ميدسفير

إذا كانت O هي الكرة المتوسطة لمجسم محدب P ، فإن تقاطع O مع أي وجه من أوجه P يُشكّل دائرة تقع داخل ذلك الوجه، وتكون مماسة لأضلاعه عند نفس النقاط التي تمس عندها الكرة المتوسطة. وبالتالي، يحتوي كل وجه من أوجه P على دائرة داخلية، وتكون هذه الدوائر مماسة لبعضها البعض تحديدًا عندما تشترك الأوجه التي تقع فيها في ضلع واحد. (مع ذلك، لا تنشأ جميع أنظمة الدوائر التي تتمتع بهذه الخصائص من كرات متوسطة.) ^{[ 1 ]}

وبالمثل، إذا كان v رأسًا من رؤوس النقطة P ، فإنه يوجد مخروط رأسه عند v ويماس النقطة O في دائرة؛ تشكل هذه الدائرة حدود غطاء كروي يمكن رؤية سطح الكرة من داخله من الرأس. أي أن الدائرة هي أفق الكرة الوسطى، كما يُرى من الرأس. وتكون الدوائر المتكونة بهذه الطريقة متماسّة مع بعضها البعض تمامًا عندما تكون الرؤوس التي تُقابلها متصلة بحافة. ^{​​[ 9 ]}

إذا كان للمجسم متعدد السطوح P كرة متوسطة O ، فإن المجسم القطبي بالنسبة إلى O له أيضًا O ككرة متوسطة. تمر مستويات أوجه المجسم القطبي عبر الدوائر الموجودة على O والتي تمس المخاريط التي رؤوسها رؤوس المجسم P. ^{[ 2 ] حواف المجسم القطبي لها نفس نقاط التماس مع الكرة المتوسطة، حيث تكون عمودية} على حواف P. [ ^{10 ]}

بالنسبة لمجسم متعدد السطوح ذي كرة وسطية، يمكن إسناد عدد حقيقي لكل رأس ( قوة الرأس بالنسبة للكرة الوسطية) يساوي المسافة من ذلك الرأس إلى نقطة التماس لكل ضلع يلامسه. بالنسبة لكل ضلع، يكون مجموع العددين المُسندين إلى طرفيه هو طول الضلع. على سبيل المثال، يمكن تمثيل رباعيات سطوح كريل بالأرقام الأربعة المُسندة بهذه الطريقة إلى رؤوسها الأربعة، مما يُظهر أنها تُشكل عائلة رباعية الأبعاد. ^{[ 11 ]}

على سبيل المثال، تشكل النقاط الأربع (0,0,0)، (1,0,0)، (0,1,0)، و(0,0,1) أحد رباعيات الأوجه لكريل، بثلاثة مثلثات قائمة متساوية الساقين ومثلث متساوي الأضلاع واحد يمثل وجهًا. هذه النقاط الأربع هي مراكز أربع كرات متماسّة مثنى مثنى، بنصف قطر${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707}$بالنسبة للنقاط الثلاث غير الصفرية على المثلث متساوي الأضلاع و${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.293}$بالنسبة لنقطة الأصل. هذه الأرقام الأربعة (ثلاثة متساوية وواحد أصغر) هي الأرقام الأربعة التي تُحدد شكل هذا الهرم الرباعي. ثلاثة من أضلاع الهرم الرباعي تربط نقطتين لهما نصف قطر أكبر؛ طول هذه الأضلاع هو مجموع أنصاف الأقطار المتساوية.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$أما الحواف الثلاثة الأخرى فتربط نقطتين بنصف قطرين مختلفين مجموعهما يساوي واحدًا.

عندما يمتلك متعدد السطوح ذو الكرة الوسطى دورة هاميلتونية ، يمكن تقسيم مجموع أطوال الحواف في الدورة بنفس الطريقة إلى ضعف مجموع قوى الرؤوس. ولأن مجموع قوى الرؤوس هذا لا يعتمد على اختيار الحواف في الدورة، فإن جميع الدورات الهاميلتونية لها أطوال متساوية. ^{[ 12 ]}

يمكن إنشاء تقريب عددي للمجسم متعدد السطوح المتعارف عليه لرسم بياني متعدد السطوح معين عن طريق تمثيل الرسم البياني ورسمه البياني الثنائي على شكل حزم دوائر متعامدة في المستوى الإقليدي، ^{[ 20 ]} وتطبيق إسقاط مجسم لتحويله إلى زوج من حزم الدوائر على كرة، والبحث عدديًا عن تحويل موبيوس الذي ينقل مركز نقاط التقاطع إلى مركز الكرة، ووضع رؤوس المجسم متعدد السطوح عند نقاط في الفضاء يكون أفقها هو الدوائر الثنائية للحزمة المحولة. ومع ذلك، قد تكون إحداثيات وأنصاف أقطار الدوائر في خطوة حزم الدوائر أعدادًا غير قابلة للإنشاء، ولا يوجد لها تعبير مغلق دقيق باستخدام العمليات الحسابية وعمليات الجذر النوني. ^{[ 21 ]}

بدلاً من ذلك، تعتمد طريقة عددية أبسط لإنشاء المجسم متعدد السطوح المتعارف عليه، اقترحها جورج دبليو هارت، على إحداثيات رؤوس المجسم مباشرةً، مع تعديل مواقعها في محاولة لجعل حوافها متساوية البعد عن نقطة الأصل، ولجعل النقاط الأقصر بُعدًا عن نقطة الأصل مركز ثقلها، ولجعل أوجه المجسم مستوية. على عكس طريقة تعبئة الدوائر، لم يُثبت أن هذه الطريقة تتقارب مع المجسم متعدد السطوح المتعارف عليه، بل إنها لا تضمن حتى إنتاج مجسم متعدد السطوح مكافئ تركيبيًا للمجسم المُعطى، ولكنها تبدو فعّالة في الأمثلة الصغيرة. ^{[ 19 ]}

يمكن استخدام المجسم متعدد السطوح المتعارف عليه ونظيره القطبي لبناء نظير رباعي الأبعاد للموشور المضاد ، حيث يكون أحد وجهيه المتقابلين مكافئًا توافقيًا لأي مجسم متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد. من غير المعروف ما إذا كان بالإمكان استخدام أي مجسم متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد مباشرةً كوجه لموشور مضاد رباعي الأبعاد، دون استبداله بمجسمه المتعارف عليه، ولكن ليس من الممكن دائمًا القيام بذلك باستخدام كل من مجسم متعدد السطوح ثلاثي الأبعاد ونظيره القطبي. ^{[ 1 ]}

لكل متعدد السطوح ذي كرة متوسطة، يمتلك كل رأس مستوى داعمًا ، وهو مستوى يلامس الرأس ولكنه منفصل عن باقي متعدد السطوح، وعمودي على المتجه الواصل من مركز الكرة إلى الرأس. يمكن استخدام هذه الحقيقة كأساس لإجراء توجيه قائم على الموقع لأي شبكة تحتوي على رسم بياني فرعي متعدد السطوح ممتد: أولًا، يتم إنشاء متعدد سطوح ذي كرة متوسطة لهذا الرسم البياني الفرعي. ثم، لمعالجة رسالة يجب توجيهها من الرأس${\displaystyle u}$، مع الوجهة${\displaystyle v}$قم بإعادة توجيه الرسالة إلى أي رأس مجاور${\displaystyle w}$والتي${\displaystyle w\cdot v>u\cdot v}$بزيادة حاصل الضرب الداخلي لإحداثيات الرؤوس ثلاثية الأبعاد. ويمكن إثبات ذلك من خلال التحدب ووجود هذه المستويات الداعمة، حيث أن الجار${\displaystyle w}$يوجد دائمًا حاصل ضرب نقطي أكبر، لذا لا يمكن لهذه الخوارزمية الجشعة أن تتعثر حتى تصل الرسالة إلى وجهتها. ^{[ 22 ]}

يمكن استبدال الكرة المتوسطة في بناء المجسم متعدد السطوح المتعارف عليه بأي جسم محدب أملس . وبوجود هذا الجسم، يكون لكل مجسم متعدد السطوح تمثيل مكافئ توافقيًا تكون حوافه مماسة لهذا الجسم. وقد وُصف هذا بأنه "وضع بيضة في قفص": فالجسم الأملس هو البيضة، والتمثيل متعدد السطوح هو قفصها. ^{[ 23 ]} علاوة على ذلك، فإن تثبيت ثلاث حواف من القفص بحيث يكون لها ثلاث نقاط تماس محددة على البيضة يجعل هذا التمثيل فريدًا. ^{[ 24 ]}