بناء نيوسيس

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 17 صور
الموسوعة الحرة
بناء نيوسيس

في الهندسة ، النيوسيس ( νεῦσις ؛ من اليونانية القديمة νεύειν (neuein) ' الميل نحو ' ؛ الجمع: νεύσεις ، neuseis ) هي طريقة بناء هندسية استخدمها علماء الرياضيات اليونانيون في العصور القديمة . 

بناء هندسي

يتألف بناء النيوسيس من تركيب عنصر خط مستقيم بطول معين ( a ) بين خطين معطيين (ليسا بالضرورة مستقيمين) ( l و m )، بحيث يمر امتداد عنصر الخط بنقطة معينة P. أي أن أحد طرفي عنصر الخط يجب أن يقع على l والطرف الآخر على m بينما يكون عنصر الخط "مائلاً" باتجاه P.

تُسمى النقطة P قطب النيوسيس، والخط l الخط الموجه، والخط m خط الإمساك. ويُسمى الطول a المسافة بين الخطين ( باليونانية : διάστημα ، وتعني حرفيًا " المسافة " ).

يمكن إنشاء مخطط نيوسيس باستخدام مسطرة مدرجة قابلة للدوران حول النقطة P (وذلك بوضع دبوس في النقطة P ثم الضغط بالمسطرة على الدبوس). في الشكل، أحد طرفي المسطرة مُعلّم بعلامة صفراء؛ وهي نقطة بداية تدريج المسطرة. تشير علامة ثانية على المسطرة (العلامة الزرقاء) إلى المسافة a من نقطة البداية. تُحرّك العلامة الصفراء على طول الخط l حتى تتطابق العلامة الزرقاء مع الخط m .

إذا اشترطنا أن يكون كل من الخطين l و m مستقيمين، يُطلق على هذا التركيب اسم "نيوسيس الخط-الخط". ويُعرَّف "نيوسيس الخط-الدائرة" و"نيوسيس الدائرة-الدائرة" بشكل مماثل. يمنحنا "نيوسيس الخط-الخط" القدرة على حل المعادلات التربيعية والتكعيبية (وبالتالي المعادلات من الدرجة الرابعة)، بينما يُعد "نيوسيس الخط-الدائرة" و"نيوسيس الدائرة-الدائرة" أقوى من "نيوسيس الخط-الخط". من الناحية التقنية، تقع أي نقطة مُولَّدة بواسطة "نيوسيس الخط-الدائرة" أو "نيوسيس الدائرة-الدائرة" في حقل امتداد للأعداد النسبية، والذي يمكن الوصول إليه بواسطة سلسلة من الحقول يكون فيها لكل زوج متجاور فهرس 2 أو 3 أو 5 أو 6، بينما تكون فهارس الأزواج المتجاورة في سلسلة حقل امتداد "نيوسيس الخط-الخط" إما 2 أو 3. [ 1 ]

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام طريقة الخط والدائرة

إنشاء نيوسيس باستخدام مسطرة لتقسيم زاوية معينة إلى ثلاثة أجزاء متساويةα{\displaystyle \alpha }، الأجزاء الزرقاء متساوية في الطول وكذلك نصف قطر الدائرة المعروضة.
دليل مرئي على أن الزاوية المُنشأةβ{\displaystyle \beta }يمثل ثلث الزاوية الأصلية.

بدءاً من سطرينℓ1{\displaystyle \ell _{1}}وℓ2{\displaystyle \ell _{2}}التي تتقاطع بزاويةα{\displaystyle \alpha }(موضوع التثليث)، ليكنأ{\displaystyle A}لتكن نقطة التقاطع ولتكنب{\displaystyle B}كن نقطة ثانية فيℓ2{\displaystyle \ell _{2}}ارسم دائرة من خلالب{\displaystyle B}مركزها فيأ{\displaystyle A}(ستكون المديرة)ℓ1{\displaystyle \ell _{1}}(والتقط خط الدائرة.) ضع المسطرة على الخطℓ2{\displaystyle \ell _{2}}وقم بتحديد ذلك فيأ{\displaystyle A}وب{\displaystyle B}مع إبقاء المسطرة (وليس العلامة) ملامسةب{\displaystyle B}حرك المسطرة وقم بتدويرها حتى تصبح العلامةأ{\displaystyle A}لمساتℓ1{\displaystyle \ell _{1}}حتى علامةب{\displaystyle B}تلامس الدائرة مرة أخرى. حدد هذه النقطة على الدائرة.ج{\displaystyle C}ودعد{\displaystyle D}كن النقطة التي يكون عندها المسطرة (وأ{\displaystyle A}-مارك) لمساتℓ1{\displaystyle \ell _{1}}الزاويةβ=أدب{\displaystyle \beta =ADB}يساوي ثلثα{\displaystyle \alpha }(كما هو موضح في الدليل المرئي أسفل الرسم التوضيحي للبناء).

استخدام العصب

كانت النيوسيس مهمة لأنها توفر أحيانًا وسيلة لحل مسائل هندسية لا يمكن حلها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط. ومن الأمثلة على ذلك تقسيم أي زاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية، ومضاعفة المكعب . [ 2 ] [ 3 ] استخدم علماء الرياضيات مثل أرخميدس السرقوسي (287-212  ق.م.) وبابوس الإسكندري (290-350 م) النيوسيس  بكثرة ؛ وسار إسحاق نيوتن (1642-1726) على نهجهم، واستخدم أيضًا إنشاءات النيوسيس. [ 4 ] ومع ذلك، تراجع استخدام هذه التقنية تدريجيًا.

المضلعات المنتظمة

لنفترض أن العدد x المراد إنشاؤه يقع في برج من الحقول فوقسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }،

سؤال=ك0⊂ك1⊂⋯⊂كن=ك.{\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K.}

ثم إن الشرط الكافي لإنشاء x هو ألا تتجاوز درجة التمديد في كل خطوة 4. [ n 1 ] في عام 2002، أظهر أ. باراجار أن الشرط الضروري لكي يكون x قابلاً للإنشاء هو ألا تتجاوز درجة التمديد في كل خطوة 6. [ n 2 ]

من بين جميع المضلعات ذات القوى الأولية الأقل من المضلع ذي 128 ضلعًا، يكفي هذا لإثبات أنه لا يمكن إنشاء المضلعات المنتظمة ذات 23 ، 29، 43، 47، 49، 53، 59، 67، 71، 79، 83، 89، 103، 107، 113، 121، و127 ضلعًا باستخدام برنامج neusis. (إذا كان من الممكن إنشاء مضلع منتظم ذي p ضلعًا، فإنζص=هـ2πأناص{\displaystyle \zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}}يمكن إنشاء المضلعات ذات الأضلاع 3  ، 4 ، 5 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12، 15 ، 16 ، 17 ، 20، 24 ، 30 ، 32 ، 34 ، 40 ، 48، 51 ، 60 ، 64، 68، 80، 85، 96، 102، 120، و128 باستخدام مسطرة وفرجار فقط، ويمكن إنشاء المضلعات ذات الأضلاع 7 ، 9 ، 13 ، 14 ، 18 ، 19، 21، 26، 27، و28. 35-، 36-، 37-، 38-، 39-، 42-، 52-، 54-، 56-، 57-، 63-، 65-، 70-، 72-، 73-، 74-، 76-، 78-، 81-، 84-، 91-، 95-، 97-، 104-، 105-، 108-، 109-، 111-، 112-، 114-، 117-، 119-، و126-مضلعًا مع تقسيم الزاوية الثلاثي. مع ذلك، لا يُعرف عمومًا ما إذا كانت جميع الدوال الخماسية (كثيرات الحدود من الدرجة الخامسة) لها جذور قابلة للإنشاء باستخدام طريقة نيوسيس، وهو أمر ذو صلة بالمضلعات ذات 11 و25 و31 و41 و61 و101 و125 ضلعًا. [ 5 ] أظهر بنجامين وسنايدر في عام 2014 أن المضلع المنتظم ذو 11 ضلعًا قابل للإنشاء باستخدام طريقة نيوسيس؛ [ 2 ] بينما لا تزال المضلعات ذات 25 و31 و41 و61 و101 و125 ضلعًا مسائل مفتوحة. وبشكل أعم، فإن إمكانية إنشاء جميع قوى العدد 5 الأكبر من 5 نفسه باستخدام مسطرة وفرجار مدرجين تُعد مسألة مفتوحة، إلى جانب جميع الأعداد الأولية الأكبر من 11 التي تأخذ الشكل p = 2r³s⁵t + 1 حيث t > 0 ( جميع الأعداد الأولية الأكبر من 11 والتي تساوي واحدًا أكثر من عدد عادي يقبل القسمة على 10). [ 5 ]       

تربيع الدائرة

لا يمكن لـ Neosis تربيع الدائرة ، لأن جميع النسب التي يمكن إنشاؤها بواسطة Neosis هي نسب جبرية ، وبالتالي لا يمكنها إنشاء نسب متسامية مثلπ{\displaystyle {\sqrt {\pi }}}.

تراجع الشعبية

اقترح المؤرخ الرياضي تي إل هيث أن عالم الرياضيات اليوناني أينوبيدس ( حوالي 440 قبل الميلاد ) كان أول من وضع الإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة فوق النيوسيس . وربما يكون أبقراط الخيوسي ( حوالي 430 قبل الميلاد )، الذي ينحدر من نفس جزيرة أينوبيدس، والذي كان - على حد علمنا - أول من كتب كتابًا منهجيًا في الهندسة، قد نشر مبدأ تجنب النيوسيس قدر الإمكان . وبعد مئة عام من ذلك، تجنب إقليدس أيضًا النيوسيس في كتابه المؤثر للغاية، " الأصول " .

جاء الهجوم التالي على مفهوم "النيوسيس" عندما اكتسبت مثالية أفلاطون رواجًا منذ القرن الرابع قبل الميلاد . وتحت تأثيرها، تم تطوير تسلسل هرمي لثلاث فئات من الإنشاءات الهندسية. تنازليًا من "المجرد والنبيل" إلى "الميكانيكي والأرضي"، كانت الفئات الثلاث كالتالي:

  1. الإنشاءات باستخدام الخطوط المستقيمة والدوائر فقط (الفرجار والمسطرة)؛
  2. الإنشاءات التي تستخدم بالإضافة إلى ذلك المقاطع المخروطية ( القطع الناقص ، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد )؛
  3. الإنشاءات التي تتطلب وسائل بناء أخرى، على سبيل المثال النيوسيس .

في النهاية، لم يُعتبر استخدام طريقة "نيوسيس" مقبولاً إلا عندما تعجز الطريقتان الأخريان الأكثر تقدماً عن إيجاد حل. أصبحت "نيوسيس" بمثابة الملاذ الأخير الذي يُلجأ إليه فقط عند فشل جميع الطرق الأخرى الأكثر موثوقية. وقد وصف عالم الرياضيات اليوناني الراحل بابوس الإسكندري ( حوالي 325 ميلادي ) استخدام "نيوسيس" في مواضع كان من الممكن فيها استخدام طرق بناء أخرى بأنه "خطأ لا يُستهان به".

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ انظر باراجار [ 5 ] ، (1) والنظرية 4.2. لاحظ أن تضمين 4 كدليل محتمل أو عدم تضمينه لا يحدث فرقًا وفقًا للملاحظة الواردة بعد النظرية 5.1.
  2. ^ انظر باراجار [ 5 ] ، النظرية 5.1.

مراجع

  1. ↑ رامشو، لايل (14 مارس 2014). "إنشاءات نيوسيس" . ماث أوفر فلو . تم الاسترجاع في 4 مايو 2025 . تتضمن هذه المقالة نصًا من هذا المصدر، وهو متاح بموجب ترخيص CC BY-SA 3.0 .
  2. 1 2 بنيامين، إليوت؛ سنايدر، سي (مايو 2014). "حول إنشاء الشكل المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار" . وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 156 (3): 409-424 . Bibcode : 2014MPCPS.156..409B . doi : 10.1017/S0305004113000753 . S2CID 129791392. تاريخ الاسترجاع: 26 سبتمبر 2020 . {{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  3. ↑ وايسشتاين، إريك و. "بناء نيوسيس". من ماث وورلد - مورد ويب من وولفرام. http://mathworld.wolfram.com/NeusisConstruction.html
  4. ↑ غوتشيارديني، نيكولو (2009). إسحاق نيوتن حول اليقين الرياضي والمنهج، العدد 4. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ص 68. ISBN  9780262013178.
  5. 1 2 3 4 آرثر باراجار (2002) الإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة ذات الشقين، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية، 109:2، 151-164، doi : 10.1080/00029890.2002.11919848
  • R. Boeker، 'Neusis'، في: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft ، G. Wissowa red. (1894–)، الملحق 9 (1962) 415–461. – باللغة الألمانية. المسح الأكثر شمولا. ومع ذلك، فإن المؤلف في بعض الأحيان لديه آراء غريبة إلى حد ما.
  • تي إل هيث ، تاريخ الرياضيات اليونانية (مجلدان؛ أكسفورد 1921).
  • HG Zeuthen , Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum [= نظرية المقاطع المخروطية في العصور القديمة] (كوبنهاغن 1886؛ أعيد طبعها في هيلدسهايم 1966).