65537-gon

في الهندسة ، يُعرف المضلع ذو 65537 ضلعًا بأنه مضلع يتكون من 65537 ضلعًا (أي 2^ ¹⁶ + 1). مجموع الزوايا الداخلية لأي مضلع ذي 65537 ضلعًا لا يتقاطع مع نفسه يساوي 11796300 درجة.

مساحة المضلع المنتظم ذي 65537 ضلعًا هي (حيث t = طول الضلع )

${\displaystyle A={\frac {65537}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}}$

يختلف محيط الشكل المنتظم ذي 65537 ضلعًا عن محيط الدائرة المحيطة به بحوالي 15 جزءًا في المليار .

يُعدّ المضلع المنتظم ذو 65537 ضلعًا (أي المضلع الذي تتساوى جميع أضلاعه وزواياه) ذا أهمية لكونه مضلعًا قابلًا للإنشاء ، أي أنه يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة غير المدرجة. ويعود ذلك إلى أن 65537 هو عدد أولي من أعداد فيرما ، ويأخذ الشكل 2 ^{^ n}  +  1 (حيث n  =  4). وبالتالي، فإن القيم${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65537}}}$و${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{65537}}}$هي أعداد جبرية من الدرجة 32768 ، ومثل أي أعداد قابلة للإنشاء ، يمكن كتابتها بدلالة الجذور التربيعية وليس الجذور ذات الرتبة الأعلى.

على الرغم من أن كارل فريدريش غاوس كان يعلم بحلول عام 1801 بإمكانية إنشاء المضلع المنتظم ذي 65537 ضلعًا، إلا أن أول إنشاء صريح لهذا المضلع قدمه يوهان غوستاف هيرمس (1894). يُعدّ هذا الإنشاء معقدًا للغاية؛ فقد أمضى هيرمس عشر سنوات في إكمال مخطوطة من 200 صفحة. ^{[ 1 ]} تتضمن طريقة أخرى استخدام 1332 دائرة كارلايل على الأكثر ، وتظهر المراحل الأولى لهذه الطريقة في الصورة أدناه. تواجه هذه الطريقة مشاكل عملية، إذ أن إحدى دوائر كارلايل هذه تحل المعادلة التربيعية x² + x - 16384 = 0 (حيث 16384 هو ^{2¹⁴ )} . ^{[ 2 ]}      

يتمتع المضلع المنتظم ذو 65537 ضلعًا _بتناظر D65537 ، من الرتبة 131074. ولأن 65537 عدد أولي ، فإن _{D65537 يحتوي على} مجموعتين جزئيتين دوريتين فعليتين : _Z65537 وZ2 _، واللتان تتوافقان مع المجموعة الجزئية الناتجة عن الدوران والانعكاس على التوالي. ^{[ 3 ]}

المضلع النجمي ذو 65537 ضلعًا هو مضلع نجمي ذو 65537 ضلعًا . وبما أن 65537 عدد أولي، فهناك 32767 شكلًا منتظمًا يمكن توليدها باستخدام رموز شلافلي.${\displaystyle \{{65537}/{n}\}}$لجميع الأعداد الصحيحة 2  ≤ n ≤ 32768 كما   ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {65537}{2}}\right\rfloor =32768}$.

• دائرة
• مثلث متساوي الأضلاع
• البنتاغون
• سباعي عشري الأضلاع (17 ضلعًا)
• 257 ضلعًا

• وايسشتاين، إريك دبليو. "65537-gon" . عالم الرياضيات .
• روبرت ديكسون، الرياضيات . نيويورك: دوفر، ص  53، 1991.
• بنيامين بولد، مسائل هندسية شهيرة وكيفية حلها، نيويورك: دوفر، ص  70، 1982. ISBN 978-0486242972
• مقدمة في الهندسة من تأليف إتش إس إم كوكسيتر ، الطبعة الثانية. نيويورك: وايلي، 1969. الفصل الثاني، المضلعات المنتظمة
• ليونارد يوجين ديكسون: الإنشاءات الهندسية باستخدام المسطرة والفرجار؛ المضلعات المنتظمة ، الفصل الثامن من سلسلة دراسات حول مواضيع الرياضيات الحديثة.
• ذات صلة بالمجال الابتدائي (تحرير جيه دبليو إيه يونغ). نيويورك: دوفر، ص  352-386، 1955.

• 65537-gon مؤرشف بتاريخ 2023-01-05 على موقع Wayback Machine (mathematik-olympiaden.de) (بالألمانية)، مع صور من وثائق HERMES؛ تم استرجاعه في 9 يوليو 2018
• ويكي بوكس ​​65537-Eck (ألماني): بناء تقريبي للجانب الأول في خطوتين رئيسيتين
• 65537-gon، بناء دقيق للجانب الأول ، باستخدام Quadratrix of Hippias و GeoGebra كأدوات مساعدة إضافية، مع وصف موجز (بالألمانية)