Dual polyhedron

In Euclidean space, the dual of a polyhedron ${\displaystyle P}$ is often defined in terms of polar reciprocation about a sphere. Here, each vertex (pole) is associated with a face plane (polar plane or just polar) so that the ray from the center to the vertex is perpendicular to the plane, and the product of the distances from the center to each is equal to the square of the radius.^[3]

When the sphere has radius ${\displaystyle r}$ويتمركز عند نقطة الأصل (بحيث يتم تعريفه بالمعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$)، ثم الثنائي القطبي لمتعدد السطوح المحدب${\displaystyle P}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle P^{\circ }=\{q~{\big |}~q\cdot p\leq r^{2}}$للجميع${\displaystyle p}$في${\displaystyle P\},}$

أين${\displaystyle q\cdot p}$يرمز إلى الضرب القياسي لـ${\displaystyle q}$و${\displaystyle p}$.

عادةً، عندما لا يتم تحديد أي كرة في بناء الشكل الثنائي، يتم استخدام كرة الوحدة، أي${\displaystyle r=1}$في التعريفات المذكورة أعلاه. ^{[ 4 ]}

لكل مستوى وجه من${\displaystyle P}$موصوفة بالمعادلة الخطية $${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}$$ الرأس المقابل للمجسم الثنائي${\displaystyle P^{\circ }}$سيكون لها إحداثيات${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$وبالمثل، كل رأس من${\displaystyle P}$يتوافق مع مستوى وجه من${\displaystyle P^{\circ }}$وكل خط حافة من${\displaystyle P}$يتوافق مع خط الحافة لـ${\displaystyle P^{\circ }}$العلاقة بين الرؤوس والحواف والوجوه لـ${\displaystyle P}$و${\displaystyle P^{\circ }}$يعكس التضمين. على سبيل المثال، إذا كانت حافة من${\displaystyle P}$يحتوي على رأس، والحافة المقابلة له${\displaystyle P^{\circ }}$سيتم تضمينها في الوجه المقابل.

بالنسبة للمجسم متعدد السطوح ذي مركز تناظر ، من الشائع استخدام كرة مركزها هذه النقطة، كما في بناء دورمان لوك (المذكور أدناه). وفي حال تعذر ذلك، يمكن استخدام كرة محيطة أو كرة داخلية أو كرة وسطى (أي كرة جميع حوافها مماسة). مع ذلك، من الممكن عكس اتجاه المجسم متعدد السطوح حول أي كرة، وسيعتمد شكل المجسم الثنائي الناتج على حجم الكرة وموقعها؛ فكلما تغير حجم الكرة، تغير شكل المجسم الثنائي. ويكفي اختيار مركز الكرة لتحديد المجسم الثنائي حتى التشابه.

إذا كان لمجسم متعدد السطوح في الفضاء الإقليدي مستوى وجه أو خط حافة أو رأس يقع على مركز الكرة، فإن العنصر المقابل له في فضاءه الثنائي سيؤول إلى اللانهاية. ولأن الفضاء الإقليدي لا يؤول إلى اللانهاية، يمكن تكوين المكافئ الإسقاطي، المسمى الفضاء الإقليدي الممتد، بإضافة "المستوى المطلوب عند اللانهاية". يفضل بعض المنظرين التمسك بالفضاء الإقليدي والقول بأنه لا يوجد فضاء ثنائي. في الوقت نفسه، وجد وينينجر (1983) طريقة لتمثيل هذه الفضاءات الثنائية اللانهائية، بطريقة مناسبة لصنع نماذج (لجزء محدود).

يرتبط مفهوم الازدواجية هنا ارتباطًا وثيقًا بالازدواجية في الهندسة الإسقاطية ، حيث تتبادل الخطوط والحواف مواقعها. وتُعدّ القطبية الإسقاطية مناسبةً تمامًا للمجسمات المحدبة. أما بالنسبة للأشكال غير المحدبة، مثل المجسمات النجمية، فعندما نسعى إلى تعريف هذا النوع من ازدواجية المجسمات بدقة من حيث القطبية الإسقاطية، تظهر مشكلات عديدة. ^{[ 5 ]} ونظرًا لمشكلات التعريف المتعلقة بالازدواجية الهندسية للمجسمات غير المحدبة، يرى غرونباوم (2007) أن أي تعريف صحيح للمجسم غير المحدب يجب أن يتضمن مفهوم المجسم المزدوج.

الثنائيات الكنسية

يمكن تحويل أي متعدد السطوح محدب إلى شكل معياري ، حيث توجد كرة متوسطة (أو كرة بينية) وحدة مماسية لكل حافة، ويكون متوسط ​​موضع نقاط التماس هو مركز الكرة. هذا الشكل فريد حتى التطابقات.

إذا قمنا بعكس شكل متعدد السطوح معياري حول كرته الوسطى، فإن الشكل متعدد السطوح الثنائي سيشترك في نفس نقاط التماس على الحواف، وبالتالي سيكون معياريًا أيضًا. إنه الشكل الثنائي المعياري، ويشكل الاثنان معًا مركبًا ثنائيًا معياريًا. ^{[ 6 ]}

حتى عندما يتعذر الحصول على زوج من المجسمات متعددة الأوجه عن طريق التبادل، يُمكن تسميتهما بالمجسمين المتناظرين طالما أن رؤوس أحدهما تُطابق وجوه الآخر، وحواف أحدهما تُطابق حواف الآخر، بطريقة تحافظ على التلاقي. تظل هذه الأزواج من المجسمات متعددة الأوجه متناظرة طوبولوجيًا أو تجريديًا.

تشكل رؤوس وحواف متعدد السطوح المحدب رسمًا بيانيًا ( الهيكل الأساسي لمتعدد السطوح)، مُضمنًا على سطح متعدد السطوح (كرة طوبولوجية). يمكن إسقاط هذا الرسم البياني لتكوين مخطط شليغل على مستوى مسطح. الرسم البياني المُشكّل من رؤوس وحواف متعدد السطوح الثنائي هو الرسم البياني الثنائي للرسم البياني الأصلي.

وبشكل أكثر عمومية، بالنسبة لأي متعدد السطوح تشكل وجوهه سطحًا مغلقًا، فإن رؤوس وحواف متعدد السطوح تشكل رسمًا بيانيًا مضمنًا على هذا السطح، وتشكل رؤوس وحواف متعدد السطوح الثنائي (المجرد) الرسم البياني الثنائي للرسم البياني الأصلي.

المجسم المجرد هو نوع من المجموعات المرتبة جزئيًا (poset)، حيث تتوافق العلاقات بين عناصر المجموعة مع العلاقات بين عناصر المجسم (الأوجه، الحواف، الرؤوس). لكل مجموعة مرتبة جزئيًا من هذا النوع مجموعة مرتبة جزئيًا ثنائية، تتكون من عكس جميع علاقات الترتيب. إذا تم تمثيل المجموعة المرتبة جزئيًا بمخطط هاس ، فيمكن تمثيل المجموعة المرتبة جزئيًا الثنائية ببساطة عن طريق قلب مخطط هاس رأسًا على عقب.

كل متعدد السطوح هندسي يقابل متعدد سطوح تجريدي بهذه الطريقة، وله متعدد سطوح ثنائي تجريدي. مع ذلك، بالنسبة لبعض أنواع متعددات السطوح الهندسية غير المحدبة، قد لا يكون من الممكن تحقيق متعددات السطوح الثنائية هندسيًا.

الفئة الأساسية من متعددات الوجوه ذاتية التناظر هي متعددات الوجوه المنتظمة ذات رموز شلافلي المتناظرة . جميع المضلعات المنتظمة، {a}، هي متعددة وجوه ذاتية التناظر، ومتعددات الوجوه من الشكل {a,a}، ومتعددات الوجوه الرباعية من الشكل {a,b,a}، ومتعددات الوجوه الخماسية من الشكل {a,b,b,a}، إلخ.

المضلعات المنتظمة ذاتية التناظر هي:

• جميع المضلعات المنتظمة ، {أ}.
• رباعي الأوجه المنتظم : {3,3}
• بشكل عام، جميع الأشكال البسيطة المنتظمة من الرتبة n ، {3،3،...،3}
• الخلية المنتظمة المكونة من 24 خلية في 4  أبعاد، {3،4،3}.
• الخلية الكبيرة المكونة من 120 خلية {5,5/2,5} والخلية النجمية الكبيرة المكونة من 120 خلية {5/2,5,5/2}

خلايا النحل الإقليدية المنتظمة ذاتية التناظر (اللانهائية) هي:

• أبييروجون : { ∞ }
• تبليط مربع : {4,4}
• قرص العسل المكعب : {4،3،4}
• بشكل عام، جميع خلايا النحل المكعبة الفائقة الإقليدية المنتظمة ذات الأبعاد n : {4,3,...,3,4}.

خلايا النحل الزائدية المنتظمة ذاتية التناظر (اللانهائية) هي:

• التبليطات الزائدية المدمجة: {5,5} ، {6,6} ، ... {p,p}.
• التبليط الزائدي شبه المضغوط: { ∞ , ∞ }
• خلايا النحل الزائدية المدمجة: {3,5,3} ، {5,3,5} ، و {5,3,3,5}
• خلايا النحل الزائدية شبه المدمجة: {3,6,3} ، {6,3,6} ، {4,4,4} ، و {3,3,4,3,3}