تبليط مثلثي

تبليط مثلثي
يكتب	التبليط المنتظم
تكوين الرؤوس	3.3.3.3.3.3 (أو 3 6 )
تكوين الوجه	الإصدار V6.6.6 (أو V6 3 )
رمز (رموز) شلافلي	{3,6} {3 [3] }
رمز (رموز) Wythoff	٦ | ٣ ٢ ٣ | ٣ ٣ | ٣ ٣ ٣
مخططات كوكسيتر	=
التناظر	p6m , [6,3], (*632)
التناظر الدوراني	ص6 , [6,3] + , (632) ص3 , [3 [3] ] + , (333)
مزدوج	تبليط سداسي
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس ، متعدٍ على الحواف ، متعدٍ على الوجوه

في الهندسة ، يُعدّ التبليط المثلثي أحد أنواع التبليط المنتظم الثلاثة للمستوى الإقليدي ، وهو النوع الوحيد الذي لا تكون فيه الأشكال المكونة له متوازيات أضلاع . ولأن الزاوية الداخلية للمثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة، فإن ستة مثلثات عند نقطة واحدة تشغل 360 درجة كاملة. رمز التبليط المثلثي في ​​نظام شلافلي هو {3،6}.

أطلق عالم الرياضيات الإنجليزي جون كونواي على هذا الشكل اسم "دلتيل" ، نسبةً إلى الشكل المثلثي للحرف اليوناني دلتا (Δ). ويمكن أيضاً تسمية هذا التبليط المثلثي بـ" كيشيكستيل" من خلال عملية "كيس" التي تضيف نقطة مركزية ومثلثات لتحل محل أوجه "هيكستيل" .

وهو أحد التبليطات المنتظمة الثلاثة للمستوى . أما التبليطان الآخران فهما التبليط المربع والتبليط السداسي .

توجد تسعة ألوان موحدة مميزة لتبليط مثلثي. (تُسمى الألوان بمؤشرات على المثلثات الستة المحيطة برأس المثلث: 111111، 111112، 111212، 111213، 111222، 112122، 121212، 121213، 121314). يمكن اشتقاق ثلاثة منها من ألوان أخرى بتكرار الألوان: 111212 و111112 من 121213 بدمج اللونين 1 و3، بينما يُشتق اللون 111213 من 121314. ^{[ 1 ]}

يوجد نوع واحد من تلوينات أرخميدس ، وهو 111112 (المميز بعلامة *)، لا يتبع نمط التلوين الأحادي المنتظم، إذ يحتوي على صفوف متناوبة من المثلثات حيث يُلوّن كل ثلث منها. المثال الموضح هو نمط التلوين الثنائي المنتظم، ولكن هناك عدد لا نهائي من تلوينات أرخميدس هذه التي يمكن إنشاؤها عن طريق إزاحات أفقية عشوائية للصفوف.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
p6m (*632)	p3m1 (*333)	سم (2*22)	ص2 (2222)	ص2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
ص31م (3*3)			ص3 (333)

^{يُطلق على} ترتيب رؤوس التبليط المثلثي اسم شبكة A2 . ^[ ₂ ^] وهي الحالة ثنائية الأبعاد لخلية النحل البسيطة .

يمكن إنشاء شبكة A ^* ₂ (وتسمى أيضًا A ³ ₂ ) عن طريق اتحاد جميع شبكات A ₂ الثلاثة ، وهي مكافئة لشبكة A ₂ .

+ + = ثنائي =

رؤوس التبليط المثلثي هي مراكز أعلى كثافة ممكنة لتعبئة الدوائر . ^{[ 3 ]} كل دائرة متصلة بست دوائر أخرى في التعبئة ( عدد التلامس ). كثافة التعبئة هي π / √12 أو 90.69%. خلية فورونوي للتبليط المثلثي سداسية ، وبالتالي فإن تبليط فورونوي ، أي التبليط السداسي، له تطابق مباشر مع تعبئة الدوائر.

يمكن إنشاء تبليطات مثلثية باستخدام بنية {3,6} المكافئة للتبليط المنتظم (6 مثلثات حول كل رأس). مع وجود أوجه متطابقة ( خاصية التعدي على الأوجه ) وخاصية التعدي على الرؤوس ، توجد 5 اختلافات. يفترض التناظر المذكور أن جميع الأوجه لها نفس اللون. ^{[ 4 ]}

• 
  مثلث مختلف الأضلاع، تناظر p2
• 
  مثلث مختلف الأضلاع، تناظر pmg
• 
  مثلث متساوي الساقين متناظر
• 
  مثلث قائم الزاوية متناظر (cmm)
• 
  مثلث متساوي الأضلاع متناظر p6m

ترتبط التبليطات المستوية بالمجسمات متعددة الأوجه . يؤدي وضع عدد أقل من المثلثات على رأس ما إلى ترك فراغ، مما يسمح بطيّه على شكل هرم . ويمكن توسيع هذه التبليطات لتشمل المجسمات الأفلاطونية : خمسة مثلثات على رأس ما، وأربعة مثلثات على رأس ما، تُحدد على التوالي مجسمًا عشريني الأوجه ، ومجسمًا ثماني الأوجه ، ومجسمًا رباعي الأوجه .

يرتبط هذا التبليط طوبولوجيًا كجزء من سلسلة من متعددات السطوح المنتظمة ذات رموز شلافلي {3، ن}، والتي تستمر في المستوى الزائدي .

* طفرة التناظر n 32 للتبليطات المنتظمة: {3، n } v ت هـ
كروي				إقليدس.	هايبر مضغوط.		باراكو.	القطع الزائد غير المضغوط
3.3	3 3	3 4	3 5	3 6	3 7	3 8	3 ∞	3 12i	3 9i	3 6i	3 3i

كما أنها مرتبطة طوبولوجيًا كجزء من سلسلة الأجسام الكاتالونية ذات التكوين الوجهي Vn.6.6، وتستمر أيضًا في المستوى الزائدي.

الإصدار 3.6.6

الإصدار 4.6.6

الإصدار 5.6.6

الإصدار 6.6.6

الإصدار 7.6.6

إنشاءات ويثوف من البلاطات السداسية والمثلثة

مثل المجسمات متعددة الأوجه المنتظمة، هناك ثمانية تبليطات منتظمة يمكن أن تستند إلى التبليط السداسي المنتظم (أو التبليط المثلثي المزدوج).

برسم البلاطات الملونة باللون الأحمر على الأوجه الأصلية، والأصفر عند الرؤوس الأصلية، والأزرق على طول الحواف الأصلية، نحصل على 8 أشكال، 7 منها متميزة طوبولوجيًا. ( البلاط المثلثي المقطوع مطابق طوبولوجيًا للبلاط السداسي).

تبليط سداسي/مثلث منتظم
المجالات الأساسية	التناظر : [6،3]، (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
التكوين	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

تبليطات متناظرة مثلثية v ت هـ
ويثوف	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
كوكسيتر
شكل رأس الصورة	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	(3.3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

يوجد أربعة أشكال هندسية منتظمة معقدة غير مضلعة ، تشترك في رؤوس التبليط المثلثي. تحتوي الأشكال الهندسية المنتظمة المعقدة غير المضلعة على رؤوس وحواف، حيث يمكن أن تحتوي الحواف على رأسين أو أكثر. تخضع الأشكال الهندسية المنتظمة غير المضلعة p { q } r للقيد التالي: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. تحتوي الحواف على p رأسًا، وتكون أشكال الرؤوس r- مضلعة. ^{[ 5 ]}

الأول مصنوع من حافتين، والحافتان التاليتان مثلثيتان، والأخير له حواف سداسية متداخلة.

2{6}6 أو	3{4}6 أو	3{6}3 أو	6{3}6 أو

أنواع أخرى من التبليط المثلثي

كما توجد ثلاثة أنواع من بلاط لافيس مصنوعة من نوع واحد من المثلثات:

مثلثات قائمة الزاوية 30°-60°-90°

مثلثات قائمة الزاوية 45°-45°-90°

مثلثات متساوية الساقين 30°-30°-120°

• التصميم الإنشائي باستخدام التبليط المثلثي ( Isogrid )
• قائمة التبليطات الموحدة
• قرص العسل البسيط
• تبليط المضلعات المنتظمة
• بلاط مثلث الشكل على شكل خلية نحل

• كوكسيتر، HSM Regular Polytopes ، (الطبعة الثالثة، 1973)، طبعة دوفر، ISBN 0-486-61480-8صفحة  296، الجدول الثاني: خلايا النحل العادية
• غرونباوم، برانكو وشيبارد، جي سي (1987). التبليط والأنماط . نيويورك: دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-1193-1.(الفصل 2.1: التبليط المنتظم والموحد ، ص  58-65، الفصل 2.9: التلوين الأرخميدي والتلوين الموحد، ص  102-107)
• ويليامز، روبرت (1979). الأساس الهندسي للبنية الطبيعية: كتاب مرجعي في التصميم . منشورات دوفر. رقم ISBN 0-486-23729-X.

ص35

• جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، تناظرات الأشياء 2008، رقم ISBN 978-1-56881-220-5

الوسائط المتعلقة بالبلاط المثلثي من الرتبة السادسة على ويكيميديا ​​كومنز

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الشبكة المثلثية" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة المنتظمة" . عالم الرياضيات .
  • وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة المنتظمة" . عالم الرياضيات .
• كليتزينغ، ريتشارد. "تبليطات إقليدية ثنائية الأبعاد x3o6o - trat - O2" .

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$/${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	تبليط موحد	0 [3]	δ 3	h δ 3	q δ 3	سداسي
E 3	قرص العسل المحدب المنتظم	0 [4]	δ 4	h δ 4	q δ 4
E 4	قرص عسل رباعي منتظم	0 [5]	δ 5	h δ 5	q δ 5	قرص العسل ذو 24 خلية
E 5	قرص عسل موحد من 5	0 [6]	δ 6	h δ 6	q δ 6
E 6	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 [7]	δ 7	h δ 7	q δ 7	2 22
E 7	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 [8]	δ 8	h δ 8	q δ 8	1 33 • 3 31
E 8	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 [9]	δ 9	h δ 9	q δ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	قرص عسل موحد مكون من 9 خلايا	0 [10]	δ 10	h δ 10	q δ 10
E 10	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 [11]	δ 11	h δ 11	q δ 11
E n −1	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 [ ن ]	δ n	h δ n	q δ n	1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21