مقدار

تتراوح دقة قياسات الحجم في العصور القديمة عادةً بين 10 و50 مل (0.3-2 أونصة سائلة أمريكية ؛ 0.4-2 أونصة سائلة إمبراطورية ) . ^{[ 4 ] : ​​8} أقدم دليل على حساب الحجم جاء من مصر القديمة وبلاد ما بين النهرين على شكل مسائل رياضية، لتقريب حجم الأشكال البسيطة مثل متوازي المستطيلات والأسطوانات والمخاريط الناقصة . وقد دُوّنت هذه المسائل الرياضية في بردية موسكو الرياضية ( حوالي 1820 قبل الميلاد). وفي بردية رايزنر ، دوّن المصريون القدماء وحدات حجم محددة للحبوب والسوائل، بالإضافة إلى جدول للطول والعرض والعمق والحجم لكتل ​​المواد. ^{[ 4 ] : 116} استخدم المصريون وحدات الطول ( الذراع ، الكف ، الإصبع ) لابتكار وحدات الحجم، مثل حجم الذراع ^{[ 4 ] : ​​117} أو الإصبع (ذراع × ذراع × ذراع)، وحجم الكف (ذراع × ذراع × كف)، وحجم الإصبع (ذراع × ذراع × إصبع). ^{[ 4 ] : ​​117}       

تُفصّل الكتب الثلاثة الأخيرة من كتاب أصول إقليدس ، التي كُتبت حوالي عام 300 قبل الميلاد، الصيغ الدقيقة لحساب حجم متوازيات المستطيلات والمخاريط والأهرامات والأسطوانات والكرات . وقد حدد علماء الرياضيات السابقون هذه الصيغ باستخدام شكل بدائي من التكامل ، وذلك بتقسيم الأشكال إلى أجزاء أصغر وأبسط. وبعد قرن من الزمان، وضع أرخميدس ( حوالي 287-212 قبل الميلاد ) صيغة تقريبية لحساب حجم عدة أشكال باستخدام طريقة الاستنفاد ، أي استنباط الحلول من الصيغ المعروفة سابقًا لأشكال مماثلة. كما اكتُشف التكامل البدائي للأشكال بشكل مستقل من قِبل ليو هوي في القرن الثالث الميلادي، وزو تشونغ تشي في القرن الخامس الميلادي، بالإضافة إلى علماء من الشرق الأوسط والهند .

ابتكر أرخميدس طريقةً لحساب حجم جسم غير منتظم، وذلك بغمره تحت الماء وقياس الفرق بين حجم الماء الابتدائي والنهائي. ويُعدّ الفرق في حجم الماء هو حجم الجسم. ورغم شيوع هذه الطريقة، فمن المرجح أن أرخميدس لم يغمر التاج الذهبي لحساب حجمه، وبالتالي كثافته ونقائه، نظرًا للدقة المتناهية المطلوبة. ^{[ 5 ]} بل يُرجّح أنه ابتكر شكلاً بدائيًا من الميزان الهيدروستاتيكي . في هذه الطريقة، يُوضع التاج وقطعة من الذهب الخالص ذات وزن مماثل على طرفي ميزان مغمور تحت الماء، والذي سينقلب وفقًا لمبدأ أرخميدس . ^{[ 6 ]}

في العصور الوسطى ، استُحدثت وحدات عديدة لقياس الحجم، مثل السستر ، والعنبر ، والكومب ، والسيم . وقد حفّزت كثرة هذه الوحدات ملوك بريطانيا على توحيدها، وبلغ ذلك ذروته في قانون "أسيزي أوف بريد آند أيل" عام ١٢٥٨ الذي أصدره هنري الثالث ملك إنجلترا . وحّد هذا القانون الوزن والطول والحجم، كما أدخل البنس والأونصة والرطل والجالون والبوشل. ^{[ ٤ ] : ٧٣-٧٤.} وفي عام ١٦١٨، اعتمدت "دستور الأدوية اللندني " (كتالوج المركبات الدوائية) الجالون الروماني ^{[ ٧ ]} أو الكونجيوس ^{[ ٨ ]} كوحدة أساسية للحجم، وقدّم جدول تحويل لوحدات الوزن التي يستخدمها الصيادلة. ^{[ ٧ ]} وفي ذلك الوقت تقريبًا، أصبحت قياسات الحجم أكثر دقة، وانحصر هامش الخطأ بين ١ و٥ مل (٠.٠٣-٠.٢ أونصة سائلة أمريكية ؛ ٠.٠٤-٠.٢ أونصة سائلة إمبراطورية ) . ^{[ 4 ] : 8}       

في أوائل القرن السابع عشر تقريبًا، طبّق بونافنتورا كافالييري فلسفة حساب التكامل الحديث لحساب حجم أي جسم. وقد وضع مبدأ كافالييري ، الذي ينص على أن استخدام شرائح أرق فأرق من الشكل يجعل الحجم الناتج أكثر دقة. ثم قام بيير دي فيرما ، وجون واليس ، وإسحاق بارو ، وجيمس غريغوري ، وإسحاق نيوتن ، وغوتفريد فيلهلم لايبنتز ، وماريا غايتانا أنييسي بتوسيع هذه الفكرة في القرنين السابع عشر والثامن عشر لتشكيل حساب التكامل الحديث، الذي لا يزال مستخدمًا حتى القرن الحادي والعشرين.

في 7 أبريل 1795، تم تعريف النظام المتري رسميًا في القانون الفرنسي باستخدام ست وحدات. ثلاث منها تتعلق بالحجم: الستير (  1  م³ ) لحجم الحطب؛ واللتر (1 دسم³ ⁾ لأحجام السوائل؛ والجرام ، للكتلة - ويُعرَّف بأنه كتلة سنتيمتر مكعب واحد من الماء عند درجة حرارة ذوبان الجليد. ^{[ 9 ]} بعد ثلاثين عامًا، في عام 1824، ^عُرِّف الجالون الإمبراطوري بأنه الحجم الذي يشغله عشرة أرطال من الماء عند 17 درجة مئوية (62 درجة فهرنهايت) . تم تحسين هذا التعريف لاحقًا حتى صدور قانون الأوزان والمقاييس في المملكة المتحدة عام 1985 ، والذي يجعل الجالون الإمبراطوري الواحد مساويًا تمامًا لـ 4.54609 لترًا دون استخدام الماء. ^{[ 10 ]}     

أدى إعادة تعريف المتر عام 1960، من المتر النموذجي الدولي إلى خط الانبعاث البرتقالي المحمر لذرات الكريبتون-86، إلى تحرير المتر والمتر المكعب واللتر من قيود الأجسام المادية. كما جعل هذا المتر ووحدات الحجم المشتقة منه مقاومة للتغييرات التي طرأت على المتر النموذجي الدولي. ^{[ 11 ]} أُعيد تعريف المتر مرة أخرى عام 1983 ليستخدم سرعة الضوء والثانية (المشتقة من معيار السيزيوم )، وأُعيدت صياغته لزيادة وضوحه عام 2019. ^{[ 12 ]}

لتسهيل الحسابات، تُعرَّف وحدة الحجم بأنها حجم مكعب وحدة (طول ضلعه وحدة واحدة). ولأن الحجم يشغل ثلاثة أبعاد، فإذا اخترنا المتر (م) وحدةً للطول، فإن وحدة الحجم المقابلة هي المتر المكعب (م³ ⁾ . والمتر المكعب وحدة مشتقة من النظام الدولي للوحدات (SI) . ^{[ 15 ]} لذا، فإن وحدة قياس الحجم هي طول ^مكافئ (L³ ) . ^{[ 16 ]}

تستخدم وحدات الحجم المترية بادئات مترية ، وتكون هذه البادئات قوى العدد عشرة . عند تطبيق البادئات على وحدات الحجم، المُعبر عنها بوحدات الطول المكعبة، تُطبق عمليات التكعيب على وحدة الطول التي تتضمن البادئة. مثال على تحويل السنتيمتر المكعب إلى المتر المكعب: 2.3  سم³ = 2.3 (سم) ^³ = 2.3 (0.01 م) ^³ = 0.0000023 م³ ⁽ خمسة أصفار) ^{. [ 17 ] : 143}

تُستخدم عادةً البادئات التالية لوحدات الطول المكعبة: المليمتر المكعب (مم³ ⁾ ، والسنتيمتر المكعب (سم³ ⁾ ، والديسيمتر المكعب (دسم³ ⁾ ، والمتر المكعب (م³ ⁾ ، والكيلومتر المكعب (كم³ ⁾ . ويكون التحويل بين هذه الوحدات كما يلي: 1000 ^مم³  = 1 سم³ ^، 1000 سم³ = 1 دسم³ ، و1000 دسم³ = 1 م³ ^. [ ^{1 ] كما يتضمن النظام} المتري اللتر ( ل ) ^كوحدة للحجم، حيث 1 لتر ⁼ 1 دسم³ ⁼ 1000 سم³ = 0.001 ^م³ . ^{[ 17 ] : 145} بالنسبة لوحدة اللتر، فإن البادئات الشائعة الاستخدام هي المليلتر (مل)، والسنتيلتر (سل)، واللتر (ل)، حيث 1000 مل = 1 لتر، و10 مل = 1 سنتيلتر، و10 سنتيلتر = 1 ديسيلتر، و10 ديسيلتر = 1 لتر. ^{[ 1 ]}                

تُستخدم أيضاً وحدات قياس الحجم الإمبراطورية أو الأمريكية التقليدية الأخرى ، بما في ذلك:

• بوصة مكعبة ، قدم مكعبة ، ياردة مكعبة ، فدان-قدم ، ميل مكعب ؛
• مينيم ، دراخما ، أونصة سائلة ، باينت ؛
• ملعقة صغيرة ، ملعقة كبيرة ؛
• جيل ، كوارت ، جالون ، برميل ؛
• حبل ، بيك ، بوشل ، برميل كبير .

السعة هي أقصى كمية من المواد التي يمكن أن يحتويها وعاء، تُقاس بالحجم أو الوزن . مع ذلك، لا يشترط أن يملأ الحجم الموجود داخل الوعاء كامل سعته، أو العكس. فالأوعية لا تستطيع استيعاب سوى كمية محددة من الحجم المادي، وليس الوزن (باستثناء الاعتبارات العملية). على سبيل المثال، خزان سعته 50,000 برميل (7,900,000 لتر) يمكنه استيعاب 7,200 طن (15,900,000 رطل) من زيت الوقود، لن يتمكن من استيعاب نفس الكمية من النفتا ، وهي 7,200 طن (15,900,000 رطل) ، نظرًا لانخفاض كثافة النفتا وبالتالي زيادة حجمها. ^{[ 18 ] : 390-391}      

بالنسبة للعديد من الأشكال مثل المكعب ومتوازي المستطيلات والأسطوانة ، فإن لها نفس صيغة حساب الحجم تقريبًا مثل المنشور : قاعدة الشكل مضروبة في ارتفاعه .

يُعدّ حساب الحجم جزءًا أساسيًا من حساب التكامل . ومن تطبيقاته حساب حجم المجسمات الدورانية ، وذلك بتدوير منحنى مستوٍ حول خط في نفس المستوى. تُستخدم طريقة التكامل باستخدام الأقراص أو الحلقات عند التكامل حول محور موازٍ لمحور الدوران. ويمكن كتابة المعادلة العامة على النحو التالي:$${\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx}$$أين${\textstyle f(x)}$و${\textstyle g(x)}$تمثل هذه الحدود المنحنية المستوية. ^{[ 19 ] : 1، 3.} تُستخدم طريقة التكامل السطحي عند التكامل حول محور عمودي على محور الدوران. يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي: ^{[ 19 ] : 6}$${\displaystyle V=2\pi \int _{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx}$$يُعطى حجم المنطقة D في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالتكامل الثلاثي أو التكامل الحجمي للدالة الثابتة${\displaystyle f(x,y,z)=1}$في جميع أنحاء المنطقة. وعادة ما يُكتب على النحو التالي: ^{[ 20 ] : القسم 14.4}$${\displaystyle \iiint _{D}1\,dx\,dy\,dz.}$$

في الإحداثيات الأسطوانية ، يكون التكامل الحجمي هو $${\displaystyle \iiint _{D}r\,dr\,d\theta \,dz,}$$

في الإحداثيات الكروية (باستخدام اصطلاح الزوايا مع${\displaystyle \theta }$مثل السمت و${\displaystyle \varphi }$(يُقاس من المحور القطبي؛ انظر المزيد حول الاصطلاحات )، يكون التكامل الحجمي هو $${\displaystyle \iiint _{D}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .}$$

شبكة المضلعات هي تمثيل لسطح الجسم باستخدام المضلعات . تحدد شبكة الحجم بشكل صريح خصائص حجمها وسطحها.