تكامل القرص

إذا كانت الدالة المراد تدويرها دالة لـ x ، فإن التكامل التالي يمثل حجم المجسم الناتج عن الدوران:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

حيث R ( x ) هي المسافة بين الدالة ومحور الدوران. هذا صحيح فقط إذا كان محور الدوران أفقيًا (مثال: y = 3 أو أي قيمة ثابتة أخرى).

إذا كانت الدالة المراد تدويرها دالة لـ y ، فإن التكامل التالي سيعطي حجم المجسم الناتج عن الدوران:

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

حيث R ( y ) هي المسافة بين الدالة ومحور الدوران. هذا صحيح فقط إذا كان محور الدوران عموديًا (مثال: x = 4 أو أي قيمة ثابتة أخرى).

للحصول على مجسم دوراني مجوف (طريقة "الحلقة")، يتم حساب حجم المجسم الدوراني الداخلي بطرح حجم المجسم الدوراني الخارجي منه. ويمكن حساب ذلك بتكامل واحد مشابه لما يلي:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

حيث تمثل RO ₍ x ) الدالة الأبعد عن محور الدوران، وتمثل I ₍ x ) الدالة الأقرب إلى محور الدوران. على سبيل المثال، يوضح الشكل التالي دوران "الورقة" الحمراء المحصورة بين منحنيي الجذر التربيعي والمنحنى التربيعي حول المحور x :

حجم هذا الجسم الصلب هو:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

ينبغي توخي الحذر عند تقييم مربع الفرق بين الدالتين، ولكن عند تقييم الفرق بين مربعي الدالتين.

${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$

(هذه الصيغة تعمل فقط للدوران حول المحور السيني .)

لتدوير الجسم حول أي محور أفقي، ما عليك سوى طرح قيمة ذلك المحور من كل صيغة. إذا كانت h هي قيمة المحور الأفقي، فإن الحجم يساوي

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

على سبيل المثال، لتدوير المنطقة بين y = −2 x + x ² و y = x على طول المحور y = 4 ، يتم إجراء التكامل على النحو التالي:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

حدود التكامل هي أصفار المعادلة الأولى مطروحًا منها أصفار المعادلة الثانية. لاحظ أنه عند التكامل على محور غير المحور السيني ، قد لا يكون رسم الدالة الأبعد عن محور الدوران واضحًا. في المثال السابق، على الرغم من أن رسم الدالة y = x ، بالنسبة للمحور السيني، يقع أعلى من رسم الدالة y = −2x + x² ، ^{إلا أن الدالة} y = x هي الدالة الداخلية بالنسبة لمحور الدوران : فرسمها أقرب إلى y = 4 ، أي معادلة محور الدوران في المثال.

يمكن تطبيق الفكرة نفسها على المحور الصادي وأي محور رأسي آخر. يجب ببساطة حل كل معادلة لإيجاد قيمة x قبل إدخالها في صيغة التكامل.