تكوين الرؤوس

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 25 صور
الموسوعة الحرة
تكوين رؤوس المجسم ذي العشرة عشر وجهًا هو3.5.3.5{\displaystyle 3.5.3.5}أو(3.5)2{\displaystyle (3.5)^{2}}.

في الهندسة ، يُعدّ تكوين الرؤوس اختصارًا لتمثيل متعدد السطوح أو التبليط كسلسلة من الأوجه حول رأس . وقد أُطلق عليه مسميات مختلفة، منها: وصف الرأس ، [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] نوع الرأس ، [ 4 ] [ 5 ] رمز الرأس ، [ 6 ] [ 7 ] ترتيب الرؤوس ، [ 8 ] نمط الرؤوس ، [ 9 ] متجه الوجه، [ 10 ] تسلسل الرؤوس. [ 11 ] كما يُعرف أيضًا برمز كاندي وروليت لاستخدامه مع المجسمات الأرخميدية في كتابهما "النماذج الرياضية" الصادر عام 1952. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] بالنسبة لمتعددات السطوح المنتظمة ، يوجد نوع واحد فقط من الرؤوس، وبالتالي فإن تكوين الرؤوس يُحدد متعدد السطوح بشكل كامل. ( توجد متعددات السطوح الكيرالية في أزواج متطابقة معكوسة لها نفس تكوين الرؤوس).

على سبيل المثال، يشير الرمز " 3.5.3.5 " إلى رأس ينتمي إلى أربعة أوجه، تتناوب فيها المثلثات والخماسيات . يُعرّف هذا التكوين الرأسي مجسمًا ذا عشرين وجهًا متعديًا على الرؤوس . هذه الصيغة دورية، وبالتالي فهي متكافئة مع اختلاف نقاط البداية، لذا فإن 3.5.3.5 هو نفسه 5.3.5.3. الترتيب مهم، لذا فإن 3.3.5.5 يختلف عن 3.5.3.5 (الأول يحتوي على مثلثين متبوعين بخماسيين). يمكن تجميع العناصر المتكررة كأسس، لذا يُكتب هذا المثال أيضًا على النحو التالي: (3.5) 2 .

الترميز

شبكات الأشكال ذات الرؤوس المنتظمة، { p , q } = p q
رباعي الأوجه {3,3} = 3 3 عيب 180 درجةثماني السطوح {3,4} = 3 4 عيب 120 درجةمجسم عشروني الوجوه {3,5} = 3 5 عيب 60°التبليط المثلثي {3,6} = 3 6 عيب 0°
مكعب {4,3} عيب 90 درجةتبليط مربع {4,4} = 4 4 عيب 0°مجسم ذو اثني عشر وجهًا {5,3} = 5 3 عيب 36°التبليط السداسي {6,3} = 6 3 عيب 0°
يحتاج الرأس إلى 3 أوجه على الأقل، وزاوية ناقصة مقدارها 0° . زاوية ناقصة مقدارها 0° ستملأ المستوى الإقليدي بتبليط منتظم. وبحسب نظرية ديكارت ، فإن عدد الرؤوس يساوي 720°/ زاوية ناقصة (4π  راديان/ زاوية ناقصة ).

يُكتب تكوين الرؤوس برقم واحد أو أكثر مفصولة بنقاط أو فواصل. يُمثل كل رقم عدد الأضلاع في كل وجه التي تلتقي عند كل رأس. [ 15 ] يُرمز إلى المجسم ذي العشرين وجهًا بالرمز 3.5.3.5 لوجود أربعة أوجه عند كل رأس، تتناوب بين المثلثات (ذات 3 أضلاع) والخماسيات (ذات 5 أضلاع). ويمكن كتابة ذلك أيضًا على النحو التالي: (3.5) 2 .

يمكن اعتبار تكوين الرؤوس شكلاً موسعاً لرمز شلافلي البسيط للمجسمات المنتظمة . يأخذ رمز شلافلي الشكل { p , q } ، حيث يمثل p عدد الأضلاع في كل وجه، ويمثل q عدد الأوجه التي تلتقي عند كل رأس. وبالتالي، يمكن كتابة رمز شلافلي { p , q } على النحو التالي : p.p.p ••• (حيث يظهر p q مرة)، أو ببساطة pq . [ 15 ]

ينطبق هذا الترميز على التبليطات المضلعة وكذلك على المجسمات متعددة الأوجه. يشير تكوين الرؤوس المستوية إلى تبليط منتظم، تمامًا كما يشير تكوين الرؤوس غير المستوية إلى مجسم متعدد الأوجه منتظم.

تُعدّ الرموز المستخدمة غامضة بالنسبة للأشكال الكيرالية . فعلى سبيل المثال، للمكعب المقطوع شكلان: أحدهما باتجاه عقارب الساعة والآخر عكسها، وهما متطابقان في صورتيهما المرآويتين. وكلاهما يمتلك ترتيب رؤوس 3.3.3.3.4 .

المضلعات النجمية

ينطبق هذا الترميز أيضاً على الأوجه المنتظمة غير المحدبة، أي المضلعات النجمية . على سبيل المثال، يرمز للنجمة الخماسية بالرمز {5/2}، مما يعني أن لها 5 أضلاع تدور حول المركز مرتين.

على سبيل المثال، توجد أربعة أشكال متعددة السطوح نجمية منتظمة ذات رؤوس مضلعة منتظمة أو نجمية. يمتلك المجسم النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا رمز شلافلي {5/2,5}، والذي يُفكك إلى تكوين رأسي صريح 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2 أو مُركبًا على هيئة (5/2) 5. أما المجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهًا، {5/2,3}، فله شكل رأسي مثلثي وتكوين رأسي (5/2.5/2.5/2) أو (5/2) 3. بينما يمتلك المجسم النجمي الكبير ذو الاثني عشر وجهًا ، {5,5/2}، شكل رأسي خماسي، وتكوين الرأس هو (5.5.5.5.5)/2 أو (5 5 )/2. يحتوي المجسم العشري الوجوه الكبير {3,5/2} أيضًا على شكل رأس خماسي الأضلاع، مع تكوين الرأس (3.3.3.3.3)/2 أو (3 5 )/2.

{5/2,5} = (5/2) 5{5/2,3} = (5/2) 33 4 .5/23 4 .5/3(3 4 .5/2)/2
{5,5/2} = (5 5 )/2{3,5/2} = (3 5 )/2V.3 4 .5/2V3 4.5 /3V(3 4 .5/2)/2

المضلعات المقلوبة

تُعتبر أوجه الشكل ذي الرؤوس متجهة في اتجاه واحد. بعض المجسمات المنتظمة لها أشكال ذات رؤوس معكوسة، حيث تتحرك الأوجه في اتجاه معاكس. يُمثل الشكل ذو الرؤوس هذا في رمز النجمة المضلعة بأضلاع p/q بحيث يكون p < 2q ، حيث p هو عدد الأضلاع و q هو عدد الدورات حول دائرة. على سبيل المثال، "3/2" تعني مثلثًا تدور رؤوسه مرتين، وهو ما يُعادل الدوران مرة واحدة عكسيًا. وبالمثل، "5/3" تعني نجمة خماسية معكوسة 5/2.

جميع التكوينات المنتظمة لرؤوس المضلعات المحدبة المنتظمة

تتميز المجسمات شبه المنتظمة بتكوينات رؤوس ذات عيب زاوي موجب .

ملاحظة: يمكن أن يُمثل شكل الرأس تبليطًا منتظمًا أو شبه منتظم على المستوى إذا كان عيبه صفرًا. ويمكن أن يُمثل تبليطًا للمستوى الزائدي إذا كان عيبه سالبًا.

بالنسبة للمجسمات المنتظمة، يمكن استخدام نقص الزاوية لحساب عدد الرؤوس. تنص نظرية ديكارت على أن مجموع جميع نواقص الزوايا في كرة طوبولوجية يجب أن يساوي 4π راديان  أو 720  درجة.

بما أن المجسمات المنتظمة لها جميع الرؤوس المتطابقة، فإن هذه العلاقة تسمح لنا بحساب عدد الرؤوس، وهو 4π / العيب أو 720 / العيب .

مثال: مكعب ناقص 3.8.8 لديه نقص في الزاوية مقداره 30 درجة. لذلك، لديه 720/30 = 24 رأسًا.

وبناءً على ذلك، فإن المجموعة { a , b } تحتوي على العدد التالي من الرؤوس: 42-ب(1-2/أ){\displaystyle {\frac {4}{2-b(1-2/a)}}}

كل تكوين من تكوينات الرؤوس المحددة يُعرّف بشكل فريد متعدد السطوح شبه منتظم. ومع ذلك، ليست كل التكوينات ممكنة.

تُقيّد المتطلبات الطوبولوجية الوجود. تحديدًا ، يُشير p . q . r إلى أن المضلع ذو p ضلعًا مُحاطٌ بالتناوب بمضلعات ذات q ضلعًا ومضلعات ذات r ضلعًا ، لذا إما أن يكون p زوجيًا أو q يساوي r . وبالمثل، إما أن يكون q زوجيًا أو p يساوي r ، و r زوجيًا أو p يساوي q . لذلك، فإن الثلاثيات المُحتملة هي:

ص . ق . رp = 3 ( ∴ q = r ) p = 4p = 5 ( ∴ q = r ) p = 6
q = 3 ( ∴ p = r ) 3.3.3
q = 43.4.44.4. ن ( ن > 2 )
q = 5 ( ∴ p = r ) 5.5.5
q = 63.6.64.6.6 4.6.8 4.6.10 4.6.125.6.66.6.6
q = 83.8.84.8.8
q = 103.10.10
q = 123.12.12

في الواقع، تبين أن جميع هذه التكوينات التي تلتقي فيها ثلاثة وجوه عند كل رأس موجودة بالفعل.

الرقم الموجود بين قوسين هو عدد الرؤوس، والذي يتم تحديده من خلال نقص الزاوية.

ثلاثيات
أربعة أضعاف
الخماسيات
السداسيات

تكوين الوجه

مجسم معيني ذو اثني عشر وجهًا

تُعدّ المجسمات الثنائية المنتظمة أو الكاتالونية ، بما في ذلك الأهرامات الثنائية وشبه المنحرفات ، منتظمة رأسيًا ( متعدية الأوجه )، ولذا يمكن تمييزها برمز مشابه يُسمى أحيانًا تكوين الأوجه . [ 16 ] وقد أضاف كاندي وروليت الحرف V كبادئة لهذه الرموز الثنائية . في المقابل، يستخدم كتاب "التبليط والأنماط" أقواسًا مربعة حول رمز التبليط متساوي الأوجه.

يمثل هذا الترميز عدًا تسلسليًا لعدد الأوجه الموجودة عند كل رأس حول وجه معين . [ 12 ] على سبيل المثال، V3.4.3.4 أو V(3.4) 2 يمثل المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا، وهو مجسم متعدٍ للأوجه: كل وجه هو معين ، وتحتوي الرؤوس المتناوبة للمعين على 3 أو 4 أوجه لكل منها.

مراجع

  1. ↑ متعددات السطوح الأرخميدية، مؤرشفة في 5 يوليو 2017 على موقع Wayback Machine، ستيفن داتش
  2. ↑ متعددات السطوح المنتظمة جيم ماكنيل
  3. ↑ المجسمات المنتظمة ومجسماتها الثنائية روبرت ويب
  4. ↑ الرسوم البيانية من نوع التناظر للأجسام الأفلاطونية والأرخميدية ، يوري كوفيتش، (2011)
  5. ↑ 3. النظريات العامة: التبليط المنتظم وشبه المنتظم، كيفن ميتشل، 1995
  6. ↑ موارد لتدريس الرياضيات المتقطعة: مشاريع صفية، تاريخ، وحدات، ومقالات، من تحرير برايان هوبكنز
  7. ↑ رمز الرأس روبرت ويتاكر
  8. ↑ البنية والشكل في التصميم: أفكار نقدية للممارسة الإبداعية بقلم مايكل هان
  9. ↑ رسوم بيانية من نوع التناظر للأجسام الأفلاطونية والأرخميدية، بقلم يوري كوفيتش
  10. ↑ ديزا، ميشيل؛ شتوغرين، ميخائيل (2000)، "التقسيمات المنتظمة للفضاء ثلاثي الأبعاد، وما يرتبط بها من عناصر، والتضمين"، المجلة الأوروبية للتوافقية ، 21 (6): 807-814 ، arXiv : math/9906034 ، doi : 10.1006/eujc.1999.0385 ، MR 1791208 
  11. ↑ بواج، توم؛ بوبرج، تشارلز؛ هيوز، لين (1979). "حول المجسمات الأرخميدية" . مُعلِّم الرياضيات . 72 (5): 371-376 . doi : 10.5951/MT.72.5.0371 . ISSN 0025-5769 . JSTOR 27961672 .  
  12. 1 2 كندي، مارتن ؛ روليت، أ. (1989). النماذج الرياضية ( الطبعة الثالثة). سترادبروك، إنجلترا: دار نشر تاركوين. انظر 3.7 متعددات السطوح الأرخميدية ، الصفحات 101-115، الصفحات 118-119 في الجدول الأول، شبكات الثنائيات الأرخميدية،V.أ،ب،ج،...{\displaystyle \mathrm {V} .a,b,c,\dots }كرموز منتظمة عمودياً.
  13. ↑ الكرات المقسمة: الخطوط الجيوديسية والتقسيم المنظم للكرة 6.4.1 رمز كاندي-روليت، ص 164
  14. ↑ لافلين (2014)، ص 16
  15. 1 2 والتر، ستويرر؛ ديلودي، صوفيا (2009). علم البلورات شبه الدورية: المفاهيم والأساليب والهياكل . سلسلة سبرينغر في علوم المواد. المجلد 126. ص 50. doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 . ISBN   978-3-642-01898-5.
  16. ↑ علم البلورات شبه الدورية: المفاهيم والأساليب والهياكل، بقلم والتر ستويرر وصوفيا ديلودي، (2009)، الصفحات 18-20 و51-53
يستخدم رمز كندي-روليت.
  • غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جي سي (1987). التبليط والأنماط . دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-1193-1.الصفحات  ٥٨-٦٤، تبليط المضلعات المنتظمة abc... (التبليط بالمضلعات المنتظمة والمضلعات النجمية) الصفحات  ٩٥-٩٧، ١٧٦، ٢٨٣، ٦١٤-٦٢٠، رمز التبليط أحادي السطوح [v ١ .v ٢ . ... .v r ]. الصفحات  ٦٣٢-٦٤٢ التبليط المجوف.
  • تناظرات الأشياء 2008، جون إتش. كونواي، هايدي بورجيل، حاييم غودمان-ستراوس، رقم ISBN 978-1-56881-220-5(ص  289 أشكال الرؤوس، تستخدم الفاصلة، للأجسام الأرخميدية والبلاطات).