الشكل متساوي الأكسجة

في الهندسة ، يُقال عن متعدد السطوح (مثل المضلع أو متعدد السطوح ) أو التبليط أنه متساوي المحاور ( من اليونانية τόξον بمعنى " قوس " ) أو متعدٍ على الحواف إذا كانت تناظراته تؤثر بشكل متعدٍ على حوافه . بعبارة أخرى، هذا يعني أن هناك نوعًا واحدًا فقط من الحواف في الشكل: عند وجود حافتين، توجد عملية إزاحة أو دوران أو انعكاس تنقل إحدى الحافتين إلى الأخرى مع الحفاظ على المنطقة التي يشغلها الشكل دون تغيير. 

المضلع متساوي الأضلاع هو مضلع ذو أضلاع زوجية ، ولكن ليس كل المضلعات متساوية الأضلاع متساوية الأضلاع. المضلعات الثنائية للمضلعات متساوية الأضلاع هي مضلعات متساوية الزوايا.${\displaystyle 4n}$الأشكال الهندسية ذات الضلعين متناظرة مركزياً ، وبالتالي فهي أيضاً أشكال هندسية ذات ضلعين متماثلين مركزياً .

بشكل عام، متساوي السمية (غير منتظم)${\displaystyle 2n}$-gon لديه${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$التناظر ثنائي السطوح . على سبيل المثال، المعين (غير المربع) هو تناظر متساوي الأضلاع.${\displaystyle 2}$×${\displaystyle 2}$-gon" (رباعي الأضلاع) مع${\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}$التناظر. جميعها منتظمة${\displaystyle {\color {royalblue}n}}$-gons (وأيضًا مع فردي)${\displaystyle n}$) متساوية الأكسدة، ولها ضعف الحد الأدنى لترتيب التناظر: منتظمة${\displaystyle n}$-gon لديه${\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}$التناظر ثنائي السطوح.

متساوي السمية${\displaystyle {\mathbf {2}}n}$- ضلع ذو زاوية داخلية خارجية${\displaystyle \alpha }$يمكن الإشارة إليه بواسطة${\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}$الزاوية الداخلية الداخلية${\displaystyle (\beta )}$قد يكون أقل أو أكبر من${\displaystyle 180}$${\displaystyle {\color {royalblue}^{\mathsf {o}}},}$إنشاء مضلعات محدبة أو مقعرة على التوالي.

نجم​${\displaystyle {\color {royalblue}{\mathbf {2}}n}}$يمكن أن يكون -gon متساوي السمية أيضًا، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}$مع${\displaystyle q\leq n-1}$ومع القاسم المشترك الأكبر${\displaystyle \gcd(n,q)=1,}$أين${\displaystyle q}$يمثل رقم الدوران أو الكثافة . ^{[ 1 ]} يمكن تعريف الرؤوس الداخلية المقعرة لـ${\displaystyle q<n/2.}$لو${\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}$ثم${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}$يتم "اختزاله" إلى مركب${\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}$ل${\displaystyle D}$نسخ متناوبة من${\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}$

حذر:

رؤوس${\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}$لا يتم وضعها دائمًا مثل تلك الخاصة بـ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},}$بينما رؤوس المنتظم${\displaystyle \{n/q\}}$يتم وضعها مثل تلك الموجودة في الأماكن العادية${\displaystyle \{n\}.}$

يمكن تعريف مجموعة من التبليطات "الموحدة" ، وهي في الواقع تبليطات متساوية الزوايا باستخدام المضلعات متساوية المحاور كوجوه أقل تناظرًا من الوجوه المنتظمة.

أمثلة على المضلعات والمركبات الأيزوتوكسالية غير المنتظمة

عدد الأضلاع:${\displaystyle 2n}$	2×2 (متناظر مركزي)	2×3	2×4 (متناظر مركزي)	2×5	2×6 (متناظر مركزي)	2×7	2×8 (متناظر مركزي)
${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$محدب:${\displaystyle \beta <180^{\circ }.}$مقعر:${\displaystyle \beta >180^{\circ }.}$	${\displaystyle \{2_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{3_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{4_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{5_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{6_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{7_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{8_{\alpha }\}}$
منعطفان${\displaystyle \{(n/2)_{\alpha }\}}$	--	${\displaystyle \{(3/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{2_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(5/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{3_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{4_{\alpha }\}}$
ثلاث دورات${\displaystyle \{(n/3)_{\alpha }\}}$	--	--	${\displaystyle \{(4/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(5/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 3\{2_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/3)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/3)_{\alpha }\}}$
أربع دورات${\displaystyle \{(n/4)_{\alpha }\}}$	--	--	--	${\displaystyle \{(5/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(3/2)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/4)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 4\{2_{\alpha }\}}$
خمس دورات${\displaystyle \{(n/5)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	${\displaystyle \{(6/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(7/5)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle \{(8/5)_{\alpha }\}}$
ست دورات${\displaystyle \{(n/6)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(7/6)_{\alpha }\}}$	${\displaystyle 2\{(4/3)_{\alpha }\}}$
7 دورات${\displaystyle \{(n/7)_{\alpha }\}}$	--	--	--	--	--	--	${\displaystyle \{(8/7)_{\alpha }\}}$

المجسمات المنتظمة هي متماثلة الأوجه (متماثلة الأوجه)، ومتماثلة الزوايا (متماثلة الرؤوس)، ومتماثلة المحاور (متماثلة الحواف).

المجسمات شبه المنتظمة ، مثل المكعب الثماني الأوجه والمجسم العشري عشري الأوجه ، متساوية الزوايا ومتساوية المحاور، ولكنها ليست متساوية الأوجه. أما ثنائياتها، بما في ذلك المعين الاثني عشري الأوجه والمعين الثلاثي الأوجه ، فهي متساوية الأوجه ومتساوية المحاور، ولكنها ليست متساوية الزوايا.

أمثلة

متعدد السطوح شبه المنتظم	متعدد السطوح ثنائي شبه منتظم	متعدد السطوح النجمي شبه المنتظم	متعدد السطوح شبه منتظم ثنائي النجوم	تبليط شبه منتظم	تبليط مزدوج شبه منتظم
المكعب هو متعدد السطوح متساوي الأضلاع ومتساوي السموم	المجسم المعيني ذو الاثني عشر وجهًا هو متعدد السطوح متساوي الأوجه ومتساوي الأكسيد	المجسم العشري عشري الوجوه الكبير هو متعدد السطوح النجمي متساوي الزوايا ومتساوي الأكسيد	المجسم النجمي ذو الشكل المعيني الكبير هو متعدد السطوح متساوي الأوجه ومتساوي الأضلاع	التبليط ثلاثي السداسي هو تبليط متساوي الزوايا ومتساوي المحاور.	التبليط المعيني هو تبليط متساوي الأوجه ومتساوي الأضلاع مع تناظر p6m (*632).

ليس كل مجسم متعدد السطوح أو تبليط ثنائي الأبعاد مُكوَّن من مضلعات منتظمة متساوي الأضلاع. على سبيل المثال، المجسم العشري الوجوه المبتور (كرة القدم المألوفة) ليس متساوي الأضلاع، إذ يحتوي على نوعين من الحواف: سداسي-سداسي وسداسي-خماسي، ولا يمكن لتناظر المجسم أن ينقل حافة سداسي-سداسي إلى حافة سداسي-خماسي.

المجسم متعدد الأوجه متساوي الأضلاع له نفس الزاوية ثنائية السطوح لجميع الحواف.

إن ثنائي متعدد السطوح المحدب هو أيضاً متعدد سطوح محدب. ^{[ 2 ]}

إن ثنائي متعدد السطوح غير المحدب هو أيضاً متعدد سطوح غير محدب. ^{[ 2 ]} (بالاستدلال العكسي).

إن ثنائي متعدد السطوح متساوي الأكسدة هو أيضاً متعدد سطوح متساوي الأكسدة. (انظر مقال متعدد السطوح الثنائي ).

هناك تسعة أشكال متعددة السطوح محدبة متساوية الأضلاع: خمسة أجسام أفلاطونية ( منتظمة ) ، واثنان من النوى المشتركة ( شبه المنتظمة ) للأجسام الأفلاطونية المزدوجة، واثنان من نظيراتها.

يوجد ثمانية وثلاثون مجسمًا متعدد السطوح متساوي الأكسيد غير محدب:

• المجسمات الأربعة المنتظمة من نوع كبلر-بوينسو
• تصحيحاتهما المزدوجة وثنائياتهما
• الزي الرسمي الثلاثي ونظائره.
• تسعة من أصل عشرة أشكال نصفية متعددة الأوجه منتظمة (جميعها باستثناء الشكل الكبير ذي المعين المزدوج ذي الاثني عشر وجهاً )
• أربعة أشكال متعددة السطوح متساوية الأكسدة تم بناؤها كأشكال ثنائية للتفسيرات الثنائية للمركبات متعددة السطوح المتدهورة
• أحد عشر متعدد السطوح متساوي الأكسيد وهي ليست متساوية الأوجه ولا متساوية الزوايا ^{[ 3 ]}

يوجد على الأقل خمسة مركبات متعددة السطوح متساوية الأكسدة: المركبات الخمسة متعددة السطوح المنتظمة ؛ ومركباتها الخمسة المزدوجة هي أيضًا المركبات الخمسة متعددة السطوح المنتظمة (أو توأم كيرالي واحد).

هناك خمسة على الأقل من التبليطات المضلعة متساوية المحور للمستوى الإقليدي، وعدد لا نهائي من التبليطات المضلعة متساوية المحور للمستوى الزائدي، بما في ذلك تركيبات Wythoff من التبليطات الزائدية المنتظمة { p , q }، والمجموعات غير اليمنى ( pqr ).

• جدول الزوايا ثنائية السطوح متعددة السطوح
• متعدٍ على الرؤوس
• وجه متعدٍ
• انتقالي للخلايا

• بيتر ر. كرومويل، متعددات السطوح ، مطبعة جامعة كامبريدج، 1997، رقم ISBN 0-521-55432-2، التعدي، ص 371
• غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جي سي (1987). التبليط والأنماط . نيويورك: دبليو إتش فريمان. ISBN 0-7167-1193-1.(6.4 تبليطات إيزوتوكسال، ص 309-321)
• كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد ؛ لونغيت-هيغينز، ماجستير العلوم؛ ميلر، جيه سي بي (1954)، "المجسمات المنتظمة"، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. السلسلة أ. العلوم الرياضية والفيزيائية ، 246 (916): 401-450 ، رمز Bibcode : 1954RSPTA.246..401C ، doi : 10.1098/rsta.1954.0003 ، ISSN 0080-4614 ، JSTOR 91532 ، MR 0062446 ، S2CID 202575183