التناوب (الهندسة)

يؤدي تناوب المكعب إلى تكوين رباعي الأوجه .

يؤدي تناوب شكل مكعب ثماني الأوجه مقطوع إلى إنشاء مكعب غير منتظم .

في الهندسة، يُعرف التناوب أو القطع الجزئي بأنه عملية تُجرى على مضلع أو متعدد السطوح أو تبليط أو متعدد السطوح ذي أبعاد أعلى ، حيث يتم إزالة الرؤوس المتبادلة. ^{[ 1 ]}

يُشير كوكسيتر إلى التناوب بالحرف "h" في بدايته ، اختصارًا لكلمة "نصف" أو "نصف" . ولأن التناوب يُقلل عدد أضلاع جميع أوجه المضلع إلى النصف، فإنه لا يُطبق إلا على المضلعات متعددة الأوجه ذات الأوجه الزوجية. يصبح الوجه المربع المُتناوب ثنائي الأضلاع ، ولأنه مُنحط، فإنه عادةً ما يُختزل إلى ضلع واحد.

بشكل عام، يمكن تبديل أي متعدد السطوح أو تبليط منتظم الرؤوس ذي تكوين رؤوس يتكون من عناصر ذات أرقام زوجية . على سبيل المثال، تبديل شكل رأسي ذي 2a.2b.2c هو a.3.b.3.c.3، حيث يمثل الرقم 3 عدد العناصر في هذا الشكل. وتُعد الوجوه المربعة التي ينقسم ترتيبها إلى نصفين لتكوين أشكال ثنائية متدهورة حالة خاصة. فعلى سبيل المثال، يتم تبديل المكعب 4.4.4 ليصبح 2.3.2.3.2.3 ، والذي يُختزل إلى 3.3.3، وهو رباعي الأوجه ، ويمكن اعتبار جميع حواف رباعي الأوجه الستة وجوهًا متدهورة للمكعب الأصلي.

يمكن اعتبار الشكل المقطوع (بحسب مصطلحات كوكسيتر) بمثابة تناوب بين شكل متعدد السطوح منتظم أو شبه منتظم مقطوع . وبشكل عام، يمكن أن يكون الشكل متعدد السطوح مقطوعًا إذا كان القطع يحتوي على أوجه زوجية الأضلاع فقط. ويمكن أن تكون جميع الأشكال متعددة السطوح المقطوعة والمعدلة قابلة للقطع، وليس فقط من الأشكال متعددة السطوح المنتظمة.

المنشور المربع المضاد للقطع هو مثال على القطع العام، ويمكن تمثيله بواسطة ss{2,4}، مع المنشور المربع المضاد ، s{2,4}.

تنطبق عملية التناوب هذه على متعددات الوجوه والهياكل السداسية ذات الأبعاد الأعلى أيضًا، ولكن بشكل عام، لن تكون معظم نتائج هذه العملية منتظمة. فالفراغات الناتجة عن حذف الرؤوس لا تُنتج عادةً أوجهًا منتظمة، وعادةً لا توجد درجات حرية كافية للسماح بإعادة تحجيم مناسبة للحواف الجديدة. ومع ذلك، توجد استثناءات، مثل اشتقاق الشكل ذي الـ 24 خلية المقطوع من الشكل ذي الـ 24 خلية المقتطع .

أمثلة:

• خلايا النحل
  1. يُعد قرص العسل المكعب المتناوب قرص العسل رباعي الأوجه-ثماني الأوجه .
  2. قرص العسل ذو الشكل المنشوري السداسي المتناوب هو قرص العسل المكعب المتناوب ذو الشكل الدائري .
• 4-متعدد الوجوه
  1. الخلية المستبدلة المبتورة ذات 24 خلية هي الخلية المبتورة ذات 24 خلية .
• 4- خلايا النحل:
  1. قرص العسل ذو الـ 24 خلية المتناوبة والمقتطعة هو قرص العسل ذو الـ 24 خلية المقطوعة .
• يمكن دائمًا تحويل المكعب الفائق إلى مكعب فائق نصف منتظم .
  1. مكعب → رباعي الأوجه (منتظم)
     • →
  2. المكعب رباعي الأضلاع ( ثماني خلايا ) ← المكعب سداسي عشر خلية (عادي)
     • →
  3. Penteract → demipenteract (شبه منتظم)
  4. هيكسيراكت → ديمي هيكسيراكت (موحد)
  5. ...

استخدم كوكسيتر أيضًا المؤثر a ، الذي يحتوي على كلا النصفين، وبالتالي يحافظ على التناظر الأصلي. بالنسبة للمجسمات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، يمثل a{2p,q} مجسمًا مركبًا بنسختين متقابلتين من h{2p,q}. أما بالنسبة للمجسمات المنتظمة ذات الأضلاع الفردية، التي يزيد عددها عن 3، فإن a{p,q} يصبح مجسمًا نجميًا .

قام نورمان جونسون بتوسيع استخدام عامل التشغيل المعدل a {p,q}، b {p,q} للمزج ، و c {p,q} للتحويل ، على التوالي .

يمكن تمثيل متعدد السطوح المركب المعروف باسم ثماني السطوح النجمي بواسطة a{4,3} ( مكعب معدل )، و , .

يمكن تمثيل متعدد السطوح النجمي المعروف باسم المجسم العشري عشري المثلثي الصغير بالصيغة a{5,3} ( مجسم اثني عشري معدل )، و . هنا، تم تحويل جميع الخماسيات إلى نجوم خماسية بالتناوب، وتم إدخال مثلثات لشغل الحواف الحرة الناتجة.

يمكن تمثيل المجسم النجمي المعروف باسم المجسم العشري عشري المثلثي الكبير بواسطة a{5/2,3} ( مجسم نجمي اثني عشري كبير معدل )، و . هنا، تم تحويل جميع النجوم الخماسية بالتناوب إلى أشكال خماسية، وتم إدخال مثلثات لشغل الحواف الحرة الناتجة.

يمكن لعملية مماثلة اقتطاع رؤوس بديلة، بدلاً من إزالتها تمامًا. فيما يلي مجموعة من المجسمات متعددة الأوجه التي يمكن توليدها من المجسمات الكاتالونية . تحتوي هذه المجسمات على نوعين من الرؤوس يمكن اقتطاعهما بالتناوب. ينتج عن اقتطاع الرؤوس "ذات الرتبة الأعلى" وكلا نوعي الرؤوس الأشكال التالية:

اسم	إبداعي	الاقتطاع المتناوب	الاقتطاع	اسم مختصر
مكعب ثنائي من رباعي الأوجه المعدل				مكعب مقطوع بديل
المعين ذو الاثني عشر وجهًا هو ثنائي المكعب الثماني الأوجه				مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا مقطوع
مجسم ثلاثي الأضلاع معيني ثنائي مجسم عشريني الأوجه				مجسم ثلاثي الأضلاع معيني مقطوع
رباعي الأوجه ثلاثي الأوجه، ثنائي رباعي الأوجه المقطوع				رباعي الأوجه ثلاثي الأضلاع المبتور
مجسم ثلاثي الأوجه، ثنائي المكعب المقطوع				ثماني السطوح ثلاثي الأوجه المبتور
مجسم ثلاثي الوجوه ذو عشرين وجهًا، ثنائي مجسم اثني عشري الوجوه المقطوع				مجسم ثلاثي الوجوه مقطوع

• تدوين كونواي متعدد السطوح
• التصحيح (الهندسة)
• الاقتطاع (الهندسة)
• متعدد الوجوه رباعي منتظم
• متعدد السطوح منتظم
• شركة ويثوف للإنشاءات

• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8
• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
  • إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
• وايسستين، إريك دبليو. “Snubification” . عالم الرياضيات .
• ريتشارد كليتزينج، Snubs، والسطوح المتبادلة، ومخططات Stott-Coxeter-Dynkin ، التناظر: الثقافة والعلوم، المجلد 21، العدد 4، 329-344، (2010)

• أولشيفسكي، جورج. "التناوب" . مسرد مصطلحات الفضاء الفائق . مؤرشف من الأصل في 4 فبراير 2007.
• أسماء المجسمات متعددة الأوجه، تجاهل

عوامل متعددة السطوح

• v
• ت
• هـ

بذرة	الاقتطاع	تصحيح	اقتطاع مزدوج	مزدوج	توسع	الاختصار الكامل	التناوب
t 0 { p , q } { p , q }	t 01 { p , q } t{ p , q }	t 1 { p , q } r{ p , q }	t 12 { p , q } 2t{ p , q }	t 2 { p , q } 2r{ p , q }	t 02 { p , q } rr{ p , q }	t 012 { p , q } tr{ p , q }	ht 0 { p , q } h{ q , p }	ht 12 { p , q } s{ q , p }	ht 012 { p , q } sr{ p , q }