شبه المجال

في الهندسة ، الكرة الزائفة هي سطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُعدّ هذا المثال الأكثر شهرةً للسطح شبه الكروي . السطح شبه الكروي هو سطح مغمور بشكل مجزأ بسلاسة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$مع انحناء غاوسي سالب ثابت . "سطح شبه كروي بنصف قطر R " هو سطح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تتميز هذه الأسطح بانحناء ^مقداره -1/ R² عند كل نقطة. وقد اشتق اسمها من تشبيهها بالكرة ذات نصف القطر R ، والتي تُعتبر سطحًا ذا انحناء مقداره 1/ R² ^. ومن أمثلتها: سطح التراكروت، وأسطح ديني ، وأسطح التنفس ، وسطح كوين .

تم تقديم مصطلح "الكرة الزائفة" من قبل يوجينيو بلترامي في ورقته البحثية عام 1868 حول نماذج الهندسة الزائدية . ^{[ 1 ]}

يقصد الناس عادةً بمصطلح "الكرة الزائفة" سطح الترافْتْرويد. يُحصل على سطح الترافْتْرويد بتدوير سطح الترافْتْر حول خط تقاربه . على سبيل المثال، الكرة الزائفة (نصف) (بنصف قطر 1) هي سطح دوران سطح الترافْتْر المُعطى بالمعادلة ^{[ 2 ].}

${\displaystyle t\mapsto \left(t-\tanh t,\operatorname {sech} \,t\right),\quad \quad 0\leq t<\infty .}$

إنها فضاء متفرد (خط الاستواء هو نقطة تفرد)، ولكن بعيدًا عن نقاط التفرد، يكون لها انحناء غاوسي سلبي ثابت ، وبالتالي فهي متساوية القياس محليًا مع مستوى زائدي .

يُطلق على هذا الشكل اسم "الكرة الزائفة" لأنه يمتلك سطحًا ثنائي الأبعاد ذو انحناء غاوسي سالب ثابت، تمامًا كما أن سطح الكرة ذو انحناء غاوسي موجب ثابت. وكما أن للكرة شكلًا هندسيًا موجبًا يشبه القبة عند كل نقطة، فإن للكرة الزائفة شكلًا هندسيًا سالبًا يشبه السرج عند كل نقطة .

في وقت مبكر من عام 1693، اكتشف كريستيان هويغنز أن حجم ومساحة سطح الكرة الزائفة محدودان، ^{[ 3 ]} على الرغم من الامتداد اللانهائي للشكل على طول محور الدوران. بالنسبة لنصف قطر حافة معين R ، تكون المساحة 4πR² ^تمامًا كما هو الحال بالنسبة للكرة، بينما يكون الحجم 2 / 3πR³ ، وبالتالي نصف ^حجم كرة بنفس ^نصف القطر. ^{[ 4 ] [ 5} ]

تُعدّ الكرة الزائفة مقدمة هندسية مهمة لفنون النسيج الرياضي وعلم التربية . ^{[ 6 ]}

تطابق الخطوط هو عبارة عن مجموعة من الخطوط ذات معلمتين في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ويمكن كتابتها على النحو التالي:$${\displaystyle X(u,v,t)=x(u,v)+tp(u,v)}$$حيث كل اختيار من${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$يختار فرعاً محدداً من العائلة.

السطح البؤري لتطابق الخطوط هو سطح مماس لتطابق الخطوط. عند كل نقطة على السطح،$${\displaystyle \det \left(\partial _{u}X,\partial _{v}X,p\right)=0}$$تتحول المعادلة أعلاه إلى معادلة تربيعية في${\displaystyle t}$:$${\displaystyle \det(\partial _{u}x(u,v)+t\partial _{u}p(u,v),\partial _{v}x(u,v)+t\partial _{v}p(u,v),p(u,v))=0}$$وبالتالي، لكل${\displaystyle (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}}$يوجد بشكل عام خياران من${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$وبالتالي، فإن تطابق الخطوط العام له سطحان بؤريان فقط يتم تحديدهما بواسطة${\displaystyle t_{1}(u,v),t_{2}(u,v)}$.

بالنسبة لحزمة من الخطوط العمودية على سطح أملس، فإن السطحين البؤريين يتوافقان مع مسارات تطورها: مواضع مراكز الانحناء الرئيسي.

في عام 1879، أثبت بيانكي أنه إذا كان تطابق الخطوط بحيث تكون النقاط المتناظرة على السطحين البؤريين على مسافة ثابتة 1، أي${\displaystyle |t_{1}(u,v)-t_{2}(u,v)|=1}$إذا كان كلا السطحين البؤريين لهما انحناء ثابت -1.

في عام 1880، أثبت لي عكسًا جزئيًا. ليكن${\textstyle X}$إذا كان لدينا سطح شبه كروي، فإنه يوجد سطح شبه كروي ثانٍ.${\textstyle {\hat {X}}}$وتطابق الخط${\textstyle {\mathcal {L}}}$بحيث${\textstyle X}$و${\textstyle {\hat {X}}}$هي الأسطح البؤرية لـ${\textstyle {\mathcal {L}}}$. بالإضافة إلى،${\textstyle {\hat {X}}}$و${\textstyle {\mathcal {L}}}$يمكن بناؤها من${\textstyle X}$عن طريق دمج سلسلة من المعادلات التفاضلية العادية .

يُغطى نصف الكرة الزائفة ذات الانحناء -1 بالجزء الداخلي من دائرة أفقية . في نموذج بوانكاريه لنصف المستوى، يُعدّ الجزء من نصف المستوى الذي يكون فيه y ≥ 1 خيارًا مناسبًا . ^{[ 7 ]} عندئذٍ، تكون خريطة التغطية دورية في اتجاه x بفترة 2π ، وتأخذ الدوائر الأفقية y = c إلى خطوط طول الكرة الزائفة، والخطوط الجيوديسية الرأسية x = c إلى المسارات التي تولد الكرة الزائفة. هذا التحويل هو تحويل متساوي القياس محليًا، وبالتالي يُظهر الجزء y ≥ 1 من نصف المستوى العلوي كمساحة تغطية شاملة للكرة الزائفة. التحويل الدقيق هو

${\displaystyle (x,y)\mapsto {\big (}v(\operatorname {arcosh} y)\cos x,v(\operatorname {arcosh} y)\sin x,u(\operatorname {arcosh} y){\big )},}$

أين

${\displaystyle t\mapsto {\big (}u(t)=t-\operatorname {tanh} t,v(t)=\operatorname {sech} t{\big )}}$

هي معلمات المسار أعلاه.

في بعض المصادر التي تستخدم نموذج القطع الزائد للمستوى الزائدي، يُشار إلى القطع الزائد باسم شبه الكرة . ^{[ 8 ]} ويعود استخدام هذا المصطلح إلى إمكانية اعتبار القطع الزائد كرة ذات نصف قطر وهمي، مغمورة في فضاء مينكوفسكي .

يمكن إنشاء الأسطح شبه الكروية من حلول معادلة ساين-غوردون . ^{[ 9 ]} يبدأ برهان موجز بإعادة تحديد معلمات التراكروت بإحداثيات يمكن من خلالها إعادة كتابة معادلات غاوس-كوداتزي كمعادلة ساين-غوردون.

على سطح ما، ارسم عند كل نقطة علامة زائد تشير إلى اتجاهي الانحناء الرئيسيين . يمكن دمج هاتين العلامتين لتكوين مجموعتين من المنحنيات، تشكلان نظام إحداثيات على السطح. لنفترض أن نظام الإحداثيات يُكتب على النحو التالي:${\displaystyle (x,y)}$.

عند كل نقطة على سطح شبه كروي، يوجد عمومًا اتجاهان تقاربيان. وعلى طول هذين الاتجاهين، يكون الانحناء صفرًا. ولتكن الزاوية بين الاتجاهين التقاربيين هي${\displaystyle \theta }$.

تنص إحدى النظريات على أن$${\displaystyle \partial _{xx}\theta -\partial _{yy}\theta =\sin \theta }$$على وجه الخصوص، بالنسبة للتراكرويد، فإن معادلات غاوس-كوداتزي هي معادلة ساين-غوردون المطبقة على حل السوليتون الساكن، وبالتالي فإن معادلات غاوس-كوداتزي محققة. في هذه الإحداثيات، تُكتب الصيغتان الأساسيتان الأولى والثانية بطريقة توضح أن انحناء غاوس يساوي -1 لأي ​​حل لمعادلات ساين-غوردون.

بعد ذلك، يمكن استخدام أي حل لمعادلة ساين-غوردون لتحديد شكلين أساسيين أول وثانٍ يحققان معادلات غاوس-كوداتزي. وبالتالي، توجد نظرية تنص على أنه يمكن استخدام أي مجموعة من البيانات الأولية لتحديد سطح مغمور، على الأقل محليًا، في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

تُتيح هذه العلاقة بين معادلات ساين-غوردون والأسطح شبه الكروية إمكانية تحديد حلول المعادلة باستخدام الأسطح. وبالتالي، فإن أي طريقة لتوليد حلول جديدة لمعادلات ساين-غوردون من حلول قديمة تُولّد تلقائيًا أسطحًا شبه كروية جديدة من حلول قديمة، والعكس صحيح.

فيما يلي بعض الأمثلة على حلول ساين-غوردون والسطح المقابل لها:

• السوليتون الأحادي الساكن: شبه الكرة
• سوليتون متحرك أحادي: سطح ديني
• حل التهوية: سطح التهوية
• 2-سوليتون: سطح كوين

• نظرية هيلبرت (الهندسة التفاضلية)
• سطح ديني
• بوق جبرائيل
• القطع الزائد
• بنية القطع الزائد
• شبه الكرة
• معادلة ساين-غوردون
• جسم كروي
• سطح الدوران

• ستيلويل، جون (1996). مصادر الهندسة الزائدية . الجمعية الرياضية الأمريكية وجمعية لندن الرياضية. ISBN 0-8218-0529-0.
• هندرسون، د. و.؛ تايمينا، د. (2006). "تجربة الهندسة: الإقليدية وغير الإقليدية مع التاريخ". علم الجمال والرياضيات (ملف PDF) . سبرينغر-فيرلاغ.
• كاسنر، إدوارد؛ نيومان، جيمس (1940). الرياضيات والخيال . سيمون وشوستر . الصفحات  140، 145، 155.
• روغرز، سي.؛ شيف، وولفغانغ ك.، محرران. (2002). تحويلات باكلوند وداربو: الهندسة والتطبيقات الحديثة في نظرية السوليتون . نصوص كامبريدج في الرياضيات التطبيقية. كامبريدج، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-01288-1.

• اللاإقليدية
• حياكة المستوى الزائدي: مقابلة مع ديفيد هندرسون ودينا تايمينا
• الأسطح شبه الكروية في متحف الرياضيات الافتراضي.