الفضاء الزائدي

ال${\displaystyle n}$الفضاء الزائدي ذو الأبعاد أو الزائدي${\displaystyle n}$-مسافة ، ويرمز لها عادةً بـ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$، هو الشيء الفريد المتصل ببساطة،${\displaystyle n}$مشعب ريماني كامل ذو بُعد n، يتميز بانحناء قطاعي سالب ثابت يساوي -1. ^{[ 1 ]} تعني خاصية التفرد أن أي مشعبين ريمانيين يحققان هذه الخصائص يكونان متساويي القياس. وهي نتيجة لنظرية كيلينغ-هوبف .

لإثبات وجود مثل هذا الفضاء كما هو موضح أعلاه، يمكن بناؤه بشكل صريح، على سبيل المثال كمجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بمقياس ريماني يُعطى بصيغة بسيطة. توجد العديد من هذه البنى أو النماذج للفضاء الزائدي، كل منها مناسب لجوانب مختلفة من دراسته. وهي متساوية القياس فيما بينها وفقًا للفقرة السابقة، وفي كل حالة يمكن تحديد تساوي القياس بشكل صريح. فيما يلي قائمة بأشهر النماذج التي وُصفت بمزيد من التفصيل في المقالات التي تحمل اسمها:

• نموذج بوانكاريه لنصف الفضاء : هذا هو النصف العلوي من الفضاء${\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}}$باستخدام المقياس${\displaystyle {\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}}$
• نموذج قرص بوانكاريه : هذه هي كرة الوحدة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام المقياس${\displaystyle 4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}}$. يمكن تحقيق التماثل لنموذج نصف الفضاء عن طريق تحويل متجانس يرسل نقطة من كرة الوحدة إلى اللانهاية.
• نموذج القطع الزائد : على عكس النموذجين السابقين، يحقق هذا النموذج القطع الزائد${\displaystyle n}$-الفضاء كما هو مضمن بشكل متساوي القياس داخل${\displaystyle (n+1)}$فضاء مينكوفسكي ذو الأبعاد n (وهو ليس فضاء ريماني بل فضاء لورنتزي ). وبشكل أدق، بالنظر إلى الشكل التربيعي${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$، وتقييدها على الفضاءات المماسية للورقة العلوية للقطع الزائد المعطى بواسطة${\displaystyle q(x)=-1}$هي موجبة قطعًا، وبالتالي فهي تمنحها مقياسًا ريمانيًا يكون ذا انحناء ثابت يساوي -1. ويمكن تحقيق التماثل مع النماذج السابقة عن طريق الإسقاط المجسم من القطع الزائد إلى المستوى.${\displaystyle \{x_{n+1}=0\}}$، مع أخذ الرأس الذي يتم منه الإسقاط ليكون${\displaystyle (0,\ldots ,0,1)}$للكرة ونقطة في اللانهاية في المخروط${\displaystyle q(x)=0}$داخل الفضاء الإسقاطي للفضاء النصفي.
• نموذج بلترامي-كلاين : هذا نموذج آخر تم تنفيذه على كرة الوحدة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بدلاً من تقديمها كمقياس صريح، عادةً ما يتم عرضها على أنها ناتجة عن استخدام الإسقاط المجسم من نموذج القطع الزائد في فضاء مينكوفسكي إلى مستواه المماس الأفقي (أي،${\displaystyle x_{n+1}=1}$) من الأصل${\displaystyle (0,\ldots ,0)}$.
• الفضاء المتناظر: القطعي الزائد${\displaystyle n}$يمكن تمثيل الفضاء - كفضاء متناظر لمجموعة لي البسيطة${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$(مجموعة التماثلات للصيغة التربيعية)${\displaystyle q}$بمحدد موجب)؛ كمجموعة، فإن الأخيرة هي فضاء المشاركة${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)}$يتحقق التماثل مع نموذج القطع الزائد بشكل مباشر من خلال تأثير المكون المتصل لـ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$على السطح الزائدي.

الفضاء الزائدي، الذي طوره بشكل مستقل كل من نيكولاي لوباتشيفسكي ويانوس بولياي وكارل فريدريش غاوس ، هو فضاء هندسي مماثل للفضاء الإقليدي ، ولكن لم يعد يُفترض فيه صحة مسلمة التوازي لإقليدس . وبدلاً من ذلك، تُستبدل مسلمة التوازي بالبديل التالي (في بُعدين):

• بالنظر إلى أي خط L ونقطة P ليست على L ، يوجد على الأقل خطان مختلفان يمران عبر P ولا يتقاطعان مع L.  

إذن، تُعدّ هذه نظريةً تُفيد بوجود عدد لا نهائي من هذه الخطوط المارّة بالنقطة P. مع ذلك، لا تُحدّد هذه البديهية المستوى الزائدي بشكلٍ فريد حتى التماثل ؛ إذ يوجد ثابت إضافي، وهو الانحناء K < 0 ، يجب تحديده. لكنها تُحدّده بشكلٍ فريد حتى التماثل ، أي حتى التقابلات التي تُغيّر مفهوم المسافة بثابت إجمالي فقط. باختيار مقياس طول مناسب، يُمكننا بالتالي، دون فقدان للعمومية، افتراض أن K = −1 .

لا يمكن تضمين المستوى الزائدي بشكل متساوي القياس في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد وفقًا لنظرية هيلبرت . من ناحية أخرى، تشير نظرية تضمين ناش إلى إمكانية تضمين الفضاء الزائدي ذي البعد n بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي ذي بُعد أكبر (5 بالنسبة للمستوى الزائدي وفقًا لنظرية تضمين ناش).

عند تضمينها بشكل متساوي القياس في فضاء إقليدي، فإن كل نقطة في الفضاء الزائدي هي نقطة سرجية .

يزداد حجم الكرات في الفضاء الزائدي أُسّيًا بالنسبة لنصف قطر الكرة، وليس بشكل متعدد الحدود كما هو الحال في الفضاء الإقليدي. أي، إذا${\displaystyle B(r)}$أي كرة نصف قطرها${\displaystyle r}$في${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ثم:$${\displaystyle \mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt}$$ أين${\displaystyle S^{n-1}}$هو الحجم الكلي للمساحة الإقليدية${\displaystyle (n-1)}$كرة نصف قطرها  1.

كما أن الفضاء الزائدي يحقق متباينة خطية متساوية المحيط ، أي أنه يوجد ثابت${\displaystyle i}$بحيث يكون طول أي قرص مضمن حدوده${\displaystyle r}$تبلغ مساحتها على الأكثر${\displaystyle i\cdot r}$وهذا يختلف عن الفضاء الإقليدي حيث تكون المتباينة متساوية المحيط تربيعية.

توجد العديد من الخصائص المترية للفضاء الزائدي التي تميزه عن الفضاء الإقليدي. يمكن تعميم بعض هذه الخصائص على فضاءات غروموف الزائدية، وهي تعميم لمفهوم الانحناء السالب على الفضاءات المترية العامة باستخدام خصائص النطاق الواسع فقط. ومن المفاهيم الأدق مفهوم فضاء CAT(−1).

يمكن فهم الأسطح الزائدية ثنائية الأبعاد أيضًا وفقًا لمصطلحات أسطح ريمان . وبحسب نظرية التوحيد ، فإن كل سطح ريمان إما أن يكون إهليلجيًا أو مكافئًا أو زائديًا. تمتلك معظم الأسطح الزائدية زمرة أساسية غير تافهة π₁ = Γ؛ وتُعرف الزمر الناتجة عن ذلك بالزمر الفوشية. يُعرف فضاء القسمة H₂/ Γ لنصف _{المستوى} العلوي بتردد الزمرة الأساسية بالنموذج الفوشي ^للسطح الزائدي . يُعد نصف مستوى بوانكاريه أيضًا زائديًا، ولكنه بسيط الاتصال وغير متراص . وهو الغطاء الشامل للأسطح الزائدية الأخرى.

النموذج المماثل للأسطح الزائدية ثلاثية الأبعاد هو نموذج كلاين .

• راتكليف، جون ج.، أسس المشعبات الزائدية ، نيويورك، برلين. سبرينغر-فيرلاغ، 1994.
• رينولدز، ويليام ف. (1993) "الهندسة الزائدية على القطع الزائد"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 100:442-455.
• وولف، جوزيف أ. فضاءات الانحناء الثابت ، 1967. انظر الصفحة 67.