تبليط موحد

في الهندسة ، التبليط المنتظم هو تقسيم المستوى بواسطة وجوه مضلعة منتظمة مع تقييد كونه متعديًا على الرؤوس .

يمكن أن توجد التبليطات المنتظمة في كل من المستوى الإقليدي والمستوى الزائدي . وترتبط التبليطات المنتظمة بالمجسمات المتعددة السطوح المنتظمة المحدودة ؛ ويمكن اعتبارها تبليطات منتظمة للكرة .

يمكن إنشاء معظم التبليطات المنتظمة من خلال بناء Wythoff بدءًا من مجموعة تناظر ونقطة مولدة مفردة داخل المجال الأساسي . تمتلك مجموعة التناظر المستوية مجالًا أساسيًا مضلعًا، ويمكن تمثيلها برمز المجموعة الخاص بها: وهو تسلسل رتب انعكاس رؤوس المجال الأساسي.

يُرمز إلى مثلث المجال الأساسي بالرمز ( pqr )، حيث p و q و r أعداد صحيحة أكبر من 1، أي ≥ 2؛ ويُرمز إلى مثلث المجال الأساسي القائم بالرمز ( pq 2). قد يكون المثلث مثلثًا كرويًا ، أو مثلثًا مستويًا إقليديًا، أو مثلثًا مستويًا زائديًا، وذلك تبعًا لقيم p و q و r .

توجد عدة أنظمة رمزية للدلالة على هذه الأرقام:

رمز شلافلي المعدل لمجال المثلث القائم الزاوية: ( pq 2) → { p , q }.
مخطط كوكسيتر-دينكين هو رسم بياني مثلثي الشكل، حيث تُسمى الحواف بـ p و q و r . إذا كانت r = 2، فإن الرسم البياني يكون خطيًا، لأن عقد المخطط ذات الاتصال 2 لا تتصل ببعضها البعض عبر فرع من المخطط (لأن مرايا المجال التي تلتقي بزاوية 90 درجة لا تُنشئ مرايا جديدة).
يرمز رمز Wythoff إلى ثلاثة أعداد صحيحة ويفصل بينها بخط عمودي (|). إذا كانت نقطة المولد خارج المرآة المقابلة لرأس المجال، فإن ترتيب انعكاس رأس المجال هذا يُعطى قبل الخط العمودي.
وأخيرًا، يمكن وصف التبليط المنتظم من خلال تكوين رؤوسه : التسلسل (المتطابق) للمضلعات حول كل رأس (مكافئ).

يمكن إنشاء جميع التبليطات المنتظمة من خلال عمليات متنوعة تُطبق على التبليطات العادية . تُسمى هذه العمليات، كما سماها نورمان جونسون ، بالقطع (قص الرؤوس)، والتصحيح (قص الرؤوس حتى تختفي الحواف)، والقطع الجزئي (قص الحواف والرؤوس). القطع الشامل هو عملية تجمع بين القطع والقطع الجزئي. أما القطع الجزئي فهو عملية قطع بديلة للشكل المقطوع كليًا. ( للمزيد من التفاصيل، انظر: متعدد السطوح المنتظم# عوامل إنشاء ويثوف ).

مجموعات كوكسيتر

تحدد مجموعات كوكسيتر للمستوى بناء ويثوف ويمكن تمثيلها بواسطة مخططات كوكسيتر-دينكين :

بالنسبة للمجموعات ذات رتب الانعكاس الصحيحة، بما في ذلك:

المستوى الإقليدي
التناظر المداري	مجموعة كوكسيتر			ملحوظات
صغير الحجم
*333	(3 3 3)	${\tilde {A}}_{2}$	[3 ^[3] ]	3 أشكال عاكسة، 1 شكل غير مدبب
*442	(4 4 2)	${\tilde {B}}_{2}$	[4,4]	5 أشكال عاكسة، 1 شكل غير مكتمل
*632	(6 3 2)	${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]	7 أشكال عاكسة، 1 شكل غير مكتمل
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞]	3 أشكال عاكسة، 1 شكل غير مدبب
غير مضغوط ( فريز )
*∞∞	(∞)	${\tilde {I}}_{1}$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {A}}_{2}$	[∞,2]	شكلان عاكسان، وشكل واحد غير مدبب

المستوى الزائدي
التناظر المداري	مجموعة كوكسيتر		ملحوظات
صغير الحجم
* pq 2	( pq 2)	[ p , q ]	2( p + q ) < pq
* pqr	( pqr )	[( p , q , r )]	pq + pr + qr < pqr , أي ⁠ 1 / ص ⁠ + ⁠ 1 / ف ⁠ + ⁠ 1 / ص ⁠ < 1
شبه مضغوط
*∞ p 2	( p ∞ 2)	[ p ,∞]	p ≥ 3
*∞ pq	( pq ∞)	[( p , q ,∞)]	p ، q ≥ 3؛ p + q > 6
*∞∞ p	( p ∞ ∞)	[( p ,∞,∞)]	p ≥ 3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]

تبليطات منتظمة للمستوى الإقليدي

توجد مجموعات تناظر على المستوى الإقليدي مُنشأة من مثلثات أساسية: (4 4 2)، (6 3 2)، و(3 3 3). ويتم تمثيل كل منها بمجموعة من خطوط الانعكاس التي تقسم المستوى إلى مثلثات أساسية.

تُنتج مجموعات التناظر هذه 3 تبليطات منتظمة ، و7 تبليطات شبه منتظمة. ويتكرر عدد من التبليطات شبه المنتظمة من مُنشئات تناظر مختلفة.

تُمثَّل مجموعة التناظر المنشورية (2 2 2 2) بمجموعتين من المرايا المتوازية، والتي يمكنها عمومًا تكوين نطاق أساسي مستطيل. ولا تُولِّد هذه المجموعة أي تبليطات جديدة.

توجد مجموعة تناظر موشورية أخرى، (∞ 2 2)، ذات نطاق أساسي لانهائي. وهي تُنشئ نوعين من التبليط المنتظم: الموشور اللانهائي والموشور المضاد اللانهائي .

يؤدي تكديس الأوجه المحدودة لهذين التبليطين المنشوريين إلى إنشاء تبليط منتظم غير ويثوفي للسطح المستوي. ويُطلق عليه اسم التبليط المثلثي المطوّل ، وهو يتألف من طبقات متناوبة من المربعات والمثلثات.

المثلثات الأساسية القائمة الزاوية: ( pq 2)

( pq 2)	أحد الوالدين	مختصر	تم تصحيحه	مختصرة	مُقوَّم ثنائيًا (مزدوجًا)	مُقَنَّط	مقطوع بالكامل ( مقطع جزئيًا )	سحق
رمز Wythoff	q \| p 2	2 ق \| ص	2 \| ص ق	2 ص \| ق	ص \| ق 2	ص ق \| 2	ص ق 2 \|	\| ص ق 2
رمز شلافلي	{ p , q }	t{ p , q }	r{ p , q }	2t{ p , q }=t{ q , p }	2r{ p , q }={ q , p }	rr{ p , q }	tr{ p , q }	sr{ p , q }
مخطط كوكسيتر
تكوين الرؤوس.	ص ^ق	q .2 p .2 p	( pq ) ²	ص 0.2 ق 0.2 ق	q ^p	ص 4. ق 4	4.2 ص .2 ق	3.3. ص .3. ق
تبليط مربع (4 4 2)	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
تبليط سداسي (6 3 2)	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

المثلثات الأساسية العامة: ( pqr )

رمز ويثوف ( pqr )	q \| pr	rq \| p	r \| pq	rp \| q	p \| qr	pq \| r	pqr \|	\| pqr
مخطط كوكسيتر
تكوين الرؤوس.	( pq ) ^r	r .2 p.q .2 p	( pr ) ^q	q .2 r.p .2 r	( qr ) ^p	q .2 r.p .2 r	r .2 q.p .2 q	3. ر . 3. ق . 3. ف
مثلثي (3 3 3)	(3.3) ³	3.6.3.6	(3.3) ³	3.6.3.6	(3.3) ³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

المجالات الأساسية غير البسيطة

المجال الأساسي الوحيد الممكن في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد الذي ليس بسيطًا هو المستطيل (∞ 2 ∞ 2)، مع مخطط كوكسيتر : . جميع الأشكال المتولدة منه تصبح تبليطًا مربعًا .

تبليطات منتظمة للمستوى الزائدي

يوجد عدد لا نهائي من التبليطات المنتظمة بواسطة المضلعات المنتظمة المحدبة على المستوى الزائدي ، كل منها يعتمد على مجموعة تناظر انعكاسي مختلفة ( pqr ).

يتم عرض عينة هنا باستخدام إسقاط قرص بوانكاريه .

يتم إعطاء مخطط كوكسيتر -دينكين في شكل خطي، على الرغم من أنه في الواقع مثلث، حيث يتصل الجزء الخلفي r بالعقدة الأولى.

توجد مجموعات تناظر إضافية في المستوى الزائدي ذات نطاقات أساسية رباعية الأضلاع - بدءًا من (2 2 2 3)، وما إلى ذلك - والتي يمكنها توليد أشكال جديدة. كما توجد نطاقات أساسية تضع رؤوسها عند اللانهاية، مثل (∞ 2 3)، وما إلى ذلك.

المثلثات الأساسية القائمة الزاوية: ( pq 2)

( pq 2)	مثلثات الصندوق	أحد الوالدين	مختصر	تم تصحيحه	مختصرة	مُقوَّم ثنائيًا (مزدوجًا)	مُقَنَّط	مقطوع بالكامل ( مقطع جزئيًا )	سحق
رمز Wythoff		q \| p 2	2 ق \| ص	2 \| pq	2 ص \| ق	ص \| ق 2	pq \| 2	pq 2 \|	\| pq 2
رمز شلافلي		t{ p , q }	t{ p , q }	r{ p , q }	2t{ p , q }=t{ q , p }	2r{ p , q }={ q , p }	rr{ p , q }	tr{ p , q }	sr{ p , q }
مخطط كوكسيتر
تكوين الرؤوس.		ص ^ق	q .2 p .2 p	pqpq	ص 0.2 ق 0.2 ق	q ^p	ص 4. ق 4	4.2 ص .2 ق	3.3. ص .3. ق
(5 4 2)	الإصدار 4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(5 5 2)	الإصدار 4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(7 3 2)	الإصدار 4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(8 3 2)	الإصدار 4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

المثلثات الأساسية العامة: ( pqr )

رمز ويثوف ( pqr )	مثلثات الصندوق	q \| pr	rq \| p	r \| pq	rp \| q	p \| qr	pq \| r	pqr \|	\| pqr
مخطط كوكسيتر
تكوين الرؤوس.		( pr ) ^q	r .2 p.q .2 p	( pq ) ^r	q .2 r.p .2 r	( qr ) ^p	r .2 q.p .2 q	2 ص .2 ق .2 ر	3. ر . 3. ق . 3. ف
(4 3 3)	الإصدار 6.6.8	(3.4) ³	3.8.3.8	(3.4) ³	3.6.4.6	(3.3) ⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
(4 4 3)	الإصدار 6.8.8	(3.4) ⁴	3.8.4.8	(4.4) ³	3.6.4.6	(3.4) ⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
(4 4 4)	الإصدار 8.8.8	(4.4) ⁴	4.8.4.8	(4.4) ⁴	4.8.4.8	(4.4) ⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

قوائم موسعة من التبليطات الموحدة

هناك عدة طرق يمكن من خلالها توسيع قائمة التبليطات الموحدة:

يمكن أن يكون لأشكال الرؤوس وجوه رجعية وأن تدور حول الرأس أكثر من مرة.
يمكن تضمين بلاطات مضلعة نجمية .
يمكن استخدام الأشكال الهندسية غير المتناظرة (Apeirogons) مثل {∞} كأوجه للتبليط.
يمكن أيضاً استخدام الأشكال المتعرجة (الأشكال الهندسية غير المتناظرة التي تتناوب بين زاويتين).
يمكن تخفيف القيد المتعلق بتطابق البلاطات من الحافة إلى الحافة، مما يسمح بأنواع إضافية من التبليط مثل التبليط الفيثاغوري .

تتضمن مثلثات مجموعة التناظر ذات الحركة التراجعية ما يلي:

(4/3 4/3 2), (6 3/2 2), (6/5 3 2), (6 6/5 3), (6 6 3/2).

تتضمن مثلثات مجموعة التناظر ذات اللانهاية ما يلي:

(4 4/3 ∞), (3/2 3 ∞), (6 6/5 ∞).

قام برانكو غرونباوم وجي سي شيبارد ، في كتابهما الصادر عام 1987 بعنوان "التبليط والأنماط" ، القسم 12.3، بسرد قائمة تضم 25 تبليطًا منتظمًا، بما في ذلك الأشكال المحدبة الـ 11، وأضافا 14 شكلًا آخر أطلقوا عليها اسم التبليط المجوف ، باستخدام التوسعين الأولين المذكورين أعلاه: وجوه المضلع النجمي وأشكال الرؤوس المعممة. ^{[ 1 ]}

استخدم كلٌّ من إتش إس إم كوكسيتر ، وإم إس لونغيت-هيغينز ، وجي سي بي ميلر ، في بحثهم المنشور عام 1954 بعنوان "المجسمات المنتظمة"، الجدول 8: التبليط المنتظم ، التوسعات الثلاثة الأولى، وحصروا ما مجموعه 38 تبليطًا منتظمًا. وإذا أُضيف إلى ذلك التبليط المكون من شكلين غير منتظمين، يُمكن اعتبار المجموع 39 تبليطًا منتظمًا.

في عام 1981، قام غرونباوم وميلر وشيبارد، في ورقتهم البحثية " التبليط المنتظم بالبلاطات المجوفة" ، بإدراج 25 تبليطًا باستخدام أول توسيعين، و28 تبليطًا إضافيًا عند إضافة التوسيع الثالث (ليصبح المجموع 53 تبليطًا وفقًا لتعريف كوكسيتر وآخرون ). وعند إضافة التوسيع الرابع، أدرجوا 23 تبليطًا منتظمًا إضافيًا و10 عائلات (8 منها تعتمد على المعاملات المستمرة، و2 على المعاملات المنفصلة). ^{[ 2 ]}

إلى جانب الحلول المحدبة الـ 11، يتم عرض التبليط النجمي المنتظم الـ 28 الذي أدرجه كوكسيتر وآخرون، والمصنف حسب الرسوم البيانية للحواف المشتركة، أدناه، متبوعًا بـ 15 أخرى أدرجها غرونباوم وآخرون والتي تفي بتعريف كوكسيتر وآخرون ولكنهم أغفلوها.

لم تثبت اكتمال هذه المجموعة. والمقصود بـ "2.25" هو تبليط 25 في الجدول 2 من غرونباوم وآخرون من عام 1981.

تتميز التبليطات الثلاثة التالية بكونها استثنائية، إذ يوجد عدد محدود فقط من كل نوع وجه: وجهان غير منتظمين في كل منها. أحيانًا لا يتم تضمين التبليط غير المنتظم من الرتبة الثانية، لأن وجهيه يلتقيان عند أكثر من حافة.

تناظر مجموعة فريز
ماكنيل ^{[ 3 ]}	تكوين الرؤوس	ويثوف	التناظر	ملحوظات
I1	∞.∞		p1m1	(بلاطتان نصف مستويتان، تبليط غير متجانس من الرتبة الثانية )
I2	4.4.∞	∞ 2 \| 2	p1m1	منشور لا زاوي
I3	3.3.3.∞	\| 2 2 ∞	ص11غ	المنشور المضاد اللازاوي

للتوضيح، لم تُلوّن التبليطات من هنا فصاعدًا (بسبب التداخلات). تم تمييز مجموعة من المضلعات حول رأس واحد. يقتصر ماكنيل على سرد التبليطات التي قدمها كوكسيتر وآخرون (1954). وقد تكررت التبليطات الأحد عشر المحدبة المنتظمة كمرجع.

تناظر مجموعة ورق الحائط
ماكنيل ^{[ 3 ]}	غرونباوم وآخرون ، 1981 ^{[ 2 ]}	مخطط الحواف	تم تسليط الضوء عليه	تكوين الرؤوس	ويثوف	التناظر
محدب	1.9			4.4.4.4	4 \| 2 4	p4m
I4	2.14			4.∞.4/3.∞ 4.∞.−4.∞	4/3 4 \| ∞	p4m
محدب	1.24			6.6.6	3 \| 2 6	ص6م
محدب	1.25			3.3.3.3.3.3	6 \| 2 3	ص6م
I5	2.26			(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 \| 3 ∞	ص3م1
محدب	1.23			3.6.3.6	2 \| 3 6	ص6م
I6	2.25			6.∞.6/5.∞ 6.∞.−6.∞	6/5 6 \| ∞	ص6م
I7	2.24			∞.3.∞.3/2 3.∞.−3.∞	3/2 3 \| ∞	ص6م
محدب	1.14			3.4.6.4	3 6 \| 2	ص6م
1	1.15			3/2.12.6.12 −3.12.6.12	3/2 6 \| 6	ص6م
1	1.16			4.12.4/3.12/11 4.12.−4.−12	2 6 (3/2 6/2) \|	ص6م
محدب	1.5			4.8.8	2 4 \| 4	p4m
2	2.7			4.8/3.∞.8/3	4 ∞ \| 4/3	p4m
	1.7			8/3.8.8/5.8/7 8.8/3.−8.−8/3	4/3 4 (4/2 ∞/2) \|	p4m
	2.6			8.4/3.8.∞ −4.8.∞.8	4/3 ∞ \| 4	p4m
محدب	1.20			3.12.12	2 3 \| 6	ص6م
3	2.17			6.12/5.∞.12/5	6 ∞ \| 6/5	ص6م
	1.21			12/5.12.12/7.12/11 12.12/5.−12.−12/5	6/5 6 (6/2 ∞/2) \|	ص6م
	2.16			12.6/5.12.∞ −6.12.∞.12	6/5 ∞ \| 6	ص6م
4	1.18			12/5.3.12/5.6/5 3.12/5.−6.12/5	3 6 \| 6/5	ص6م
	1.19			12/5.4.12/7.4/3 4.12/5.−4.−12/5	2 6/5 (3/2 6/2) \|	ص6م
	1.17			4.3/2.4.6/5 3.−4.6.−4	3/2 6 \| 2	ص6م
5	2.5			8.8/3.∞	4/3 4 ∞ \|	p4m
6	2.15			12.12/5.∞	6/5 6 ∞ \|	ص6م
7	1.6			8.4/3.8/5 4.−8.8/3	2 4/3 4 \|	p4m
محدب	1.11			4.6.12	2 3 6 \|	ص6م
8	1.13			6.4/3.12/7 4.−6.12/5	2 3 6/5 \|	ص6م
9	1.12			12.6/5.12/7 6.−12.12/5	3 6/5 6 \|	ص6م
10	1.8			4.8/5.8/5 −4.8/3.8/3	2 4 \| 4/3	p4m
11	1.22			12/5.12/5.3/2 −3.12/5.12/5	2 3 \| 6/5	ص6م
محدب	1.1			3.3.3.4.4	غير ويثوفية	سم
12	1.2			4.4.3/2.3/2.3/2 3.3.3.−4.−4	غير ويثوفية	سم
محدب	1.3			3.3.4.3.4	\| 2 4 4	p4g
13	1.4			4.3/2.4.3/2.3/2 3.3.−4.3.−4	\| 2 4/3 4/3	p4g
14	2.4			3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.−4.3.∞	\| 4/3 4 ∞	ص4
محدب	1.10			3.3.3.3.6	\| 2 3 6	ص6
	2.1			3/2.∞.3/2.∞.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.∞.3.∞	غير ويثوفية	سم
	2.2			3/2.∞.3/2.∞.3/2.4.4 3.−4.−4.3.∞.3.∞	غير ويثوفية	سم
	2.3			3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.−4.−4.3.∞	غير ويثوفية	ص3
	2.8			4.∞.4/3.8/3.8 4.8.8/3.−4.∞	غير ويثوفية	p4m
	2.9			4.∞.4.8.8/3 −4.8.8/3.4.∞	غير ويثوفية	p4m
	2.10			4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.−4.8.−4.∞	غير ويثوفية	p4m
	2.11			4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.−4.8.−4.∞	غير ويثوفية	p4g
	2.12			4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.−4.∞	غير ويثوفية	p4m
	2.13			4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.−4.∞	غير ويثوفية	p4g
	2.18			3/2.∞.3/2.4/3.4/3.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.4.4.3.∞	غير ويثوفية	ص6م
	2.19			3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4.4 3.−4.−4.3.-4.−4.3.∞	غير ويثوفية	ص6م
	2.20			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/11.6.12/11 3.12.−6.12.3.∞.3.∞	غير ويثوفية	ص6م
	2.21			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12.6/5.12 3.−12.6.−12.3.∞.3.∞	غير ويثوفية	ص6م
	2.22			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/7.6/5.12/7 3.12/5.6.12/5.3.∞.3.∞	غير ويثوفية	ص6م
	2.23			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/5.6.12/5 3.−12/5.−6.−12/5.3.∞.3.∞	غير ويثوفية	ص6م

يوجد نوعان من التبليط المنتظم لتكوين الرؤوس 4.8.−4.8.−4.∞ (غرونباوم وآخرون ، 2.10 و2.11)، وكذلك نوعان من التبليط المنتظم لتكوين الرؤوس 4.8/3.4.8/3.−4.∞ (غرونباوم وآخرون ، 2.12 و2.13)، مع تناظرات مختلفة. يوجد أيضًا تبليط ثالث لكل تكوين رؤوس، وهو شبه منتظم فقط (تأتي الرؤوس في مدارين تناظريين). تستخدم هذه الأنواع مجموعات مختلفة من الأوجه المربعة. لذا، بالنسبة للتبليطات النجمية الإقليدية، لا يُحدد تكوين الرؤوس بالضرورة نوع التبليط. ^{[ 2 ]}

في الصور أدناه، تم تمييز المربعات المضمنة ذات الحواف الأفقية والرأسية بنقطة مركزية. تم تمييز حواف مربع واحد. ^{[ 2 ]}

2.10 و 2.12 (ص4م)
2.11 و 2.13 (ص4ج)
شبه موحد

تُدرج أدناه التبليطات ذات الزوايا المتعرجة. يرمز {∞ ^𝛼 } إلى شكل متعرج بزاوية 0 < 𝛼 < π. يمكن اعتبار الشكل غير المنتظم (apeirogon) حالة خاصة حيث 𝛼 = π. تُعطى التناظرات للحالة العامة، ولكن توجد أحيانًا قيم خاصة لـ 𝛼 تزيد من التناظر. يمكن أن تصبح التبليطات 3.1 و3.12 منتظمة؛ أما التبليط 3.32 فهو منتظم بالفعل (لا يحتوي على أي معلمات حرة). في بعض الأحيان، توجد قيم خاصة لـ 𝛼 تؤدي إلى انحلال التبليط. ^{[ 2 ]}

بلاط ذو خطوط متعرجة
غرونباوم وآخرون ، 1981 ^{[ 2 ]}	رسم بياني	تكوين الرؤوس	التناظر
3.1		∞ ^𝛼 .∞ ^β .∞ ^γ 𝛼+β+γ=2π	ص2
3.2		∞ ^𝛼 .∞ ^β .−∞ ^𝛼+β 0<𝛼+β≤π	ص2
3.3		3.3.∞ ^π−𝛼 .−3.∞ ^𝛼+2π/3 0≤𝛼≤π/6	pgg
3.4		3.3.−∞ ^π−𝛼 .−3.∞ ^{−𝛼+2π/3} 0≤𝛼<π/3	pgg
3.5		4.4.∞ ^φ .4.4.−∞ ^φ φ=2 arctan( n / k ), nk زوجي، ( n , k )=1 مرسومة لـ φ=2 arctan 2	بي إم جي
3.6		4.4.∞ ^φ .−4.−4.∞ ^φ φ=2 arctan( n / k ), nk زوجي، ( n , k )=1 مرسوم لـ φ=2 arctan 1/2	بي إم جي
3.7		3.4.4.3.−∞ ^2π/3 .−3.−∞ ^2π/3	سم
3.8		3.−4.−4.3.−∞ ^2π/3 .−3.−∞ ^2π/3	سم
3.9		4.4.∞ ^π/3 .∞.−∞ ^π/3	ص2
3.10		4.4.∞ ^2π/3 .∞.−∞ ^2π/3	ص2
3.11		∞.∞ ^𝛼 .∞.∞ ^−𝛼 0<𝛼<π	سم
3.12		∞ ^𝛼 .∞ ^π−𝛼 .∞ ^𝛼 .∞ ^π−𝛼 0<𝛼≤π/2	سم
3.13		3.∞ ^𝛼 .−3.−∞ ^𝛼 π/3<𝛼<π	ص31م
3.14		4.4.∞ ^2π/3 .4.4.−∞ ^2π/3	ص31م
3.15		4.4.∞ ^π/3 .−4.−4.−∞ ^π/3	ص31م
3.16		4.∞ ^𝛼 .−4.−∞ ^𝛼 0<𝛼<π, 𝛼≠π/2	p4g
3.17		4.−8.∞ ^π/2 .∞.−∞ ^π/2 .−8	سم
3.18		4.−8.∞ ^π/2 .∞.−∞ ^π/2 .−8	ص4
3.19		4.8/3.∞ ^π/2 .∞.−∞ ^π/2 .8/3	سم
3.20		4.8/3.∞ ^π/2 .∞.−∞ ^π/2 .8/3	ص4
3.21		6.−12.∞ ^π/3 .∞.−∞ ^π/3 .−12	ص6
3.22		6.−12.∞ ^2π/3 .∞.−∞ ^2π/3 .−12	ص6
3.23		6.12/5.∞ ^π/3 .∞.−∞ ^π/3 .12/5	ص6
3.24		6.12/5.∞ ^2π/3 .∞.−∞ ^2π/3 .12/5	ص6
3.25		3.3.3.∞ ^2π/3 .−3.∞ ^2π/3	ص31م
3.26		3.∞.3.−∞ ^2π/3 .−3.−∞ ^2π/3	سم
3.27		3.∞.−∞ ^2π/3 .∞.−∞ ^2π/3 .∞	ص31م
3.28		3.∞ ^2π/3 .∞ ^2π/3 .−3.−∞ ^2π/3 .−∞ ^2π/3	ص31م
3.29		∞.∞ ^π/3 .∞ ^π/3 .∞.−∞ ^π/3 .−∞ ^π/3	سم
3.30		∞.∞ ^π/3 .−∞ ^2π/3 .∞.∞ ^2π/3 .−∞ ^π/3	ص2
3.31		∞.∞ ^2π/3 .∞ ^2π/3 .∞.−∞ ^2π/3 .−∞ ^2π/3	سم
3.32		∞ ^π/3 .∞ ^π/3 .∞ ^π/3 .∞ ^π/3 .∞ ^π/3 .∞ ^π/3	ص6م
3.33		∞ ^π/3 .−∞ ^2π/3 .−∞ ^2π/3 .∞ ^π/3 .−∞ ^2π/3 .−∞ ^2π/3	سم

أزواج التبليط 3.17 و3.18، وكذلك 3.19 و3.20، لها تكوينات رؤوس متطابقة ولكن بتناظرات مختلفة. ^{[ 2 ]}

تتميز البلاطات من 3.7 إلى 3.10 بنفس ترتيب الحواف للبلاطتين 2.1 و2.2؛ وتتميز البلاطات من 3.17 إلى 3.20 بنفس ترتيب الحواف للبلاطات من 2.10 إلى 2.13؛ وتتميز البلاطات من 3.21 إلى 3.24 بنفس ترتيب الحواف للبلاطات من 2.18 إلى 2.23؛ وتتميز البلاطات من 3.25 إلى 3.33 بنفس ترتيب الحواف للبلاط 1.25 (البلاط المثلثي المنتظم). ^{[ 2 ]}

تبليطات ذاتية الازدواجية

التبليط المربع {4,4} (باللون الأسود) مع نظيره (باللون الأحمر).

يمكن أن يكون التبليط ذاتيًا مزدوجًا أيضًا . التبليط المربع، الذي يحمل رمز شلافلي {4,4}، هو ذاتي مزدوج؛ يظهر هنا تبليطان مربعان (أحمر وأسود)، مزدوجان لبعضهما البعض.

تبليطات منتظمة باستخدام مضلعات منتظمة أو متساوية الأضلاع كمضلعات بسيطة متساوية الأضلاع غير محدبة

إن اعتبار المضلع النجمي المنتظم مضلعًا بسيطًا متساوي الأضلاع غير محدب مع ضعف عدد الأضلاع (الأقصر) ولكن مع تناوب نفس الزوايا الخارجية والداخلية "الداخلية" يسمح باستخدام المضلعات النجمية المنتظمة في التبليط، كما أن اعتبار المضلعات البسيطة متساوية الأضلاع "منتظمة" يسمح باستخدام المضلعات النجمية المنتظمة (ولكن ليس جميعها) في التبليط "الموحد".

كذلك، فإن الخطوط الخارجية لبعض المضلعات النجمية متساوية الأكسيد غير المنتظمة هي مضلعات متساوية الأكسيد (بسيطة) غير محدبة ذات عدد كبير من الأضلاع (أقصر) وتتناوب فيها نفس الزوايا الخارجية والداخلية "الداخلية"؛ إن رؤية هذا النوع من المضلعات النجمية متساوية الأكسيد كخطوط خارجية يسمح باستخدامها في التبليط، ورؤية المضلعات البسيطة متساوية الأكسيد على أنها "منتظمة" يسمح باستخدام هذا النوع من المضلعات النجمية متساوية الأكسيد (ولكن ليس كلها يمكن) في التبليط "الموحد".

يُرمز إلى الشكل البسيط المتساوي الأضلاع ذو الزاوية الداخلية الخارجية 𝛼 بالرمز { n _𝛼 }؛ وتُسمى رؤوسه الخارجية n ^*_𝛼 ، والداخلية n ^**_𝛼 .

تتطلب هذه التوسعات في تعريف التبليط عدم اعتبار الزوايا التي تحتوي على مضلعين فقط رؤوسًا، وذلك لأن تكوين الرؤوس التي تحتوي على 3 مضلعات على الأقل يكفي لتعريف هذا التبليط "المنتظم"، وبالتالي فإن الأخير يحتوي على تكوين رأس واحد صحيح (وإلا لكان له تكوينان). يوجد 4 أنواع من التبليط المنتظم بزوايا قابلة للتعديل (α)، و18 نوعًا من التبليط المنتظم التي تعمل فقط مع زوايا محددة، مما ينتج عنه 22 نوعًا من التبليط المنتظم الذي يستخدم مضلعات نجمية. ^{[ 4 ]}

جميع هذه التبليطات، مع تجاهل الرؤوس من الرتبة 2 المحتملة، مع تقليل الحواف المزدوجة والحواف الثلاثية المحتملة إلى حواف مفردة، ترتبط طوبولوجيًا بالتبليطات المنتظمة العادية (باستخدام المضلعات المنتظمة المحدبة فقط).

4 تبليطات "موحدة" باستخدام مضلعات نجمية بزوايا قابلة للتعديل 𝛼
3.6 ^_𝛼 .6 ^*_𝛼 Topol. مرتبط بـ 3.12.12	4.4 ^_𝛼 .4 ^*_𝛼 Topol. مرتبط بـ 4.8.8	6.3 ^_𝛼 .3 ^*_𝛼 Topol. مرتبط بـ 6.6.6	3.3 ^_𝛼 .3.3 ^*_𝛼 Topol. مرتبط بـ 3.6.3.6

18 تبليطًا "موحدًا" باستخدام مضلعات نجمية بزوايا محددة
4.6.4 ^*_π/6 .6 طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.4.4.4	(8.4 ^*_π/4 ) ² طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.4.4.4	12.12.4 ^*_π/3 طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.8.8	3.3.8 ^_π/12 .4 ^_π/3 .8 ^_π/12 طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.8.8	3.3.8 ^_π/12 3.4.3.8 ^_π/12 الطوبولوجيا ذات الصلة بـ 4.8.8	3.4.8.3.8 ^*_π/12 طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.8.8
5.5.4 ^_π/10 5.4 ^_π/10 الطوبولوجيا ذات صلة بـ 3.3.4.3.4	4.6 ^_π/6 .6 ^_π/2 .6 ^_π/6 طوبولوجيا مرتبطة بـ 6.6.6	(4.6 ^*_π/6 ) ³ طوبولوجيا مرتبطة بـ 6.6.6	9.9.6 ^*_4π/9 طوبولوجيا مرتبطة بـ 6.6.6	(6.6 ^*_π/3 ) ² طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.6.3.6	(12.3 ^*_π/6 ) ² طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.6.3.6
3.4.6.3.12 ^*_π/6 طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.6.12	3.3.3.12 ^_π/6 3.3.12 ^_π/6 طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.12.12	18.18.3 ^*_2π/9 طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.12.12	3.6.6 ^*_π/3 .6 طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.4.6.4	8.3 ^_π/12 8.6 ^_5π/12 الطوبولوجيا ذات صلة بـ 3.4.6.4	9.3.9.3 ^*_π/9 طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.6.3.6

تبليطات منتظمة باستخدام مضلعات بسيطة متساوية المحاور محدبة

تتناوب الزوايا دائمًا في المضلعات متساوية الأضلاع غير المنتظمة، سواء كانت نجمية أو بسيطة ذات 2 مضلعات (n- gons ) ، حيث تتناوب زاويتان. يمكن أن تكون المضلعات البسيطة متساوية الأضلاع ذات 2 مضلعات ( n -gons) ، { n _{𝛼 }،}محدبة ؛ وأبسطها هي المعينات (2×2-gons)، {2 _𝛼 }. إن اعتبار هذه المضلعات المحدبة { n _𝛼 } مضلعات "منتظمة" يسمح باعتبار المزيد من التبليطات "متجانسة".

أمثلة على التبليط "الموحد" باستخدام مضلعات بسيطة متساوية المحور محدبة ذات 2 مضلع .
3.2 ^_π/3 .6.2 ^*_π/3 طوبولوجيا مرتبطة بـ 3.4.6.4	4.4.4.4 طوبولوجيا ذات صلة بـ 4.4.4.4	(2 ^_π/4 .2 ^*_π/4 ) ² طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.4.4.4	2 ^_π/4 .2 ^_π/4 .2 ^_π/4 .2 ^_π/4 توبول. المتعلقة 4.4.4.4	4.2 ^_π/4 4.2 ^*_π/4 طوبولوجيا مرتبطة بـ 4.4.4.4

انظر أيضاً

مراجع

↑ البلاط والأنماط، الجدول 12.3.1، صفحة 640
1 2 3 4 5 6 7 8 غرونباوم، برانكو؛ ميلر، جيه سي بي؛ شيبارد، جي سي (1981). "التبليط المنتظم بالبلاط المجوف". في ديفيس، تشاندلر؛ غرونباوم، برانكو؛ شيرك، إف إيه (محررون). العرق الهندسي: كتاب كوكسيتر التذكاري . سبرينغر. ص 17-64 . ISBN 978-1-4612-5650-2.
1 2 جيم ماكنيل
↑ التبليط والأنماط ، برانكو جرونباوم، جي سي شيبارد، 1987، 2.5 التبليط باستخدام المضلعات النجمية، ص 82-85.

نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
- إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جي سي (1987). التبليط والأنماط . دبليو إتش فريمان وشركاه. ISBN 0-7167-1193-1.(قسم تبليط النجوم 12.3)
HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Uniform polyhedra , Phil. Trans. , 1954, 246 A, 401–50 JSTOR 91532 (الجدول 8)

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "التجزئة المنتظمة" . عالم الرياضيات .
التبليط المنتظم على المستوى الإقليدي
تبليطات المستوى
عالم ديفيد بيلي للتشكيلات الهندسية
التبليطات المنتظمة من النوع k
التبليطات المنتظمة من الرتبة n
كليتزينغ، ريتشارد. "تبليطات إقليدية رباعية الأبعاد" .

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E ²	تبليط موحد	0 _[3]	δ ₃	h δ ₃	q δ ₃	سداسي
E ³	قرص العسل المحدب المنتظم	0 _[4]	δ ₄	h δ ₄	q δ ₄
E ⁴	قرص عسل رباعي منتظم	0 _[5]	δ ₅	h δ ₅	q δ ₅	قرص العسل ذو 24 خلية
E ⁵	قرص عسل موحد من 5	0 _[6]	δ ₆	h δ ₆	q δ ₆
E ⁶	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 _[7]	δ ₇	h δ ₇	q δ ₇	2 ₂₂
E ⁷	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 _[8]	δ ₈	h δ ₈	q δ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E ⁸	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 _[9]	δ ₉	h δ ₉	q δ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E ⁹	قرص عسل موحد مكون من 9 خلايا	0 _[10]	δ ₁₀	h δ ₁₀	q δ ₁₀
E ¹⁰	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 _[11]	δ ₁₁	h δ ₁₁	q δ ₁₁
E ^{n −1}	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 _{[ ن ]}	δ _n	h δ _n	q δ _n	1 _{كيلو 2} • 2 _{كيلو 1} • كيلو ₂₁

[1] البلاط والأنماط، الجدول 12.3.1، صفحة 640

[Grunbaum1981-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 غرونباوم، برانكو؛ ميلر، جيه سي بي؛ شيبارد، جي سي (1981). "التبليط المنتظم بالبلاط المجوف". في ديفيس، تشاندلر؛ غرونباوم، برانكو؛ شيرك، إف إيه (محررون). العرق الهندسي: كتاب كوكسيتر التذكاري . سبرينغر. ص 17-64 . ISBN 978-1-4612-5650-2.

[mcneill-3] 1 2 جيم ماكنيل

[4] التبليط والأنماط ، برانكو جرونباوم، جي سي شيبارد، 1987، 2.5 التبليط باستخدام المضلعات النجمية، ص 82-85.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗