غطاء كروي

لاحظ أنه بصرف النظر عن الحجة القائمة على حساب التفاضل والتكامل أدناه، يمكن اشتقاق مساحة الغطاء الكروي من الحجم${\displaystyle V_{sec}}$من القطاع الكروي ، بحجة بديهية، ^{[ 2 ]} كـ

${\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.}$

تعتمد الحجة البديهية على جمع حجم القطاع الكلي من حجم الأهرامات المثلثية متناهية الصغر . باستخدام صيغة حجم الهرم (أو المخروط)${\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'}$، أين${\displaystyle b}$هي المساحة المتناهية الصغر لكل قاعدة هرمية (تقع على سطح الكرة) و${\displaystyle h'}$يمثل ارتفاع كل هرم من قاعدته إلى قمته (في مركز الكرة). بما أن كل${\displaystyle h'}$في النهاية، يكون ثابتًا ويكافئ نصف القطر${\displaystyle r}$بالنسبة للكرة، فإن مجموع القواعد الهرمية المتناهية الصغر يساوي مساحة القطاع الكروي، و:

${\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A}$

يمكن اشتقاق صيغتي الحجم والمساحة من خلال دراسة دوران الدالة

${\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}$

ل${\displaystyle x\in [0,h]}$باستخدام الصيغ، يمكن حساب مساحة سطح الدوران وحجم مجسم الدوران . المساحة هي

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}$

مشتق من${\displaystyle f}$يكون

${\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}$

وبالتالي

${\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}$

وبالتالي فإن صيغة حساب المساحة هي

${\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh}$

الحجم هو

${\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)}$

حجم اتحاد كرتين متقاطعتين نصف قطريهما${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$هو ^{[ 3 ]}

${\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}$

أين

${\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}$

هو مجموع حجمي الكرتين المنفصلتين، و

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})}$

مجموع حجمي الغطائين الكرويين اللذين يشكلان نقطة تقاطعهما. إذا${\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}$المسافة بين مركزي الكرتين، مع حذف المتغيرات${\displaystyle h_{1}}$و${\displaystyle h_{2}}$يؤدي إلى ^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}$

يمكن حساب حجم غطاء كروي ذي قاعدة منحنية من خلال اعتبار كرتين بنصف قطر${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$، يفصل بينهما مسافة معينة${\displaystyle d}$والتي تتقاطع أسطحها عند${\displaystyle x=h}$أي أن انحناء القاعدة ناتج عن الكرة الثانية. وبالتالي، فإن الحجم هو الفرق بين ارتفاع غطاء الكرة الثانية (بارتفاع${\displaystyle (r_{2}-r_{1})-(d-h)}$) وغطاء الكرة 1 (بارتفاع${\displaystyle h}$)

${\displaystyle {\begin{aligned}V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi [(r_{2}-r_{1})-(d-h)]^{2}}{3}}[3r_{2}-((r_{2}-r_{1})-(d-h))]\,,\\V&={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r_{1}-h)-{\frac {\pi }{3}}(d-h)^{3}\left({\frac {r_{2}-r_{1}}{d-h}}-1\right)^{2}\left[{\frac {2r_{2}+r_{1}}{d-h}}+1\right]\,.\end{aligned}}}$

هذه الصيغة صالحة فقط للتكوينات التي تستوفي الشروط التالية${\displaystyle 0<d<r_{2}}$و${\displaystyle d-(r_{2}-r_{1})<h\leq r_{1}}$إذا كانت الكرة 2 كبيرة جدًا بحيث${\displaystyle r_{2}\gg r_{1}}$، لذلك${\displaystyle d\gg h}$و${\displaystyle r_{2}\approx d}$، وهو الحال بالنسبة للغطاء الكروي ذي القاعدة التي لها انحناء ضئيل، فإن المعادلة أعلاه تساوي حجم الغطاء الكروي ذي القاعدة المسطحة، كما هو متوقع.

لنفترض وجود كرتين متقاطعتين بنصف قطر${\displaystyle r_{1}}$و${\displaystyle r_{2}}$، مع فصل مراكزها بالمسافة${\displaystyle d}$يتقاطعان إذا

${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|\leq d\leq r_{1}+r_{2}}$

من قانون جيب التمام ، الزاوية القطبية للغطاء الكروي على الكرة ذات نصف القطر${\displaystyle r_{1}}$يكون

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2r_{1}d}}}$

باستخدام هذا، فإن مساحة سطح الغطاء الكروي على الكرة ذات نصف القطر${\displaystyle r_{1}}$يكون

${\displaystyle A_{1}=2\pi r_{1}^{2}\left(1+{\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}-d^{2}}{2r_{1}d}}\right)}$

مساحة السطح المنحني للقطعة الكروية المحصورة بين قرصين متوازيين هي الفرق بين مساحتي سطحي غطاءيهما الكرويين. بالنسبة لكرة نصف قطرها${\displaystyle r}$وأغطية ذات ارتفاعات${\displaystyle h_{1}}$و${\displaystyle h_{2}}$المنطقة هي

${\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,}$

أو باستخدام الإحداثيات الجغرافية مع خطوط العرض${\displaystyle \phi _{1}}$و${\displaystyle \phi _{2}}$, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}$

على سبيل المثال، بافتراض أن الأرض عبارة عن كرة نصف قطرها 6371  كم، فإن مساحة سطح القطب الشمالي (شمال الدائرة القطبية الشمالية، عند خط عرض 66.56 درجة اعتبارًا من أغسطس 2016 ^{[ 7 ]} ) هي 2 π ⋅ 6371 ² | sin 90° − sin 66.56° | = 21.04 مليون كم ² (8.12 مليون ميل ² ) ، أو 0.5 ⋅ | sin 90° − sin 66.56° | = 4.125% من إجمالي مساحة سطح الأرض.    

ويمكن استخدام هذه الصيغة أيضًا لإثبات أن نصف مساحة سطح الأرض تقع بين خطي عرض 30 درجة جنوبًا و30 درجة شمالًا في منطقة كروية تشمل جميع المناطق المدارية .

يتم الحصول على القبة الكروية عن طريق قطع جزء من الشكل الكروي بحيث تكون القبة الناتجة متناظرة دائريًا (لها محور دوران)، وبالمثل يتم اشتقاق القبة الإهليلجية من الشكل الإهليلجي .

بشكل عام،${\displaystyle n}$حجم ذو أبعاد لغطاء كروي فائق الارتفاع${\displaystyle h}$ونصف القطر${\displaystyle r}$في${\displaystyle n}$يُعطى الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n بالصيغة التالية: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(\theta )\,\mathrm {d} \theta }$$ أين${\displaystyle \Gamma }$( دالة غاما ) معطاة بالصيغة التالية${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t}$.

صيغة لـ${\displaystyle V}$يمكن التعبير عنها بدلالة حجم الكرة ذات الحجم n${\textstyle C_{n}=\pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}$والدالة الهندسية الفائقة${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$أو دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة${\displaystyle I_{x}(a,b)}$مثل $${\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$

وصيغة المساحة${\displaystyle A}$يمكن التعبير عنها بدلالة مساحة الكرة ذات البعد n.${\textstyle A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}}$مثل $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$$ أين${\displaystyle 0\leq h\leq r}$.

استنتج أ. تشودنوف ^{[ 9 ]} الصيغ التالية: $${\displaystyle A=A_{n}r^{n-1}p_{n-2}(q),\,V=C_{n}r^{n}p_{n}(q),}$$أين $${\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2,}$$$${\displaystyle G_{n}(q)=\int _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.}$$

للفردي${\displaystyle n=2k+1}$: $${\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.}$$