم ذي n ضلعًا، يختزل السؤال إلى مسألة بناء طول

cos ⁠ 2 π / n ⁠ ,

وهو عدد مثلثي، وبالتالي عدد جبري . يقع هذا العدد في الحقل الدائري النوني ، وفي الواقع في حقله الفرعي الحقيقي ، وهو حقل حقيقي تمامًا وفضاء متجهي نسبي ذو بُعد

1/2 φ ( n ) ,​​

حيث φ( n ) هي دالة أويلر . وتتلخص نتيجة وانتزل في حساب يُظهر أن φ( n ) هي قوة للعدد 2 تحديدًا في الحالات المذكورة.

أما بالنسبة لبناء جاوس، فعندما تكون زمرة غالوا زمرة ثنائية، فإنه يترتب على ذلك أنها تحتوي على سلسلة من الزمر الجزئية من الرتب

1، 2، 4، 8، ...

وهي متداخلة، كل منها في الذي يليه ( سلسلة تركيبية ، في مصطلحات نظرية الزمر )، وهو أمر يسهل إثباته بالاستقراء في هذه الحالة لزمرة أبيلية . لذلك، توجد حقول فرعية متداخلة داخل الحقل الدائري، كل منها من الدرجة 2 فوق الحقل الذي يسبقه. يمكن كتابة مولدات كل حقل من هذه الحقول باستخدام نظرية الدورة الغاوسية . على سبيل المثال، بالنسبة لـ n  = 17 ، توجد دورة هي مجموع ثمانية جذور للوحدة ، ودورة أخرى هي مجموع أربعة جذور للوحدة، ودورة ثالثة هي مجموع جذرين، وهي

cos ⁠ 2 π / 17 ⁠ .

كلٌّ من هذه المعادلات هو جذر لمعادلة تربيعية بدلالة المعادلة التي تسبقها. علاوة على ذلك، فإن لهذه المعادلات جذورًا حقيقية وليست مركبة ، لذا من حيث المبدأ يمكن حلها باستخدام البناء الهندسي: وذلك لأن العمل كله يتم داخل حقل حقيقي تمامًا.

وبهذه الطريقة يمكن فهم نتيجة جاوس بالمصطلحات الحالية؛ وللحساب الفعلي للمعادلات المراد حلها، يمكن تربيع الفترات ومقارنتها بالفترات "الأدنى"، في خوارزمية قابلة للتطبيق تمامًا.

إنشاءات باستخدام البوصلة والمسطرة

تُعرف طرق إنشاء المضلعات باستخدام الفرجار والمسطرة لجميع المضلعات القابلة للإنشاء المعروفة. إذا كان n  = pq حيث p = 2 أو p و q عددان أوليان فيما بينهما ، فيمكن إنشاء مضلع ذي n ضلعًا من مضلع ذي p ضلعًا ومضلع ذي q ضلعًا.   

  • إذا كان p  =  2، ارسم مضلعًا ذا q ضلعًا، ثمّ قسّم إحدى زواياه المركزية إلى نصفين. ومن هذا، يمكن إنشاء مضلع ذي 2 q ضلعًا .
  • إذا كان p  >  2، نرسم مضلعًا ذا p ضلعًا ومضلعًا ذا q ضلعًا داخل الدائرة نفسها بحيث يشتركان في رأس واحد. ولأن p و q أوليان فيما بينهما، يوجد عددان صحيحان a و b بحيث يكون ap + bq = 1. ومن ثم، 2aπ / q + 2bπ / p = 2π/ pq . ومن هذا، يمكن إنشاء مضلع ذي pq ضلعًا.

وبالتالي، كل ما على المرء فعله هو إيجاد طريقة لإنشاء شكل هندسي باستخدام الفرجار والمسطرة لـ n ضلعًا حيث n هو عدد أولي من أعداد فيرما.

من اليسار إلى اليمين، ومن الأعلى إلى الأسفل، رسومات توضيحية لمضلعات ذات 15 ضلعًا ، و 17 ضلعًا ، و 257 ضلعًا ، و 65537 ضلعًا . يُعرض هنا فقط المرحلة الأولى من رسم المضلع ذي 65537 ضلعًا؛ أما رسومات المضلعات ذات 15 ضلعًا، و17 ضلعًا، و257 ضلعًا، فقد تم شرحها بالكامل.

إنشاءات أخرى

ينطبق مفهوم قابلية الإنشاء، كما نوقش في هذه المقالة، تحديدًا على الإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة . وتزداد إمكانية الإنشاءات عند استخدام أدوات أخرى. فعلى سبيل المثال، تستخدم ما يُسمى بالإنشاءات باستخدام المسطرة المدرجة . وتُعد هذه الإنشاءات تبسيطًا رياضيًا، ويُفترض تنفيذها بدقة متناهية.

يمكن إنشاء مضلع منتظم ذي n ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار ومنصف الزاوية إذا وفقط إذان=2ر3sص1ص2⋯صك،{\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}حيث r، s، k ≥ 0 وحيث p i هي أعداد أولية مختلفة من نوع بيربونت أكبر من 3 (أعداد أولية من الشكل2ت3u+1).{\displaystyle 2^{t}3^{u}+1).}[ ٨ ] : النظرية ٢:هذه المضلعات هي بالضبط المضلعات المنتظمة التي يمكن إنشاؤها باستخدامالقطوع المخروطية، والمضلعات المنتظمة التي يمكن إنشاؤها باستخدامطي الورق. أول عدد لأضلاع هذه المضلعات هو:

3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10، 12، 13، 14، 15، 16، 17، 18، 19، 20، 21، 24، 26، 27، 28، 30، 32، 34، 35، 36، 37، 38، 39، 40، 42، 45، 48، 51، 52، 54، 56، 57، 60، 63، 64، 65، 68، 70، 72، 73، 74، 76، 78، 80، 81، 84، 85، 90، 91، 95، 96، 97، 102، 104، 105 108، 109، 111، 112، 114، 117، 119، 120، 126، 128، 130، 133، 135، 136، 140، 144، 146، 148، 152، 153، 156، 160، 162، 163، 168، 170، 171، 180، 182، 185، 189، 190، 192، 193، 194، 195، 204، 208، 210، 216، 218، 219، 221، 222، 224، 228، 234، 238، 240 243، 247، 252، 255، 256، 257، 259، 260، 266، 270، 272، 273، 280، 285، 288، 291، 292، 296، ... (التسلسل A122254 في OEIS )

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 بولد، بنيامين. مسائل الهندسة الشهيرة وكيفية حلها ، منشورات دوفر، 1982 (الأصل 1969).
  2. ↑ غاوس، كارل فريدريش ( 1966). Disquisitiones arithmeticae . نيو هيفن ولندن: مطبعة جامعة ييل. ص 458-460 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يناير 2023 . 
  3. ↑ العوامل الأولية k · 2n + 1 لأعداد فيرما Fm وحالة التحليل الكامل بواسطة ويلفريد كيلر.
  4. ↑ كوكس، ديفيد أ. (2012)، "النظرية 10.1.6"، نظرية غالوا ، الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده، ص 259، doi : 10.1002/9781118218457 ، ISBN   978-1-118-07205-9.
  5. ^ ماغنوس جورج باكر (1822). "الهندسة الهندسية للأنظمة Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis" . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (باللغة الألمانية). 2 : 160 - 219.
  6. ^ فريدريش يوليوس ريشلوت (1832). "حل المعادلات الجبرية x 257 = 1، تقسيم الدوائر لتقسيم الزوايا السبعة المتكررة في الأجزاء 257 بين نفس التعليقات التاجية" . Journal für die reine und angewandte Mathematik (باللاتينية). 9 : 1–26 ، 146–161 ، 209–230 ، 337–358 . دوى : 10.1515/crll.1832.9.337 . S2CID 199545940 . 
  7. ^ يوهان جوستاف هيرميس (1894). "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile" . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen، Mathematisch-Physikalische Klasse (باللغة الألمانية). 3 . غوتنغن: 170- 186.
  8. ↑ غليسون، أندرو م. (مارس 1988). "تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء، والمضلع السباعي، والمضلع ذو الثلاثة عشر ضلعًا". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 95 (3): 185-194 . doi : 10.2307/2323624 . JSTOR 2323624 .