مكعب نصف فائق

في الهندسة ، تُعدّ المكعبات الفائقة النصفية (وتُسمى أيضًا المكعبات النصفية من الرتبة n ، والمكعبات النصفية من الرتبة n ، ومتعددات الوجوه ذات القياس النصفي ) فئةً من متعددات الوجوه من الرتبة n ، تُنشأ من تناوب مكعب فائق من الرتبة n _، ويُرمز لها بـ hγn لأنها نصف عائلة المكعبات الفائقة من الرتبة γn _. يُحذف نصف الرؤوس وتُشكّل أوجه جديدة. تصبح الأوجه 2n مكعبات نصفية من الرتبة 2n ( n - 1 ) ، وتُشكّل أوجه بسيطة من الرتبة ^2n-1 ( n -1) مكان الرؤوس المحذوفة. ^{[ 1 ]}

تمت تسميتها بإضافة البادئة "نصف" إلى كل اسم من أسماء المكعبات الفائقة : نصف مكعب ، نصف رباعي الأوجه ، إلخ. نصف المكعب مطابق للهرم الرباعي المنتظم ، ونصف رباعي الأوجه مطابق للهرم الرباعي المنتظم ذي الـ 16 خلية . يُعتبر نصف رباعي الأوجه شبه منتظم لاحتوائه على أوجه منتظمة فقط. أما الأشكال الأعلى، فلا تحتوي جميعها على أوجه منتظمة، ولكنها جميعًا متعددة الأوجه منتظمة .

الرسم البياني للرؤوس والحواف للمكعب الفائق النصفي هو الرسم البياني للمكعب المقسم إلى نصفين .

يتمتع المكعب النصفي ذو البعد n بتناظر انعكاسي إذا كان n زوجيًا .

وصف ثورولد جوسيت الشكل نصف المركزي في منشوره عام 1900، حيث سرد جميع الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في الأبعاد n التي تزيد عن ثلاثة. وأطلق عليه اسم الشكل شبه المنتظم من الرتبة 5. وهو موجود أيضًا ضمن عائلة متعددات الوجوه شبه المنتظمة k _{21 .}

يمكن تمثيل أنصاف المكعبات الفائقة برموز شلافلي الموسعة من الشكل h{4,3,...,3} باعتبارها نصف رؤوس المجموعة {4,3,...,3}. أشكال رؤوس أنصاف المكعبات الفائقة هي أشكال بسيطة من الرتبة n .

يتم تمثيلها بواسطة مخططات كوكسيتر-دينكين ذات الأشكال البنائية الثلاثة التالية:

1. ... ( كشكل متقابل متبادل ) s{2 ^1,1,...,1 }
2. ... ( كمكعب فائق متبادل ) h{4,3 ^{n −1} }
3. ... . (كمكعب فائق نصفي) {3 ^{1, n −3,1} }

كما قام HSM Coxeter بتسمية مخططات التفرع الثالث بـ 1 _{k 1} التي تمثل أطوال الفروع الثلاثة ويقودها الفرع الحلقي.

يحتوي المكعب النصفي ذو البعد n ، حيث n أكبر من 2، على n ( n -1)/2 من الحواف التي تلتقي عند كل رأس. تُظهر الرسوم البيانية أدناه عددًا أقل من الحواف عند كل رأس بسبب تداخل الحواف في إسقاط التناظر.

ن	1 كيلو 1	إسقاط مستوى كوكسيتر	رمز شلافلي	مخططات كوكسيتر A 1 n B n D n	عناصر										الأوجه : المكعبات الفائقة النصفية والمجسمات البسيطة	شكل الرأس
					الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	خمسة وجوه	ستة أوجه	سبعة وجوه	ثمانية وجوه	تسعة وجوه
2	1 −1,1	نصف مربع ( ديجون )	s{2} h{4} {3 1,−1,1 }		2	2									حافتان​	--
3	1 01	نصف مكعب ( هرم رباعي الأوجه )	s{2 1,1 } h{4,3} {3 1,0,1 }		4	6	4								(6 أشكال ثنائية ) 4 مثلثات	المثلث (المثلث القائم الزاوية)
4	1 11	ديميتسيراكت ( 16 خلية )	s{2 1,1,1 } h{4,3,3} {3 1,1,1 }		8	24	32	16							8 مكعبات نصفية (رباعيات الأوجه) 8 رباعيات الأوجه	ثماني السطوح (هرم رباعي السطوح مُقوَّم)
5	1 21	نصف ضلع	s{2 1,1,1,1 } h{4,3 3 }{3 1,2,1 }		16	80	160	120	26						10 خلايا ذات 16 خلية 16 خلية ذات 5 خلايا	5 خلايا مُقوَّمة
6	1 31	ديمي هيكسيراكت	s{2 1,1,1,1,1 } h{4,3 4 }{3 1,3,1 }		32	240	640	640	252	44					12 نصفيات 32 5- بسيطات	سداسي مصحح
7	1 41	نصف هيبتيراكت	s{2 1,1,1,1,1,1 } h{4,3 5 }{3 1,4,1 }		64	672	2240	2800	1624	532	78				14 نصف الأفعال 64 6- البسطاء	6-simplex المعدل
8	1 51	ديميوكتيراكت	s{2 1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 6 }{3 1,5,1 }		128	1792	7168	10752	8288	4032	1136	144			16 نصف حرف 128 7- البسطاء	7-simplex المعدل
9	1 61	تفاعل ديميين	s{2 1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 7 }{3 1,6,1 }		256	4608	21504	37632	36288	23520	9888	2448	274		18 نصف محرف 256 8- البسطاء	8-simplex المعدل
10	1 71	demidekeract	s{2 1,1,1,1,1,1,1,1,1 } h{4,3 8 }{3 1,7,1 }		512	11520	61440	122880	142464	115584	64800	24000	5300	532	20 منصفات 512 9- البسطاء	9-simplex المعدل
...
ن	1 ن −3,1	مكعب نصف دائري	s{2 1,1,...,1 } h{4,3 n −2 }{3 1, n −3,1 }	... ... ...	2 ن −1										2 ن ( ن − 1)-نصف مكعبات 2 ن −1 ( ن − 1)- البساطات	مُقوَّم ( ن - 1)-بسيط

بشكل عام، يمكن تحديد عناصر المكعب النصفي من المكعب الأصلي ذي البعد n : (مع C _{n ، m} = عدد ^الأوجه m في المكعب ذي البعد n = 2 ^{n − m} n !/( m !( n − m )!))

• الرؤوس: D _{n ,0} = 1/2 C _{n ,0} = 2 ^{n −1} ( يتبقى نصف رؤوس المكعب ذي البعد n )
• الحواف: D _{n ,1} = C _{n ,2} = 1/2 n ( n – 1) 2 ^{n −2} (جميع الحواف الأصلية مفقودة، كل وجه مربع يُنشئ حافة جديدة)
• الوجوه: D _{n ,2} = 4 * C _{n ,3} = 2/3 n ( n − 1)( n − 2) 2 ^{n −3} (جميع الوجوه الأصلية مفقودة، كل مكعب يُنشئ 4 وجوه مثلثية جديدة)
• الخلايا: D _{n ,3} = C _{n ,3} + 2 ³ C _{n ,4} (الأوجه الرباعية من الخلايا الأصلية بالإضافة إلى الأوجه الجديدة)
• الخلايا الفائقة: D _{n ,4} = C _{n ,4} + 2 ⁴ C _{n ,5} (16 خلية و 5 خلايا على التوالي)
• ...
• [لـ m = 3، ...، n − 1]: D _{n ، m} = C _{n ، m} + 2 ^m C _{n ، m +1} ( m- نصف مكعب و m- معقد على التوالي)
• ...
• الأوجه: D _{n , n −1} = 2 n + 2 ^{n −1} (( n − 1)-نصف المكعبات و ( n − 1)-البسيطات على التوالي)

المُثبِّت لنصف المكعب الفائق في المجموعة الثمانية السطوح الفائقة ( مجموعة كوكسيتر)${\displaystyle BC_{n}}$المجموعة [4,3 ^{n −1} ] لها دليل 2. وهي مجموعة كوكسيتر${\displaystyle D_{n},}$[3 ^{n −3,1,1} ] من الرتبة${\displaystyle 2^{n-1}n!}$ويتم توليدها عن طريق تبديل محاور الإحداثيات والانعكاسات على طول أزواج من محاور الإحداثيات. ^{[ 2 ]}

تتمتع الإنشاءات كأورثوتوبات متبادلة بنفس الطوبولوجيا، ولكن يمكن تمديدها بأطوال مختلفة في محاور التناظر n .

يُعدّ الشكل المعيني ثنائي الإسفين مثالاً ثلاثي الأبعاد على شكل متوازي مستطيلات متبادل. وله ثلاث مجموعات من أطوال الحواف، ووجوه مثلثية مختلفة الأضلاع .

• خلية نحل مكعبة فائقة
• متعدد الأوجه شبه منتظم من النوع E

• تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات ، ماكميلان، 1900
• جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26، الصفحات  409: أنصاف المكعبات: 1 _ن1 )
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]

• أولشيفسكي، جورج. "متعدد السطوح ذو القياس النصفي" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.