مضلع عشروني

في الهندسة ، يُعرف المضلع العشري أو المضلع ذو العشرين ضلعًا بأنه مضلع يتكون من عشرين ضلعًا . مجموع زوايا أي مضلع عشري داخليًا يساوي 3240 درجة.

يحتوي الشكل العشري المنتظم على رمز شلافلي {20} ، ويمكن أيضًا إنشاؤه على شكل عشري مقطوع ، t{10} ، أو خماسي مقطوع مرتين ، tt{5} .

إحدى الزوايا الداخلية في الشكل العشري المنتظم هي 162 درجة، مما يعني أن إحدى الزوايا الخارجية ستكون 18 درجة.

مساحة المضلع العشري المنتظم الذي طول ضلعه t هي

${\displaystyle A={5}t^{2}(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}})\simeq 31.5687t^{2}.}$

بالنسبة لنصف قطر الدائرة المحيطة بها R ، فإن المساحة هي

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{2}}({\sqrt {5}}-1);}$

بما أن مساحة الدائرة هي${\displaystyle \pi R^{2},}$يملأ الشكل العشري المنتظم ما يقرب من 98.36% من دائرته المحيطة.

تتميز عجلة الحظ الكبيرة في برنامج الألعاب الأمريكي الشهير " السعر مناسب" بمقطع عرضي عشريني الأضلاع.

تم اكتشاف أن مسرح غلوب، وهو المسرح الخارجي الذي استخدمته فرقة ويليام شكسبير التمثيلية، قد تم بناؤه على أساس عشريني الأضلاع عندما تم إجراء حفر جزئي في عام 1989. ^{[ 1 ]}

باعتبارها مسارًا متعدد الأضلاع ، تُعتبر الصليب المعقوف شكلًا غير منتظم ذي عشرين ضلعًا. ^{[ 2 ]}

يمكن للمربع المنتظم والخماسي والعشروني أن يملأ رأسًا مستويًا بالكامل .

بناء

بما أن 20 = 2 ² × 5 ، فإن المضلع العشري المنتظم يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة ، أو عن طريق تنصيف حافة مضلع عشري منتظم ، أو مضلع خماسي منتظم منصف مرتين :

بناء مضلع عشروني منتظم

بناء مضلع عشاري منتظم

• في البناء ذي طول الضلع المحدد، يشترك القوس الدائري حول C بنصف قطر CD في القطعة E ₂₀ F بنسبة النسبة الذهبية.

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{20}E_{1}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{20}F}}{\overline {E_{20}E_{1}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618}$

يتمتع الشكل العشري المنتظم بتناظر Dih 20 _، من الرتبة 40. هناك 5 تناظرات ثنائية السطوح للمجموعات الفرعية: (Dih ₁₀ ، Dih ₅ ) ، و (Dih ₄ ، Dih ₂ ، وDih ₁ ) ، و6 تناظرات للمجموعات الدورية : (Z ₂₀ ، Z ₁₀ ، Z ₅ ) ، و( Z ₄ ، Z ₂ ، Z ₁ ) .

يمكن ملاحظة هذه التناظرات العشرة في ستة عشر تناظرًا مختلفًا على المضلع العشري، وهو عدد أكبر لأن خطوط الانعكاس قد تمر عبر الرؤوس أو الحواف. يرمز جون كونواي لهذه التناظرات بحرف وترتيب المجموعة. ^{[ 3 ]} التناظر الكامل للشكل المنتظم هو r40 ، ولا يوجد تناظر يُرمز له بـ a1 . تُقسم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطري) أو الحواف ( p للعمودي)، و i عندما تمر خطوط الانعكاس عبر كل من الحواف والرؤوس. تُرمز التناظرات الدورية في العمود الأوسط بـ g لترتيب دورانها المركزي.

تسمح كل مجموعة فرعية متناظرة بدرجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g20 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

أعلى أشكال العشرين غير المنتظمة تناظرًا هي: d20 ، وهو شكل عشريني متساوي الزوايا مُكوَّن من عشرة مرايا تتبادل فيها الأضلاع الطويلة والقصيرة، و p20 ، وهو شكل عشريني متساوي الأضلاع، مُكوَّن من أضلاع متساوية الأطوال، لكن رؤوسه تتبادل فيها زاويتان داخليتان مختلفتان. هذان الشكلان متناظران لبعضهما البعض، ولهما نصف رتبة تناظر الشكل العشرين المنتظم.

شكل هندسي مكون من 20 ضلعًا و180 معينًا

عادي	إيزوتوكسال

يذكر كوكسيتر أن كل مضلع زونوغون ( مضلع طوله 2 م، أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تقسيمه إلى م ( م - 1)/2 متوازي أضلاع. ^{[ 4 ]} وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، حيث تكون متوازيات الأضلاع في هذه الحالة جميعها معينات. أما بالنسبة للمضلع العشري، فإن م = 10 ، ويمكن تقسيمه إلى 45: 5 مربعات و4 مجموعات من 10 معينات. يعتمد هذا التقسيم على إسقاط مضلع بيتري لمكعب ذي 10 أوجه ، حيث يمتلك 45 وجهًا من أصل 11520 وجهًا. تُحصي قائمة OEIS : A006245  عدد الحلول بـ 18,410,581,880، بما في ذلك الدوران حتى 20 ضعفًا والأشكال الكيرالية في الانعكاس.

التشريح إلى 45 معينًا

مكعب ذو 10 خانات

الشكل العشري هو شكل نجمي ذو عشرين ضلعًا ، يُرمز له بالرمز {20/n} . توجد ثلاثة أشكال منتظمة تُعطى برموز شلافلي : {20/3} ، {20/7} ، و {20/9} . كما توجد خمسة أشكال نجمية منتظمة (مركبات) تستخدم نفس ترتيب الرؤوس : 2{10} ، 4{5} ، 5{4} ، 2{10/3} ، 4{5/2} ، و 10{2} .

ن	1	2	3	4	5
استمارة	مضلع محدب	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع
صورة	{20/1} = {20}	{20/2} = 2{10}	{20/3}	{20/4} = 4{5}	{20/5} = 5{4}
الزاوية الداخلية	162 درجة	144 درجة	126 درجة	108 درجة	90 درجة
ن	6	7	8	9	10
استمارة	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع
صورة	{20/6} = 2{10/3}	{20/7}	{20/8} = 4{5/2}	{20/9}	{20/10} = 10{2}
الزاوية الداخلية	72 درجة	54 درجة	36 درجة	18 درجة	0°

يمكن أن تؤدي عمليات القطع الأعمق للعشري المنتظم والعشري المخطط إلى إنتاج أشكال عشرية مخططة وسيطة متساوية الزوايا ( متعدية الرؤوس ) ذات رؤوس متباعدة بالتساوي وطولين للحواف. ^{[ 5 ]}

يمكن اعتبار الشكل العشري المنتظم، {20/9} ، شكلاً شبه مقطوع من الشكل العشري، t{10/9}={20/9} . وبالمثل، فإن الشكل العشري ، {10/3}، له شكل شبه مقطوع t{10/7}={20/7} ، وأخيرًا، فإن القطع البسيط للشكل العشري يعطي t{10/3}={20/3} .

الأشكال العشرية كأجزاء مقطوعة من الأشكال العشرية المنتظمة والأشكال العشرية، {10}، {10/3}

شبه منتظم					شبه منتظم
t{10}={20}					t{10/9}={20/9}
t{10/3}={20/3}					t{10/7}={20/7}

المضلع العشري المنتظم هو مضلع بيتري لعدد من المضلعات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأعلى، ويظهر في إسقاطات متعامدة في مستويات كوكسيتر :

19​	ب 10		D 11	E 8	H 4	١/٢ ٢ ساعة ٢​​​	2H 2
19-simplex	10-orthoplex	مكعب ذو 10 خانات	11-نصف مكعب	(4 21 )	600 خلية	المنشور المضاد الكبير	10-10 هرم مزدوج	منشور مزدوج 10-10

وهو أيضًا مضلع بيتري للخلايا العشرين السطوح ذات 120 خلية ، والخلايا النجمية الصغيرة ذات 120 خلية ، والخلايا العشرين السطوح الكبيرة ذات 120 خلية ، والخلايا الكبيرة جدًا ذات 120 خلية .

• تسمية المضلعات والمجسمات متعددة الأوجه (مؤرشف في 25 مايو 2013 على موقع Wayback Machine)
• عشروني