Triacontagon

In geometry, a triacontagon or 30-gon is a thirty-sided polygon. The sum of any triacontagon's interior angles is 5040 degrees.

The regular triacontagon is a constructible polygon, by an edge-bisection of a regular pentadecagon, and can also be constructed as a truncatedpentadecagon, t{15}. A truncated triacontagon, t{30}, is a hexacontagon, {60}.

One interior angle in a regular triacontagon is 168 degrees, meaning that one exterior angle would be 12°. The triacontagon is the largest regular polygon whose interior angle is the sum of the interior angles of smaller polygons: 168° is the sum of the interior angles of the equilateral triangle (60°) and the regular pentagon (108°).

The area of a regular triacontagon is (with t = edge length)^[1]

${\displaystyle A={\frac {15}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {15}{4}}t^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

The inradius of a regular triacontagon is

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}t\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

The circumradius of a regular triacontagon is

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}t\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$

Construction

As 30 = 2 × 3 × 5 , a regular triacontagon is constructible using a compass and straightedge.^[2]

يتمتع الشكل الثلاثي المنتظم بتناظر ثنائي السطوح Dih ₃₀ ، من الرتبة 60، ممثلاً بـ 30 خط انعكاس. يحتوي Dih ₃₀ على 7 مجموعات فرعية ثنائية السطوح: Dih ₁₅ ، (Dih ₁₀ ، Dih ₅ )، (Dih ₆ ، Dih ₃ )، و(Dih ₂ ، Dih ₁ ). كما يحتوي على ثمانية تناظرات دورية أخرى كمجموعات فرعية: (Z ₃₀ ، Z ₁₅ )، (Z ₁₀ ، Z ₅ )، (Z ₆ ، Z ₃ )، و(Z ₂ ، Z ₁ )، حيث يمثل Z _n تناظرًا دورانيًا بزاوية π / n راديان.

يُصنّف جون كونواي هذه التناظرات الدنيا بحرف، ويتبع الحرف ترتيب التناظر. ^{[ 3 ]} يُعطي d (قطري) بخطوط انعكاس تمر بالرؤوس، و p بخطوط انعكاس تمر بالحواف (عمودية)، وi بخطوط انعكاس تمر بالرؤوس والحواف معًا، و g للتناظر الدوراني. أما a1 فيُشير إلى عدم وجود تناظر.

تتيح هذه التناظرات المنخفضة درجات حرية في تعريف الأشكال الثلاثية غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g30 فقط هي التي لا تملك درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

يذكر كوكسيتر أن كل مضلع زونوغون (مضلع طوله 2 م، أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تقسيمه إلى م ( م - 1)/2 متوازي أضلاع. ^{[ 4 ]} وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، حيث تكون متوازيات الأضلاع جميعها معينات. أما بالنسبة للمضلع الثلاثي المنتظم ، حيث م = 15، فيمكن تقسيمه إلى 105: 7 مجموعات من 15 معينًا. ويستند هذا التقسيم إلى إسقاط مضلع بيتري لمكعب ذي 15 ضلعًا .

أمثلة

النجمة الثلاثية هي شكل نجمي ذو 30 ضلعًا (مع أن هذا المصطلح نادر الاستخدام). توجد ثلاثة أشكال منتظمة تُعطى برموز شلافلي {30/7} و{30/11} و{30/13}، بالإضافة إلى 11 شكلًا نجميًا مركبًا لها نفس ترتيب الرؤوس .

المركبات والنجوم
استمارة	المركبات					مضلع نجمي	مُجَمَّع
صورة	{30/2}=2{15}	{30/3}=3{10}	{30/4}=2{15/2}	{30/5}=5{6}	{30/6}=6{5}	30/7	{30/8}=2{15/4}
الزاوية الداخلية	156 درجة	144 درجة	132 درجة	120 درجة	108 درجة	96 درجة	84 درجة
استمارة	المركبات		مضلع نجمي	مُجَمَّع	مضلع نجمي	المركبات
صورة	{30/9}=3{10/3}	{30/10}=10{3}	{30/11}	{30/12}=6{5/2}	{30/13}	{30/14}=2{15/7}	{30/15}=15{2}
الزاوية الداخلية	72 درجة	60 درجة	48 درجة	36 درجة	24 درجة	12 درجة	0°

توجد أيضًا أشكال ثلاثية الأضلاع متساوية الزوايا تُبنى كأشكال مقطوعة أعمق من الشكل الخماسي عشر المنتظم {15} والشكل الخماسي عشر {15/7}، والأشكال الخماسية العشرية المقلوبة {15/11} و{15/13}. وتشكل أشكال مقطوعة أخرى أغطية مزدوجة: t{15/14}={30/14}=2{15/7}، وt{15/8}={30/8}=2{15/4}، وt{15/4}={30/4}=2{15/4}، وt{15/2}={30/2}=2{15}. ^{[ 5 ]}

المركبات والنجوم
شبه منتظم	متساوي الزوايا							أغطية مزدوجة شبه منتظمة
t{15} = {30}								t{15/14}=2{15/7}
t{15/7}={30/7}								t{15/8}=2{15/4}
t{15/11}={30/11}								t{15/4}=2{15/2}
t{15/13}={30/13}								t{15/2}=2{15}

المضلع الثلاثي المنتظم هو مضلع بتري لثلاثة متعددات وجوه ثمانية الأبعاد ذات تناظر E8 _، موضحًا في إسقاطات متعامدة في مستوى كوكسيتر _E8 . وهو أيضًا مضلع بتري لمتعددي وجوه رباعيي الأبعاد، موضحًا في مستوى كوكسيتر _H4 .

E 8			H 4
4 21	2 41	1 42	120 خلية	600 خلية

يُعد الشكل الثلاثي المنتظم {30/7} أيضًا مضلع بيتري للخلايا النجمية الكبيرة ذات 120 خلية والخلايا النجمية الكبيرة ذات 600 خلية .

• تسمية المضلعات والمجسمات متعددة الأوجه
• ثلاثي الأضلاع