الشكل الأساسي الأول

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 16 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة التفاضلية ، يُعدّ الشكل الأساسي الأول هو الضرب الداخلي على الفضاء المماسي لسطح في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، والذي يُستنتج بشكل قانوني من الضرب النقطي للفضاء R³ . يسمح هذا الشكل بحساب انحناء وخصائص قياس السطح، مثل الطول والمساحة ، بطريقة تتوافق مع الفضاء المحيط . يُرمز للشكل الأساسي الأول بالرقم الروماني I.أنا(x،y)=⟨x،y⟩.{\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}

تعريف

ليكن X ( u , v ) سطحًا وسيطيًا . عندئذٍ يكون حاصل الضرب الداخلي لمتجهين مماسين هو أنا(أXu+بXv،جXu+دXv)=أج⟨Xu،Xu⟩+(أد+بج)⟨Xu،Xv⟩+بد⟨Xv،Xv⟩=هـأج+F(أد+بج)+جيبد،// X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{محاذاة}}} حيث E و F و G هي معاملات الشكل الأساسي الأول .

يمكن تمثيل الشكل الأساسي الأول كمصفوفة متناظرة . أنا(x،y)=xتي[هـFFجي]y{\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y}

ملاحظات إضافية

عندما يتم كتابة الشكل الأساسي الأول باستخدام وسيط واحد فقط، فإنه يشير إلى الضرب الداخلي لهذا المتجه مع نفسه. أنا(v)=⟨v،v⟩=|v|2{\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}

غالباً ما تُكتب الصيغة الأساسية الأولى بالترميز الحديث لموتر القياس . ويمكن كتابة المعاملات حينها على النحو التالي: g ij : (زأناج)=(ز11ز12ز21ز22)=(هـFFجي){\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}

يتم حساب مكونات هذا الموتر كحاصل ضرب قياسي لمتجهي المماس X 1 و X 2 : زأناج=⟨Xأنا،Xج⟩{\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle } لكل i و j = 1، 2. انظر المثال أدناه.

حساب الأطوال والمساحات

يصف الشكل الأساسي الأول الخصائص المترية للسطح وصفًا كاملًا. وبذلك، يُمكّن من حساب أطوال المنحنيات على السطح ومساحات المناطق عليه. ويمكن التعبير عن عنصر الخط ds بدلالة معاملات الشكل الأساسي الأول كما يلي: دs2=هـدu2+2Fدuدv+جيدv2.{\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}

يمكن التعبير عن عنصر المساحة الكلاسيكي المعطى بواسطة dA = | X u × X v | du dv بدلالة الشكل الأساسي الأول بمساعدة متطابقة لاغرانج ، دأ=|Xu×Xv| دuدv=⟨Xu،Xu⟩⟨Xv،Xv⟩-⟨Xu،Xv⟩2دuدv=هـجي-F2دuدv.{\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}

مثال: منحنى على كرة

يمكن تمثيل منحنى كروي على كرة الوحدة في الفضاء ثلاثي الأبعاد (R³ ) بالمعاملات التالية:X(u،v)=[كوس⁡uالخطيئة⁡vالخطيئة⁡uالخطيئة⁡vكوس⁡v]، (u،v)∈[0،2π)×[0،π].{\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi .} يؤدي اشتقاق X ( u , v ) بالنسبة إلى u و v إلى Xu=[-الخطيئة⁡uالخطيئة⁡vكوس⁡uالخطيئة⁡v0]،Xv=[كوس⁡uكوس⁡vالخطيئة⁡uكوس⁡v-الخطيئة⁡v].{\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}} يمكن إيجاد معاملات الشكل الأساسي الأول عن طريق أخذ الضرب النقطي للمشتقات الجزئية .

هـ=Xu⋅Xu=الخطيئة2⁡vF=Xu⋅Xv=0جي=Xv⋅Xv=1{\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}} لذا: [هـFFجي]=[الخطيئة2⁡v001].{\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}

طول منحنى على الكرة

خط استواء الكرة الوحدة هو منحنى مُعطى بواسطة وسيطي. (u(ت)،v(ت))=(ت،π2){\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})} حيث تتراوح قيمة t من 0 إلى 2π . يمكن استخدام عنصر الخط لحساب طول هذا المنحنى.

∫02πهـ(دuدت)2+2Fدuدتدvدت+جي(دvدت)2دت=∫02π|الخطيئة⁡v|دت=2πالخطيئة⁡π2=2π\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }

مساحة منطقة على الكرة

يمكن استخدام عنصر المساحة لحساب مساحة كرة الوحدة.

∫0π∫02πهـجي-F2 دuدv=∫0π∫02πالخطيئة⁡vدuدv=2π[-كوس⁡v]0π=4π{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]}_ {0}^{\pi }=4\بي }

انحناء غاوسي

يُعطى انحناء غاوس لسطح ما بالصيغة التالية: ك=المحققأناأناصالمحققأناص=لشمال-م2هـجي-F2،{\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},} حيث L و M و N هي معاملات الشكل الأساسي الثاني .

تنص نظرية غاوس على أن انحناء غاوس لسطح ما يمكن التعبير عنه بدلالة الشكل الأساسي الأول ومشتقاته فقط، بحيث يكون K في الواقع ثابتًا جوهريًا للسطح. وتُقدم صيغة بريوشي تعبيرًا صريحًا لانحناء غاوس بدلالة الشكل الأساسي الأول .

انظر أيضاً