مجسم بيضاوي

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

هنا p ≈ 1.6075 ينتج عنه خطأ نسبي لا يتجاوز 1.061٪؛ ^{[ 7 ]} قيمة p = 8 / 5 = 1.6 هي الأمثل للقطع الناقص الكروي تقريبًا، مع خطأ نسبي لا يتجاوز 1.178٪.

في الحد "المسطح" لـ c أصغر بكثير من a و b ، تكون المساحة تقريبًا 2π ab ، وهو ما يعادل p = log ₂ 3 ≈ 1.5849625007 .

المعطيات: القطع الناقص ⁠ x ² / a ² ⁠ + ⁠ y ² / b ² ⁠ + ⁠ z ² / c ² ⁠ = 1 والمستوى ذو المعادلة n _x x + n _y y + n _z z = d ، والتي تشترك في قطع ناقص.

المطلوب: ثلاثة متجهات f₀ (المركز) و f₁ _{و f₂} ( مترافقان ₎ ، بحيث يمكن تمثيل القطع الناقص بالمعادلة البارامترية .

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(انظر الشكل البيضاوي ).

الحل: يُحوّل التناسب u = x / a ، v = y / b ، w = z / c القطع الناقص إلى كرة الوحدة u² + v² + ^w² = 1 ^، والمستوى المعطى إلى المستوى ^ذي المعادلة

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

ليكن m _u u + m _v v + m _w w = δ الشكل الطبيعي لهيس للمستوى الجديد و

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

متجه الوحدة العمودي الخاص به. ومن ثم

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

هي مركز دائرة التقاطع و

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

نصف قطره (انظر الرسم التخطيطي).

حيث m _w = ±1 (أي أن المستوى أفقي)، ليكن

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

حيث m _w ≠ ±1 ، ليكن

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

على أي حال، فإن المتجهين e1 و e2 متعامدان، ومتوازيان مع مستوى التقاطع، ولهما طول _ρ ( نصف قطر الدائرة). وبالتالي، يمكن وصف دائرة التقاطع بالمعادلة البارامترية _.

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

يؤدي التحجيم العكسي (انظر أعلاه) إلى تحويل الكرة الوحدة مرة أخرى إلى شكل بيضاوي ويتم تعيين المتجهات e ₀ و e ₁ و e _{2 على المتجهات} f ₀ و f ₁ و f ₂ ، والتي كانت مطلوبة للتمثيل البارامتري لقطع ناقص التقاطع.

كيفية إيجاد رؤوس وأنصاف محاور القطع الناقص موضحة في قسم القطع الناقص .

مثال: تُظهر المخططات شكلًا بيضاويًا بنصف المحاور a = 4، b = 5، c = 3 والذي يقطعه المستوى x + y + z = 5 .

1. اختر قطعًا ناقصًا E وقطعًا زائدًا H ، وهما زوج من القطوع المخروطية البؤرية :$${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$برؤوس وبؤر القطع الناقص$${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$وسلسلة ( باللون الأحمر في الرسم التخطيطي) طولها l .
2. ثبّت أحد طرفي الخيط عند الرأس S1 والطرف الآخر عند البؤرة F2 _. يُشدّ الخيط عند نقطة P ذات إحداثيات y و z موجبة ، بحيث يمتد الخيط من S1 إلى P خلف الجزء العلوي _من القطع الزائد (انظر الرسم التوضيحي) ويتحرك بحرية على سطحه. أما الجزء من الخيط الممتد من _P إلى F2 فيمتد وينزلق أمام القطع الناقص. يمر الخيط عبر تلك النقطة من القطع الزائد التي تكون عندها المسافة | S1P | فوق أي نقطة _{من القطع الزائد في أدنى قيمة لها. وينطبق الأمر نفسه على الجزء} الثاني _من الخيط والقطع الناقص.
3. إذن: النقطة P هي نقطة على سطح القطع الناقص ذي المعادلة $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\tfrac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}},\quad r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}}.\end{aligned}}}$$
4. يمكن إنشاء النقاط المتبقية من القطع الناقص عن طريق تغييرات مناسبة للوتر عند القطوع المخروطية البؤرية.

يمكن اشتقاق معادلات أنصاف محاور القطع الناقص المتولد من خلال اختيارات خاصة للنقطة P :

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

يُظهر الجزء السفلي من الرسم البياني أن النقطتين _F1 و F2 هما بؤرتا القطع الناقص في المستوى xy أيضًا. وبالتالي ، فهو يقع في نفس بؤرة القطع الناقص المعطى _، وطول الخيط هو l = 2rx + ( a − c ) . ^بحل المعادلة لإيجاد rx _، نحصل _على rx = ½ ( l − a + c ) ؛ بالإضافة إلى _{ذلك ،} r²y = ^r²x − _c² ^.

من الرسم التخطيطي العلوي نرى أن S ₁ و S ₂ هما بؤرتا القطع الناقص للقطع الناقص في المستوى xz وأن r ² _z = r ² _x − a ² .

إذا تم إعطاء شكل بيضاوي ثلاثي المحاور من خلال معادلته، فإنه يمكن من المعادلات في الخطوة 3 استنتاج المعلمات a و b و l لإنشاء دبابيس وخيط.

إذا كان E عبارة عن قطع ناقص بؤري متطابق مع E ومربعات أنصاف محاوره

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

ثم من معادلات E

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

يتبين أن القطوع المخروطية البؤرية المستخدمة في بناء الدبابيس والخيوط لها نفس أنصاف المحاور a و b و c مثل القطع الناقص E. لذلك (قياسًا على بؤرتي القطع الناقص) تُعتبر القطوع المخروطية البؤرية للقطع الناقص ثلاثي المحاور بمثابة البؤر (التي لا حصر لها) وتُسمى المنحنيات البؤرية للقطع الناقص. ^{[ 14 ]}

العبارة العكسية صحيحة أيضاً: إذا اختار المرء سلسلة ثانية بطول l وحدد

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

ثم المعادلات

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

صحيح، مما يعني أن القطعين البيضاويين متطابقان في البؤرة.

في حالة a = c ( شكل كروي مجسم ) _، نحصل على S1 = F1 و S2 = F2 _، مما يعني أن القطع الناقص البؤري يتحول إلى قطعة مستقيمة، وأن القطع الزائد البؤري يتحول إلى قطعتين مستقيمتين لانهائيتين على _{المحور x} . يكون الشكل الإهليلجي متناظرًا دورانيًا حول المحور x .

${\displaystyle r_{x}={\tfrac {1}{2}}l,\quad r_{y}=r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}}$.

المنحنى الحقيقي

إذا نظرنا إلى شكل بيضاوي من نقطة خارجية V تقع على بؤرة القطع الزائد، فسيبدو لنا كرة، أي أن شكله الظاهري دائرة. وبالمثل، فإن مماسات الشكل البيضاوي الذي يحتوي على النقطة V هي خطوط مخروط دائري ، محور دورانه هو خط المماس للقطع الزائد عند V. ^{[ 15 ] [ 16 ]} إذا تركنا المركز V يختفي في اللانهاية، فسنحصل على إسقاط متعامد متوازٍ يكون اتجاهه هو خط التقارب المقابل لبؤرة القطع الزائد. المنحنى الحقيقي للشكل (نقاط التماس) على الشكل البيضاوي ليس دائرة.

يُظهر الجزء السفلي من الرسم التخطيطي على اليسار إسقاطًا متوازيًا لقطع ناقص (بأنصاف محاور 60، 40، 30) على طول خط مقارب، وعلى اليمين إسقاطًا مركزيًا مركزه V ونقطته الرئيسية H على مماس القطع الزائد عند النقطة V. ( H هي مسقط العمود النازل من V على مستوى الصورة). في كلا الإسقاطين، يكون الشكل الظاهري دائرة. في حالة الإسقاط المتوازي، تكون صورة نقطة الأصل O هي مركز الدائرة؛ وفي حالة الإسقاط المركزي، تكون النقطة الرئيسية H هي المركز.

نقاط السرة

يتقاطع القطع الزائد البؤري مع القطع الناقص عند نقاطه السرية الأربع . ^{[ 17 ]}

يمكن اعتبار القطع الناقص البؤري مع جزئه الداخلي بمثابة السطح الحدي (قطع ناقص رقيق للغاية) لحزمة القطع الناقصة البؤرية المحددة بواسطة a و b عندما r _z → 0. في الحالة الحدية نحصل على

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

إذا كانت A مصفوفة حقيقية متناظرة موجبة التحديد من الرتبة n × n ، و v متجهًا في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ثم مجموعة النقاط x التي تحقق المعادلة

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

هو شكل بيضاوي ذو أبعاد n مركزه عند النقطة v . التعبير${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$يُطلق عليه أيضًا المعيار الإهليلجي لـ x − v . لكل إهليلج، توجد قيمتان وحيدتان لـ A و v تحققان المعادلة أعلاه. ^{[ 18 ] : 67}

المتجهات الذاتية للمصفوفة A هي المحاور الرئيسية للقطع الناقص، والقيم الذاتية للمصفوفة A هي مقلوب مربعات أنصاف المحاور (في ثلاثة أبعاد، تكون هذه القيم a ⁻² و b ⁻² و c ⁻² ). ^{[ 19 ]} على وجه الخصوص:

• قطر القطع الناقص يساوي ضعف نصف المحور الأطول، وهو ضعف الجذر التربيعي لمقلوب أكبر قيمة ذاتية لـ A.
• عرض القطع الناقص يساوي ضعف نصف المحور الأقصر، وهو ضعف الجذر التربيعي لمقلوب أصغر قيمة ذاتية لـ A.

ينتج عن تطبيق تحويل خطي قابل للعكس على كرة شكل بيضاوي، يمكن تحويله إلى الشكل القياسي المذكور أعلاه عن طريق دوران مناسب ، وذلك نتيجةً للتحليل القطبي (انظر أيضًا نظرية الطيف ). إذا مُثِّل التحويل الخطي بمصفوفة متناظرة من الرتبة 3  ×  3 ، فإن المتجهات الذاتية للمصفوفة تكون متعامدة (بحسب نظرية الطيف ) وتمثل اتجاهات محاور الشكل البيضاوي؛ ويتم حساب أطوال أنصاف المحاور من القيم الذاتية. يُعد كل من تحليل القيم المفردة والتحليل القطبي من تحليلات المصفوفات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بهذه الملاحظات الهندسية.

لكل مصفوفة موجبة محددة${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$، توجد مصفوفة موجبة محددة وحيدة يُرمز لها بـ A ^1/2 ، بحيث ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}{\boldsymbol {A}}^{1/2};}$يستند هذا الترميز إلى حقيقة أنه يمكن اعتبار هذه المصفوفة بمثابة "الجذر التربيعي الموجب" لـ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}.}$القطع الناقص المحدد بواسطة${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$ويمكن أيضًا عرضها على النحو التالي: ^{[ 18 ] : 67}

${\displaystyle A^{-1/2}\cdot S(\mathbf {0} ,1)+\mathbf {v} }$

حيث S( 0 ,1) هي الكرة الوحدة حول نقطة الأصل.

يكمن مفتاح التمثيل البارامتري للقطع الناقص في الوضع العام في التعريف البديل:

القطع الناقص هو صورة تآلفية للكرة الوحدة.

يمكن تمثيل التحويل الأفيني عن طريق إزاحة مع متجه f ₀ ومصفوفة منتظمة 3  ×  3 A :

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

حيث f ₁ و f ₂ و f ₃ هي متجهات الأعمدة للمصفوفة A.

يمكن الحصول على تمثيل بارامتري لشكل بيضاوي في وضع عام من خلال التمثيل البارامتري للكرة الوحدة (انظر أعلاه) والتحويل الأفيني:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

إذا شكلت المتجهات f ₁ و f ₂ و f ₃ نظامًا متعامدًا، فإن النقاط الست ذات المتجهات f ₀ ± f _1,2,3 هي رؤوس القطع الناقص و | f ₁ | و | f ₂ | و | f ₃ | هي المحاور شبه الرئيسية.

متجه عمودي على السطح عند النقطة x ( θ , φ ) هو

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

لكل شكل بيضاوي يوجد تمثيل ضمني F ( x , y , z ) = 0. إذا افترضنا، تبسيطًا _، أن مركز الشكل البيضاوي هو نقطة الأصل، f₀ = 0 ، فإن المعادلة التالية تصف الشكل البيضاوي المذكور أعلاه: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

• طريقة القطع الناقص ، وهي خوارزمية تحسين محدبة ذات أهمية نظرية

إضاءة

• كشاف عاكس بيضاوي الشكل
• كشاف عاكس بيضاوي الشكل

الدواء

• يمكن استخدام القياسات التي تم الحصول عليها من التصوير ^{بالرنين} المغناطيسي للبروستاتا لتحديد حجم الغدة باستخدام التقريب L × W × H × 0.52 (حيث 0.52 هو تقريب لـ π / 6 ) ^{[ 21} ]

كتلة جسم بيضاوي ذي كثافة منتظمة ρ هي

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

عزم القصور الذاتي لجسم بيضاوي ذي كثافة منتظمة هو

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

بالنسبة لـ a = b = c، فإن عزم القصور الذاتي هذا يتقلص إلى عزم القصور الذاتي الخاص بكرة ذات كثافة منتظمة.

تدور الأشكال الإهليلجية والمكعبات بثبات حول محوريها الرئيسي والثانوي، ولكن ليس حول محورها المتوسط. ويمكن ملاحظة ذلك تجريبياً برمي ممحاة مع دورانها. إضافةً إلى ذلك، فإن اعتبارات عزم القصور الذاتي تعني أن الدوران حول المحور الرئيسي أكثر عرضةً للاضطراب من الدوران حول المحور الثانوي. ^{[ 22 ]}

أحد الآثار العملية لذلك هو أن الأجرام الفلكية المختلفة الأضلاع مثل هاوميا تدور بشكل عام حول محاورها الثانوية (كما تفعل الأرض، وهي مفلطحة فقط )؛ بالإضافة إلى ذلك، وبسبب التزامن المدّي ، تدور الأقمار في مدارات متزامنة مثل ميماس مع محورها الرئيسي محاذيًا شعاعيًا لكوكبها.

يتخذ جسم دوّار من سائل متجانس ذاتي الجاذبية شكلاً كروياً مفلطحاً (ماكلورين) أو بيضاوياً مختلف الأضلاع (جاكوبي) عند التوازن الهيدروستاتيكي ، وذلك عند معدلات دوران متوسطة. أما عند معدلات دوران أسرع، فمن المتوقع ظهور أشكال غير بيضاوية، مثل الكمثرى أو البيضاوي ، لكنها غير مستقرة.

يُعدّ الشكل الإهليلجي الشكل الأكثر عمومية الذي أمكن حساب تدفق السوائل الزاحف حوله. تشمل الحسابات القوة اللازمة للانتقال عبر السائل والدوران داخله. ومن التطبيقات تحديد حجم وشكل الجزيئات الكبيرة، ومعدل غرق الجسيمات الصغيرة، وقدرات الكائنات الدقيقة على السباحة . ^{[ 23 ]}

يمكن تعريف التوزيعات الإهليلجية ، التي تعمم التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات وتُستخدم في التمويل ، بدلالة دوال الكثافة الخاصة بها . وعند وجودها، فإن دوال الكثافة f لها البنية التالية:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

حيث k هو عامل قياس، و x هو متجه صف عشوائي ذو n بُعد، وسيطه μ (وهو أيضًا متجه المتوسط ​​إن وُجد)، و Σ هي مصفوفة موجبة التحديد تتناسب مع مصفوفة التغاير إن وُجدت، و g هي دالة تربط الأعداد الحقيقية غير السالبة ببعضها ، مما يُعطي مساحة محدودة تحت المنحنى. ^{[ 24 ]} يُعد التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات حالة خاصة حيث g ( z ) = exp(−z / 2 ) للصيغة التربيعية z .

وبالتالي، فإن دالة الكثافة هي تحويل قياسي لتعبير تربيعي. علاوة على ذلك، تنص معادلة أي سطح متساوي الكثافة على أن التعبير التربيعي يساوي ثابتًا خاصًا بقيمة الكثافة تلك، ويكون سطح الكثافة المتساوية عبارة عن قطع ناقص.