التصحيح (الهندسة)

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف التصحيح ، أو القطع الحرج أو القطع الكامل ، بأنه عملية قطع متعدد السطوح عن طريق تحديد منتصفات جميع أضلاعه ، وقطع رؤوسه عند تلك النقاط. ^{[ 1 ]} سيكون متعدد السطوح الناتج محاطًا بأوجه شكل الرأس والأوجه المُصحَّحة لمتعدد السطوح الأصلي.

يُرمز أحيانًا لعامل التصحيح بالحرف r باستخدام رمز شلافلي . على سبيل المثال، r {4,3} هو المكعب المُصحَّح ، ويُسمى أيضًا المكعب الثماني الأوجه ، ويُمثَّل أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$والمكعب الثماني السطوح المُقوَّم rr{4,3} هو مكعب ثماني السطوح معيني ، ويُمثَّل أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$.

يستخدم ترميز كونواي متعدد السطوح a بدلاً من ambo كعامل this. في نظرية الرسوم البيانية، تُنشئ هذه العملية رسمًا بيانيًا وسيطًا .

إن تصحيح أي متعدد السطوح منتظم ذاتي التناظر أو تبليط ينتج عنه متعدد سطوح منتظم آخر أو تبليط برتبة تبليط 4، على سبيل المثال، يتحول رباعي السطوح {3,3} إلى ثماني السطوح {3,4}. وكحالة خاصة، يتحول التبليط المربع {4,4} إلى تبليط مربع آخر {4,4} عند إجراء عملية التصحيح.

التصحيح هو المرحلة النهائية لعملية القطع. على سبيل المثال، على مكعب، يُظهر هذا التسلسل أربع خطوات من سلسلة متصلة من عمليات القطع بين الشكل المنتظم والشكل المصحح:

يمكن إجراء تصحيح من الدرجة الأعلى على متعددات الوجوه المنتظمة ذات الأبعاد الأعلى. وتُنتج أعلى درجة من التصحيح متعدد الوجوه المزدوج . يقوم التصحيح بتحويل الحواف إلى نقاط. ويقوم التصحيح الثنائي بتحويل الوجوه إلى نقاط. ويقوم التصحيح الثلاثي بتحويل الخلايا إلى نقاط، وهكذا.

يُظهر هذا التسلسل مكعبًا ثنائي التصحيح كتسلسل نهائي من مكعب إلى ثنائي حيث يتم اقتطاع الوجوه الأصلية إلى نقطة واحدة:

المضلع المزدوج هو نفسه شكله المصحح. توضع رؤوس جديدة في مركز حواف المضلع الأصلي.

لكل مجسم أفلاطوني ونظيره الثنائي نفس المجسم متعدد السطوح المصحح. (لا ينطبق هذا على متعددات السطوح في الأبعاد الأعلى).

يُمكن التعبير عن المجسم متعدد السطوح المُقوّم كتقاطع بين المجسم الأفلاطوني الأصلي ونسخة متحدة المركز منه بحجم مناسب. ولهذا السبب، فإن اسمه مُشتق من اسمي المجسم الأصلي والمجسم الثنائي.

• إن رباعي الأوجه هو نظيره، وتصحيحه هو رباعي الأوجه ، المعروف باسم ثماني الأوجه .
• المجسم الثماني الأوجه والمكعب هما ثنائي كل منهما، وتصحيحهما هو المجسم الثماني الأوجه المكعب .
• المجسم العشري الوجوه والمجسم الاثني عشري الوجوه هما مجسمان متناظران، وتصحيحهما هو المجسم العشري الاثني عشري الوجوه .

أمثلة

عائلة	أحد الوالدين	تصحيح	مزدوج
[p,q]
[3,3]	رباعي الأوجه	المجسم الثماني	رباعي الأوجه
[4,3]	مكعب	مكعب ثماني الأوجه	المجسم الثماني
[5,3]	مجسم ذو اثني عشر وجهًا	عشروني عشري الوجوه	المجسم العشري الوجوه
[6,3]	تبليط سداسي	التبليط ثلاثي الأضلاع	تبليط مثلثي
[7,3]	التبليط السباعي من الرتبة 3	التبليط ثلاثي الأضلاع	تبليط مثلثي من الرتبة 7
[4,4]	تبليط مربع	تبليط مربع	تبليط مربع
[5,4]	تبليط خماسي من الرتبة الرابعة	التبليط الرباعي الخماسي	طلب 5 بلاطات مربعة

كل متعدد السطوح منتظم محدب رباعي الأبعاد له شكل مصحح كمتعدد سطوح منتظم رباعي الأبعاد .

يحتوي متعدد السطوح المنتظم ذو 4 أضلاع {p,q,r} على خلايا {p,q}. وسيكون لتصحيحه نوعان من الخلايا، متعدد السطوح المصحح {p,q} المتبقي من الخلايا الأصلية ومتعدد السطوح {q,r} كخلايا جديدة تتكون من كل رأس مقطوع.

مع ذلك، فإنّ المجموعة المُعدّلة {p,q,r} لا تُماثل المجموعة المُعدّلة {r,q,p}. وهناك اقتطاع آخر، يُسمى اقتطاعًا ثنائيًا ، وهو متناظر بين متعدد السطوح رباعي الأبعاد ومتعدد السطوح الثنائي الخاص به. انظر: متعدد السطوح رباعي الأبعاد الموحد#الاشتقاقات الهندسية .

أمثلة

عائلة	أحد الوالدين	تصحيح	التقويم المزدوج (التقويم الثنائي)	التوجيه الثلاثي (المزدوج)
[ p , q , r ]	{ p , q , r }	r{ p , q , r }	2r{ p , q , r }	3r{ p , q , r }
[3,3,3]	5 خلايا	خلية خماسية مُقوَّمة	خلية خماسية مُقوَّمة	5 خلايا
[4,3,3]	مكعب رباعي الأبعاد	مكعب رباعي الأضلاع مُقوَّم	خلية مقومة ذات 16 خلية ( 24 خلية )	16 خلية
[3,4,3]	24 خلية	خلية مقومة 24	خلية مقومة 24	24 خلية
[5,3,3]	120 خلية	خلية مقومة 120	خلية مقومة 600	600 خلية
[4,3,4]	قرص العسل المكعب	قرص العسل المكعب المُقوَّم	قرص العسل المكعب المُقوَّم	قرص العسل المكعب
[5,3,4]	رتبة 4 دوديكاشرال	رتبة مصححة من رتبة 4 دوديكاهيدرالي	مكعب من الدرجة الخامسة المعدلة	الطلب - 5 مكعبات

يُختزل الشكل متعدد الأوجه في عملية تصحيح أولية، حيث تُختزل الحواف إلى نقاط. إذا كان متعدد الأوجه منتظمًا ، يُمثَّل هذا الشكل برمز شلافلي الموسع t 1 { _p ,q,...} أو r {p,q,...}.

يُختزل الشكل إلى نقاط عن طريق تصحيح ثانٍ، أو تصحيح مزدوج . إذا كان منتظمًا، فيُرمز له بـ t ₂ {p,q,...} أو 2 r {p,q,...}. أما بالنسبة للمجسمات متعددة السطوح ، فيُنشئ التصحيح المزدوج مجسمًا ثنائيًا .

يمكن إنشاء تصحيحات من درجات أعلى للمضلعات متعددة الأوجه ذات الأبعاد الأعلى. وبشكل عام، يقوم التصحيح من الدرجة n بتقليص الأوجه ذات n وجهًا إلى نقاط.

إذا تم تصحيح متعدد الأوجه من الرتبة n إلى (n-1)، فإن أوجهه تُختزل إلى نقاط ويصبح متعدد الأوجه ثنائيًا له .

الرموز والجوانب

توجد رموز مكافئة مختلفة لكل درجة من درجات التصحيح. توضح هذه الجداول الأسماء حسب البعد ونوعي الأوجه لكل درجة.

المضلعات المنتظمة

الأوجه هي حواف، ويتم تمثيلها على شكل {}.

الاسم {p}	مخطط كوكسيتر	رمز t-notation Schläfli	رمز شلافلي العمودي
			اسم	الوجه الأول	الوجه الثاني
أحد الوالدين		t 0 {p}	{p}	{}
تم تصحيحه		t 1 {p}	{p}		{}

المجسمات المنتظمة والتبليطات​

الأوجه هي مضلعات منتظمة.

الاسم {p،q}	مخطط كوكسيتر	رمز t-notation Schläfli	رمز شلافلي العمودي
			اسم	الوجه الأول	الوجه الثاني
أحد الوالدين	=	t 0 {p,q}	{p,q}	{p}
تم تصحيحه	=	t 1 {p,q}	r{p,q} =${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	{p}	{q}
ثنائي التصحيح	=	t 2 {p,q}	{q,p}		{q}

أشكال متعددة الأوجه منتظمة وموحدة رباعية الأوجه وخلايا النحل

الأوجه هي مجسمات متعددة السطوح منتظمة أو مصححة.

الاسم {p,q,r}	مخطط كوكسيتر	رمز t-notation Schläfli	رمز شلافلي الموسع
			اسم	الوجه الأول	الوجه الثاني
أحد الوالدين		t 0 {p,q,r}	{p,q,r}	{p,q}
تم تصحيحه		t 1 {p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$= r{p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$= r{p,q}	{q,r}
مُقوَّم ثنائيًا (مُقوَّم مزدوجًا)		t 2 {p,q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$= r{r,q,p}	{q,r}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\\r\end{Bmatrix}}}$= r{q,r}
ثلاثي التوجيه (مزدوج)		t 3 {p,q,r}	{r,q,p}		{r,q}

خلايا نحل منتظمة ذات 5 أوجه و4 مساحات

الأوجه هي أشكال متعددة الوجوه منتظمة أو مصححة من الدرجة الرابعة.

الاسم {p,q,r,s}	مخطط كوكسيتر	رمز t-notation Schläfli	رمز شلافلي الموسع
			اسم	الوجه الأول	الوجه الثاني
أحد الوالدين		t 0 {p,q,r,s}	{p,q,r,s}	{p,q,r}
تم تصحيحه		t 1 {p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \ \ \ \\q,r,s\end{Bmatrix}}}$= r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\ \ \\q,r\end{Bmatrix}}}$= r{p,q,r}	{q,r,s}
ثنائي التوجيه (ثنائي التوجيه)		t 2 {p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r,s\end{Bmatrix}}}$= 2r{p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\ \ \end{Bmatrix}}}$= r{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q\ \ \\r,s\end{Bmatrix}}}$ = r{q,r,s}
ثلاثي التوجيه (ثنائي مقوم)		t 3 {p,q,r,s}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q,p\\s\ \ \ \ \ \end{Bmatrix}}}$= r{s,r,q,p}	{r,q,p}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}r,q\\s\ \ \end{Bmatrix}}}$= r{s,r,q}
رباعي التوجيه (مزدوج)		t 4 {p,q,r,s}	{s,r,q,p}		{s,r,q}

• تدوين متعدد السطوح كونواي
• متعدد الأوجه المزدوج
• قائمة متعددات الوجوه المنتظمة
• متعدد السطوح شبه المنتظم
• الاقتطاع (الهندسة)
• متعدد الوجوه رباعي منتظم
• متعدد السطوح منتظم

• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8(الصفحات  145-154 الفصل 8: الاقتطاع)
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
• جون إتش. كونواي ، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(الفصل 26)

• أولشيفسكي، جورج. "التصحيح" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.

عوامل متعددة السطوح

• v
• ت
• هـ

بذرة	الاقتطاع	تصحيح	اقتطاع مزدوج	مزدوج	توسع	الاختصار الكامل	التناوب
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht 0 { p , q } h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }