مادة حبيبية

اعتبر كولوم القوى الداخلية بين الجزيئات الحبيبية عملية احتكاك، واقترح قانون الاحتكاك الذي ينص على أن قوة احتكاك الجزيئات الصلبة تتناسب طرديًا مع الضغط العمودي بينها، وأن معامل الاحتكاك السكوني أكبر من معامل الاحتكاك الحركي. درس انهيار أكوام الرمل ووجد تجريبيًا زاويتين حرجتين: الزاوية المستقرة القصوى${\displaystyle \theta _{m}}$وأدنى زاوية للراحة${\displaystyle \theta _{r}}$عندما يصل ميل كومة الرمل إلى أقصى زاوية استقرار، تبدأ جزيئات الرمل الموجودة على سطح الكومة بالتساقط. تتوقف هذه العملية عندما تتساوى زاوية ميل السطح مع زاوية الاستقرار. الفرق بين هاتين الزاويتين،${\displaystyle \Delta \theta =\theta _{m}-\theta _{r}}$زاوية باغنولد، وهي مقياس لتخلف المواد الحبيبية. تعود هذه الظاهرة إلى سلاسل القوى : فالإجهاد في المواد الصلبة الحبيبية لا يتوزع بانتظام، بل ينتقل عبر ما يُسمى بسلاسل القوى ، وهي عبارة عن شبكات من الحبيبات المتراصة فوق بعضها. وبين هذه السلاسل توجد مناطق ذات إجهاد منخفض، حيث تُحجب حبيباتها عن تأثيرات الحبيبات التي تعلوها بفعل التقوس والانحناء . عندما يصل إجهاد القص إلى قيمة معينة، قد تنكسر سلاسل القوى، وتبدأ الجزيئات الموجودة في نهايات السلاسل على السطح بالانزلاق . بعد ذلك، تتشكل سلاسل قوى جديدة حتى يصبح إجهاد القص أقل من القيمة الحرجة، وبالتالي تحافظ كومة الرمل على زاوية استقرار ثابتة. ^{[ 7 ]}

في عام 1895، اكتشف هـ. أ. جانسن أن الضغط المقاس عند قاعدة أسطوانة رأسية مملوءة بجزيئات لا يعتمد على ارتفاع الحشوة، على عكس الموائع النيوتونية الساكنة التي تخضع لقانون ستيفن للضغط الهيدروستاتيكي. واقترح جانسن نموذجًا مبسطًا بالافتراضات التالية:

1. الضغط الرأسي،${\displaystyle \sigma _{zz}}$، ثابت في المستوى الأفقي؛
2. الضغط الأفقي،${\displaystyle \sigma _{rr}}$، يتناسب مع الضغط الرأسي${\displaystyle \sigma _{zz}}$، أين${\displaystyle K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}}$ثابت في الفضاء؛
3. معامل الاحتكاك الساكن للجدار${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma _{rz}}{\sigma _{rr}}}}$يتحمل الحمل الرأسي عند نقطة التلامس مع الجدار؛
4. تكون كثافة المادة ثابتة على جميع الأعماق.

ثم يتم وصف الضغط في المادة الحبيبية بقانون مختلف، يأخذ في الاعتبار التشبع:

${\displaystyle p(z)=p_{\infty [1-\exp(-z/\lambda )]}$،

أين${\displaystyle \lambda ={\frac {R}{2\mu K}}}$و${\displaystyle R}$يمثل نصف قطر الأسطوانة، وفي أعلى الصومعة${\displaystyle z=0}$.

لا تأخذ معادلة الضغط المذكورة في الحسبان الشروط الحدية، مثل نسبة حجم الجسيمات إلى نصف قطر الصومعة. ولأن الإجهاد الداخلي للمادة لا يمكن قياسه، فإن تكهنات جانسن لم يتم التحقق منها تجريبياً بشكل مباشر.

في أوائل الستينيات، درس المهندس بيتر والتر رو تأثير التمدد على قوة القص في اختبارات القص واقترح علاقة بينهما.

يمكن تحليل الخصائص الميكانيكية لتجميع الجسيمات أحادية التشتت في بعدين بناءً على الحجم الأولي التمثيلي ، بأطوال نموذجية.${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$، في الاتجاهين الرأسي والأفقي على التوالي. ويتم وصف الخصائص الهندسية للنظام بواسطة${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}})}$والمتغير${\displaystyle \beta }$، وهو ما يصف الزاوية التي تبدأ عندها نقاط التلامس عملية الانزلاق. يُرمز لها بـ${\displaystyle \sigma _{11}}$الاتجاه الرأسي، وهو اتجاه الإجهاد الرئيسي الأكبر، و${\displaystyle \sigma _{22}}$الاتجاه الأفقي، وهو اتجاه الإجهاد الرئيسي الأصغر.

عندئذٍ، يمكن التعبير عن الإجهاد على الحدود كقوة مركزة تتحملها الجسيمات الفردية. تحت تأثير تحميل ثنائي المحور مع إجهاد منتظم${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$وبالتالي${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$.

في حالة التوازن:

${\displaystyle {\frac {F_{11}}{F_{22}}}={\frac {\sigma _{11}\ell _{2}}{\sigma _{22}\ell _{1}}}=\tan(\theta +\beta )}$،

أين${\displaystyle \theta }$زاوية الاحتكاك هي الزاوية بين قوة التلامس واتجاه العمودي على التلامس.

${\displaystyle \theta _{\mu }}$وهي الزاوية التي إذا سقطت القوة المماسية داخل مخروط الاحتكاك، فإن الجسيمات ستظل ثابتة. ويتم تحديدها بواسطة معامل الاحتكاك.${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}}$، لذا${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }}$بمجرد تطبيق الضغط على النظام،${\displaystyle \theta }$يزداد تدريجياً بينما${\displaystyle \alpha ,\beta }$يبقى دون تغيير. عندما${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }}$ثم ستبدأ الجسيمات بالانزلاق، مما يؤدي إلى تغيير بنية النظام وإنشاء سلاسل قوى جديدة.${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}}$، والإزاحات الأفقية والرأسية على التوالي تحقق

${\displaystyle {\frac {\dot {\Delta _{2}}}{\dot {\Delta _{1}}}}={\frac {{\dot {\varepsilon _{22}}}\ell _{2}}{{\dot {\varepsilon _{11}}}\ell _{1}}}=-\tan \beta }$.

يعتبر${\displaystyle N}$جسيمات، جسيم${\displaystyle i}$امتلاك الطاقة${\displaystyle \varepsilon _{i}}$. بمعدل ثابت لكل وحدة زمنية، اختر جسيمين عشوائياً${\displaystyle i,j}$مع الطاقات${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}$واحسب المجموع${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$الآن، وزّع الطاقة الكلية عشوائيًا بين الجسيمين: اختر عشوائيًا${\displaystyle z\in \left[0,1\right]}$بحيث يكون للجسيم الأول، بعد التصادم، طاقة${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$والثاني${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$.

معادلة التطور العشوائي :

${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t)&probability:\,1-\Gamma dt\\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)&probability:\,\Gamma dt\end{cases}}}$،

أين${\displaystyle \Gamma }$معدل التصادم،${\displaystyle z}$يتم اختيارها عشوائياً من${\displaystyle \left[0,1\right]}$(توزيع منتظم) و j هو مؤشر يتم اختياره عشوائيًا أيضًا من توزيع منتظم. متوسط ​​الطاقة لكل جسيم:${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\right\rangle \left(\left\langle \varepsilon _{i}\right\rangle +\left\langle \varepsilon _{j}\right\rangle \right)\\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{2}}\left(\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \right)\\&=\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \end{aligned}}}$.

اللحظة الثانية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}+2\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}^{2}\right\rangle \\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}}$.

والآن، المشتق الزمني للحظة الثانية:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle }{dt}}=-{\dfrac {\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$.

في حالة الاستقرار:

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=0\Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$.

حل المعادلة التفاضلية لإيجاد العزم الثاني:

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$.

مع ذلك، بدلاً من تحديد خصائص العزوم، يمكننا حل توزيع الطاقة تحليليًا، انطلاقًا من دالة توليد العزوم. لننظر في تحويل لابلاس :${\displaystyle g(\lambda )=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon }$،

أين${\displaystyle g(0)=1}$، و${\displaystyle {\dfrac {dg}{d\lambda }}=-\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$.

المشتقة n:

${\displaystyle {\dfrac {d^{n}g}{d\lambda ^{n}}}=\left(-1\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\varepsilon ^{n}e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$،

الآن:

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}&1-\Gamma t\\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}&\Gamma t\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambda ,t+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambda ,t\right)+\Gamma dt\int _{0}^{1}{\underset {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle } }}dz}$.

حل لـ${\displaystyle g(\lambda )}$مع تغيير المتغيرات${\displaystyle \delta =\lambda z}$:

${\displaystyle \lambda g(\lambda )=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta )d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda )+g(\lambda )=g^{2}(\lambda )\Rightarrow g(\lambda )={\dfrac {1}{\lambda T+1}}}$.

سنوضح ذلك${\displaystyle \rho (\varepsilon )={\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}$( توزيع بولتزمان ) عن طريق أخذ تحويل لابلاس الخاص به وحساب الدالة المولدة:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)}}e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }|_{0}^{\infty }={\dfrac {1}{\lambda T+1}}=g(\lambda )}$.

تُصدر بعض رمال الشواطئ، مثل رمال شاطئ " سكويكي بيتش" (الشاطئ الصاخب )، صوت صرير عند المشي عليها. ومن المعروف أن بعض الكثبان الرملية الصحراوية تُصدر دويًا هائلاً أثناء الانهيارات الثلجية أو عند تعرض سطحها لأي اضطراب. وتُنتج المواد الحبيبية المتدفقة من الصوامع انبعاثات صوتية عالية في عملية تُعرف باسم " بوق الصوامع" .